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第四讲+等比数列及其前n项和


考点·数学 高一(下)讲义

Mr.Liu 工作室

第四讲
【考纲点击】

等比数列及其前 n 项和

等比数列的通项公式、等比中项的应用、等比数列的性质、等比数列及其前 n 项和都是 高考常考的内容,一般是基本量的求解,题型以选择题和填空题为主,难度不大;在解答题 中出现时,一般作为题中

的一个桥梁,难度较大。

Ⅰ考点知识点击
一、等比数列的定义 如果一个数列从第 项起, 每一项与它的前一项的比等于 ,通常用字母 表示。 , 那么这个数列

叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 二、等比数列的通项公式

设等比数列 ?a n ?的首项为 a1 ,公比为 q ,则它的通项 a n ? 三、等比中项 若 G ? ab?ab ? 0? ,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
2



四、等比数列的常用性质 注:其中 n、m、k、p、q、r ? N

?

?

?

1. 通项公式的推广: a n ? a m ? q n ? m 。 2. 若 ?a n ?为等比数列,且 p ? q ? m ? n ? 2r ,则 a p a q ? a m a n ? a r2 。
? ? ?a ? 2 ? 3. 若 ?a n ?,?bn ? (项数相同)是等比数列,则 ??a n ??? ? 0? ,? 1 ? ,?a n ,?a n bn ? ,? n ? ? an ? ? bn ?
仍是等比数列。

? 仍是等比数列,公比 4. 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即 ak,ak ? m,ak ? 2 m,
为 qm 。

5. 公比不为 ? 1的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,则 S n , S 2 n ? S n , S 3n ? S 2 n 仍成等比
数列,其公比为 q 。 五、等比数列的前 n 项和公式 等比数列 ?a n ?的公比为 q?q ? 0? ,其前 n 项和为 S n , 当 q ? 1 时, S n ? 刘老讲结论: ;当 q ? 1 时, S n ? 。
n

1. 由 a n ?1 ? qan ?q ? 0?并不能立即断言 ?a n ?为等比数列,还要验证 a1 ? 0 。 2. 在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q ? 1 与 q ? 1 分类讨论,防止因忽略
q ? 1 这一特殊情形导致解题失误。
学习的东西:一回见生,二回见熟,三回就成为朋友了!所以,刘老提醒:错题做三遍:纠错一遍,一周 后一遍, 月考前一遍! ! -1-

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3. 等比数列的判断方法有:
⑴ 定义法:若

a n ?1 a ? q ( q 为非零常数)或 n ? q ( q 为非零常数 n ? 2 且 n ? N ? ),则 an a n ?1

?a n ?是等比数列。
⑵ 中项公式法:在数列 ?a n ?中, a n ? 0 且 a n ?1 ? a n a n ? 2 n ? N
2

?

?

? ,则数列 ?a ?是等比数
n
*

列。
? ⑶ 通项公式法:若数列通项公式可写成 a n ? c ? q ( c , q 均是不为 0 的常数, n ? N ),
n

则 ?a n ?是等比数列。 注:前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列。

Ⅱ 核心考点点击
考点一 等比数列基本量的计算 【典例】1. ( 11 全国)设等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,已知 a 2 ? 6 , 6a1 ? a3 ? 30 。求

an 和 S n 。

2.( 10 天津)已知 ?a n ?是首项为1 的等比数列, S n 是 ?a n ?的前 n 项和,且 9S 3 ? S 6 ,则
? ? 数列 ? 1 ? 的前 5 项和为( ) ? an ?

A. 15 或 5 8

B. 31 或 5 16

C. 31 16

D. 15 8

【训练】1.等比数列 ?a n ?满足: a1 ? a6 ? 11 , a3 ? a 4 ? 32 ,且公比 q ? ?0, 1? 。

9

⑴ 求数列 ?a n ?的通项公式;

⑵ 若该数列前 n 项和 S n ? 21 ,求 n 的值。

2.( 10 辽宁)设 S n 为等比数列 ?a n ?的前 n 项和,已知 3S 3 ? a 4 ? 2 , 3S 2 ? a3 ? 2 ,则
公比 q ? ( )

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

3.( 10 江西)等比数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a5 ? ?8a2 , a 5 ? a 2 ,则 a n ? ( )
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n ?1

A. ?? 2?

n ?1

B. ? ?? 2?

C. ?? 2 ?

n

D. ? ?? 2 ?

n

考点二

等比数列的判定或证明

【典例】( 12 长沙模拟)已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , a 2 ? 2 , a n ? 2 ? ⑴ 令 bn ? a n ?1 ? a n ,证明: ?bn ? 是等比数列;

a n ? an?1 ,n ? N ? 。 2

⑵ 求 ?a n ?的通项公式。

【训练】( 12 湖北) 已知数列 ?a n ?和 ?bn ? 满足: a1 ? ? , an?1 ? 2 an ? n ? 4 , bn ?

