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2012届江苏省高考数学文二轮总复习专题导练课件:专题19 统计、算法、推理与证明


1.( 2 0 1 1 g江 苏 卷 ) 根 据 如 图 所 示 的 伪 代 码 , 当 输 入 a, b   分 别 为 2 , 3 时 , 最 后 输 出 的 m的 值 是 .

R ead ab If a > b m ? a  ls e E m ? b End P rin t If m T hen

解析:由题意知,伪代码的

含义是:输出两数中的 较 大 者 , 所 以 m ? 3.

2. ( 2 0 1 1 g江 苏 卷 ) 某 老 师 从 星 期 一 到 星 期 五 收 到 信 件 数 分 别 是 10 , 6 , 8, 5, 6 , 则 该 组 数 据 的 方 差 s ?
2

.

解 析 :个 数 据 的 平 均 数 x ? 5
2 2

10 ? 6 ? 8 ? 5 ? 6 5
2

? 7,
2 2

所以s ?
2

?1 0 ? 7 ? ? ? 6 ? 7 ? ? ? 8 ? 7 ? ? ? 5 ? 7 ? ? ? 6 ? 7 ? 5

?

16 5

.

3.( 2 0 1 1 g陕 西 卷 ) 观 察 下 列 等 式 1?1 2?3? 4 ? 9 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 25 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 4 9 ?? 照 此 规 律 , 第 n个 等 式 为   .

解 析 : 每 行 最 左 边 的 数 分 别 是 1, 2 , 3 , , ? 所 以 第 n 行 最 左 边 的 数 为 n, 每 行 数 的 个 数 分 别 是 1, 3, 5 , , 则 第 n 行 的 个 数 为 2 n ? 1 , ? 所 以 第 n 行 的 数 依 次 是 n, n ? 1 , n ? 2 , , n ? 2 , ? 3 所 以 第 n个 等 式 为 n ? ? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? ? ? ? 3 n ? 2 ? ? ? 2 n ? 1? .
2

  2 0 10 ? 徐 州 三 模 )已 知 扇 形 的 圆 心 角 为 2 ? ( 定 值 ), 4.( 半 径 为 R ( 定 值 ), 分 别 按 图 一 、 二 作 扇 形 的 内 接 矩 形 , 若按图一作出的矩形面积的最大值为 1 2 则 按 图 二 作 出 的 矩 形 面 积 的 最 大 值 为 _______ R ta n ? ,
2

解析:由图一作出的矩形面积的最大值为

1 2

R ta n ? ,
2

图 二 分 为 两 个 圆 心 角 都 为 ?的 扇 形 , 每 个 扇 形 的 内 接矩形,面积的最大值都为 的 矩 形 面 积 的 最 大 值 为 R ta n
2

1 2

R ta n

2

?
2

,则图二作出

?
2

.

  2 0 1 1g 东 卷 ) 设 函 数 f 5.( 山 f1 ? x ? ? f f2 ? x ? ? f f3 ? x ? ? f f4 ? x ? ? f ??

?x?

?

x x ? 2

( x> 0 ), 观 察 :

?x?
1

?

x x ? 2 x 3x ? 4 x 7x ? 8 x 15 x ? 16

? f ? x ?? ? ? ?
f2 ? x ?? ? f3 ? x ? ? ?

根 据 以 上 事 实 , 由 归 纳 推 理 可 得 : 当 n ? N 且 n ? 2时 ,
*

fn

?x?

? f

?

f n ?1 ? x ? ? ?

.

解 析 : 根 据 题 意 知 , 分 子 都 是 x, 分 母 中 的 常 数 项 依 次 是 2 , 4 , 8,1 6 , , 可 归 纳 出 f n ? x ? 的 分 母 中 的 常 数 项 为 2 , ?
n

分 母 中 x的 系 数 为 2 ? 1 , 故 f n ? x ? ?
n

x ? 2 ? 1? x ? 2
n n

.

例 1 : 在 计 算 “1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ? 1 ? ” 时 , 某 同 学 学 到 了 如 下 一 种 方 法 : 先 改 写 第 k项 : k ? k ? 1? ? 1 3 ? k ? k ? 1? ? k ? 2 ? ? ? k ? 1? k ? k ? 1?? , ? ? 1 3 (1 ? 2 ? 3 ? 0 ? 1 ? 2 ),

由 此 得1? 2 ?

2?3 ? ?

1 3

( 2 ? 3 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ),

n ? n ? 1? ? ? n ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? ? n ? 1? n ? n ? 1? ? , ? ? 相 加 得 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ? 1? ? 类比上述方法,请你计算 “1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ? 1 ? ? n ? 2 ? ” . 其 结 果 为 _______ 1 3 n ? n ? 1 ? ? n ? 2 ?.

解 析 : 由 计 算 “1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ? 1 ? ” 时 的 解 法 , 将每项分解,再利用叠加求和. 1 ? 2 ? 3 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 0 ? 1 ? 2 ? 3), 2 ? 3 ? 4 ? ( 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ), ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? [n ? ? n ? 1? ? ? n ? 2 ? ? ? n ? 3 ? ?

?n

? 1 ? ? n ? ? n ? 1 ? ? ? n ? 2 ? ],

相 加 得 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? 1 4 n ? n ? 1 ? ? n ? 2 ? ? n ? 3 ?.

变 式 1 . 在 计 算 “1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ( n ? N )” 时 , 某 同 学
*

运 用 下 面 种 正 确 方 法 : 由 ? k ? 1? ? k
2

2

? 2 k ? 1( k ? N ,
*

k ? n ), 得 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1,
2 2

3 ? 2
2

2

? 2 ? 2 ? 1, ? 2 ? 3 ? 1,

4 ? 3
2

2

?

? n ? 1? ? n
2

2

? 2 n ? 1.

上 述 n个 等 式 左 、 右 两 边 分 别 相 加 , 得

?n

? 1 ? ? 1 ? 2 (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n, 化 简 得
2 2

1? 2 ? 3?? ? n ?

n ? n ? 1? 2

.

类比上述方法,请你计算 “1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ( n ? N )”
2 2 2 2 *

解 析 : 由 ? k ? 1? ? k
3 3 3 2

3

? 3k

2

? 3 k ? 1( k ? N , k ? n ), 得
*

2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1, 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1,
3 3 2

4 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 1,
3 3 2

?

?n ?n

? 1 ? ? n ? 3 n ? 3 n ? 1.
3 3 2

上 述 n个 等 式 左 、 右 两 边 分 别 相 加 , 得 ? 1 ? ? 1 ? 3 (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? 3 (1 ? 2 ? ? ? n ) ? n,
3 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2

即 n ? 3 n ? 3 n ? 3 (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? 化 简 得1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

3n ? n ? 1? 2

? n,

2 n ? 3n ? 2
3 2

?

n ? n ? 1? ? 2 n ? 1? 6

.

6

例2.(2010· 南通信息卷)某校从参加高一年级期中考 试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为 整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]后得 到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回 答下列问题:

?1 ? 求 分 数 在 ? 7 0 , 8 0 ?内 的 频 率 ,
并补全这个频率分布直方图;

?2?统 计 方 法 中 , 同 一 组 数 据 常 用
该组区间的中点值作为代表,据 此估计本次考试的平均分;

?3? 用 分 层 抽 样 的 方 法 在 分 数 段
为 ?60, 80 ?的 学 生 中 抽 取 一 个 容 量 为 6的 样 本 , 将 该 样 本 看 成 一 个 总 体 , 从 中 任 取 2人 , 求 至 多 有1 人 在 分 数 段 ?7 0, 80 ?的 概 率 .

解 析 :1 ? 分 数 在 ? 7 0 , 8 0 ? 内 的 频 率 为 : ? 1 ? ? 0 .0 10 ? 0 .0 1 5 ? 0 .0 1 5 ? 0 .0 2 5 ? 0 .0 0 5 ? ? 10 ? 1 ? 0 .7 ? 0 .3 , 故 0 .3 10 ? 0 .0 3 .作 图 如 下 :

?2?平 均 分 为 x

? 4 5 ? 0 .1 ? 5 5 ? 0 .1 5 ? 6 5 ? 0 .1 5

? 7 5 ? 0 .3 ? 8 5 ? 0 .2 5 ? 9 5 ? 0 . 0 5 ? 7 1

? 3 ? 由 题 意 ,6 0 , 7 0 ? 分 数 段 的 人 数 为 0 .1 5 ? 6 0 ?

? 9;

? 7 0 , 8 0 ? 分 数 段 的 人 数 为 0 .3 ? 6 0

? 1 8.

因 为 在 分 数 段 为 ?60, 80 ?的 学 生 中 抽 取 一 个 容 量 为 6 的 样 本 , 所 以 ? 6 0 , 7 0 ? 分 数 段 抽 取 2 人 , 分 别 记 为 m , n;

? 7 0 , 8 0 ? 分 数 段 抽 取 4 人 , 分 别 记 为 a, b, c, d .
基 本 事 件 有 :m , n ),m , a ),m , b ),m , c ),m , d ),n, a ), ( ( ( ( ( ( ( n, b ),n, c ),n, d ),a, b ),a, c ),a, d ),b, c ),b, d ), ( ( ( ( ( ( ( ( c, d ), 共 1 5 种 , 则 事 件 A 包 含 的 基 本 事 件 有 ( m , n ),m , a ),m , b ),m , c ),m , d ),n, a ),n, b ),n, c ), ( ( ( ( ( ( ( ( n, d ), 共 9 种 . 所 以 P ? A ? ? 9 15 ? 3 5 .

变式2.某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽 取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率 分布表如下图所示.
组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185] 合计 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据, 再在下图中完成频率分布直方图;

(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在 笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名 学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取 多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在6名学生中随 机抽取2名学生接受A考官进行面试,求第4组至 少有一名学生被考官A面试的概率.

解 析 :1 ? 由 题 可 知 , ? 第 2 组 的 频 数 为 0 .3 5 ? 10 0 ? 3 5 , 第 3 组 的 频 率 为 30 100 ? 0 .30 0 .频 率 分 布 直 方 图 如 下 :

4 5 ? 2 ?因 为 第 3、 、组 共 有 60名 学 生 , 所 以 利 用 分 层 抽 样 在 60名 学 生 中 抽 取 6名 学 生 , 每 组 抽 取 的 学 生 分 别 为 : 30 第 3组 : ? 6 ? 3人 , 60 20 第 4组 : ? 6 ? 2人 , 60 10 第 5组 : ? 6 ? 1人 , 60 所 以 第 3 、 、 组 分 别 抽 取 3 人 、 人 、人 . 4 5 2 1

(3)设第3组的3名学生为A1、A2、A3,第4组的2名学 生为B1、B2,第5组的1名学生为C1,则从6名学生中 抽取2名学生有15种可能情况,如下:(A1,A2),(A1, A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2, B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3, C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1). 其中第4组的2名学生B1、B2至少有1名学生被抽到接 受A考官进行面试的情况有:(A1,B1),(A1,B2), (A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2), (B1,C1),(B2,C1),共9种.

所 以 第 4 组 至 少 有 1 名 学 生 被 抽 到 接 受 A考 官 进 行 面 试 的概率为 9 15 ? 3 5 .

例3.“世界睡眠日”定在每年的3月21日.2009年的世 界睡眠日主题是“科学管理睡眠”,以提高公众对 健康睡眠的自我管理能力和科学认识.为此,某网 站2009年3月13日到3月20日进行了持续一周的在线 调查,共有200人参加调查,现将数据整理分组如下 面表格所示.

序号(i) 1 2 3 4 5 6

分组睡眠时 组中值 (mi) 间 [4,5) 4.5 [5,6) 5.5 [6,7) 6.5 [7,8) [8,9) [9,10) 7.5 8.5 9.5

频数(人数) 8 52 60 56 20 4

频率(fi) 0.04 0.26 0.30 0.28 0.10 0.02

(1)画出频率分布直方图; (2)睡眠时间小于8的概率是多少? (3)为了对数据进行分析, 采用了计算机辅助计算. 分析中一部分计算见算法流程图, 求输出的S的值, 并说明S的统计意义.

分析:本题主要考查算法与统计的基础知识, 考查运用所学知识分析问题与解决问题的能力。

解析:(1)频率分布直方图如图所示.

(2)睡眠时间小于8小时的概率是 P=0.04+0.26+0.30+0.28=0.88. (3)首先要理解直到型循环结构图的含义,输入mi,fi的 值后, 由赋值语句S=S+mifi可知,流程图进入一个求和态. 令ai=mifi(i=1,2,…,6),数列{ai}的前i项和为Ti,即 T6=4.5×0.04+5.5×0.26+6.5×0.30+7.5×0.28+8.5×0.1 0+9.5×0.02 =6.7. 即输出的S为6.7. S的统计意义即是指参加调查者的平均睡眠时间.从统 计量的角度来看,即是睡眠时间的期望值.

变式3.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时 间(单位:h),随机选择了50位老人进行调查.下表 是这50位老人日睡眠时间的频率分布表.

分组(睡眠 序号(i) 时间) 1 [4,5) 2 [5,6) 3 [6,7) 4 [7,8)

组中值 (Gi) 4.5 5.5 6.5 7.5

频数(人 频率(Fi) 数) 6 0.12 10 0.20 20 0.40 10 0.20

5

[8,9]

8.5

4

0.08

在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图, 则输出的S的值是__________

解析:根据流程图可知,共需读入5组数据(Gi,Fi), 令ai=GiFi(i=1,2 , …,5),并分别计算它们的累加和, 该累加和即就是睡眠的平均时间.于是输出的S值为 S=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.20 +8.5×0.08=6.42.

算法流程图:顺程序走一遍,理清首尾,字母赋 值,判断框注意答案的“回验”准确; 推理与证明:注重寻找规律,猜测和发现结论; 统计:熟练利用公式,运算要细心.

(2011 · 辽宁卷) (本小题满分12分) 某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个 品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取 两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地 中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品 种乙. (1)假设n=2,求第一大块地都种植品种甲的概率; (2)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后 得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单 位:kg/hm2)如下表:

品种甲

403

397

390

404

388

400

412

406

品种乙

419

403

412

418

408

423

400

413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数 和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一 品 种 ? 附 : 样 本 数 据 x 1, x 2, , x n 的 的 样 本 方 差 s ? ?
2

1 n

[( x 1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ], 其 中 x为 样 本 平 均 数 .
2 2 2

解 析 :1 ? 设 第 一 大 块 地 中 的 两 小 块 地 编 号 为 1, 2 , 第 二 ? 大 块 地 中 的 两 小 块 地 编 号 为 3, 4 , 记 事 件 A ? 第一大

块 地 都 种 品 种 甲 ”. 从 4 小 块 地 中 任 选 2 小 块 地 种 植 品 种 甲 的 基 本 事 件 共 6 个 ;1, 2 ? ,1, 3 ? ,1, 4 ? , 2 , 3 ? , 2 , 4 ? ,3, 4 ? . ? ? ? ? ? ? 而 事 件 A 包 含 1 个 基 本 事 件 :1, 2 ? . 所 以 P ? A ? ? ? 1 6 .( 6 分 )

?2?品 种 甲 的 每 公 顷 产 量 的 样 本 平 均 数 和 样 本 方 差 分 别 为 :
x甲 ? S甲 ?
2

1 8 1

? 403 ? 397
2

? 3 9 0 ? 4 0 4 ? 3 8 8 ? 4 0 0 ? 4 1 2 ? 4 0 6 ? ? 4 0 0,
2 2

? 3 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? 10 ? ? 4 2 ? ? ? 1 2 ? ? 0 2 ? 1 2 2 ? 6 2 ? ? 8?

? 5 7.2 5.(8 分 ) 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为: x乙 ? ? 419 ? 403 ? 412 ? 418 ? 408 ? 423 ? 400 ? 413 ? ? 412,
2 2 2 2 2 2 S 乙 ? ? 7 ? ? ? 9 ? ? 0 ? 6 ? ? ? 4 ? ? 1 1 ? ? ? 1 2 ? ? 1 ? ? 5 6.(10 分 ) ? ? 2 2 2

由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的 样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择 种 植 品 种 乙 . 2分 ) (1


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