3

?? 1?n ?an ? 3n ? 21? ,其中 ? 为实数, n 为正整数。
⑴ 对任意实数 ? ,证明数列 ?a n ?不是等比数列; ⑵ 试判断数列 ?bn ? 是否为等比数列,并证明你的结论。

考点三

等比数列及前 n 项和的性质

【典例】1.( 10 全国)已知各项均为正数的等比数列 ?a n ?中,a1 a 2 a3 ? 5 ,a7 a8 a9 ? 10 , 则 a 4 a5 a 6 ? ( )

A. 5 2

B. 7

C. 6

D. 4 2

2. 已知等比数列前 n 项的和为 2 ,其后 2n 项的和为 12 ,求再后面 3n 项的和。

【训练】1.( 12 东北联考)如果等比数列 ?a n ?中, a3 a 4 a5 a6 a7 ? 4 2 ,那么 a 5 ? ( )

A. 2

B. 2

C. ? 2

D. ? 2


2.( 11 北京)在等比数列 ?a n ?中,若 a1 ? 1 , a 4 ? ?4 ,则公比 q ? 2

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a1 ? a 2 ? ? ? a n ?



3.( 11 全国)已知等比数列 ?a n ?中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 。 3 3
⑴ S n 为 ?a n ?的前 n 项和,证明: S n ?

1 ? an ; 2

⑵ 设 bn ? log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? log 3 a n ,求数列 ?bn ? 的通项公式。

考点四 错位相减法求和 【典例】 ( 10 四川)已知等差数列 ?a n ?的前 3 项和为 6 ,前 8 项和为 ? 4 。 ⑴ 求数列 ?a n ?的通项公式; ⑵ 设 bn ? ?4 ? a n ?q
n ?1

?q ? 0,n ? N ?,求数列 ?b ? 的前 n 项和 S
?

n

n



【训练】 ( 09 山东) 等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N , 点 ?n,S n ? 均
?

在函数 y ? b ? r ( b ? 0 且 b ? 1 , b , r 均为常数)的图像上。
x

⑴ 求 r 的值;⑵ 当 b ? 2 时,记 bn ? n ? 1 n ? N ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

4a n

?

?

Ⅲ 专题专项点击 ——怎样求解等差与等比数列的综合性问题
【问题研究】 等差数列和等比数列既相互区别,又相互联系,高考作为考查学生综合能力 的选拔性考试,将两类数列综合起来考查是高考的重点.这类问题多属于两者基本运算的综
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合题以及相互之间的转化。 【解决方案】 首先求解出两个数列的基本量:首项和公差及公比,再灵活利用性质转化条 件,以及利用等差、等比数列的相关知识解决。 【示例】(本题满分 12 分)( 11 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15 ,并且这三个数分 别加上 2 , 5 , 13 后成为等比数列 ?bn ? 中的 b3 , b4 , b5 。 ⑴ 求数列 ?bn ? 的通项公式;

⑵ 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 S n ? 5 是等比数列。

?

4

?

思路点拨:正确设等差数列的三个正数,利用等比数列的性质解出公差 d ,从而求出数列

?bn ? 的首项、公比;利用等比数列的定义可解决第⑵问。
[解答示范] ⑴解:设成等差数列的三个正数分别为 a ? d , a , a ? d 。 依题意,得 a ? d ? a ? a ? d ? 15 ,解得 a ? 5 。 所以 ?bn ? 中的 b3 , b4 , b5 依次为 7 ? d , 10 , 18 ? d 。 依题意,由 ?7 ? d ??18 ? d ? ? 100 ,解得 d ? 2 或 d ? ?13 (舍去)。
2 2 故 ?bn ? 的第 3 项为 5 ,公比为 2 ,由 b3 ? b1 ? 2 ,即 5 ? b1 ? 2 ,解得 b1 ? 5 。

( 2 分)

( 4 分)

4

所以 ?bn ? 是以 5 为首项, 2 为公比的等比数列,其通项公式为

4

bn ? 5 ? 2 n?1 ? 5 ? 2 n?3 。 4

( 6 分)

5 1 ? 2n ⑵ 证明:数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ? 4 ? 5 ? 2 n?2 ? 5 ,即 S n ? 5 ? 5 ? 2 n?2 ( 8 分) 4 1? 2 4
S n ?1 ? 5 4 ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 5 5 所以 S1 ? ? , 4 2 5 ? 2 n?2 Sn ? 5 4
因此 S n ? 5 是以 5 为首项,公比为 2 的等比数列。 ( 10 分)

?

?

?

4

?

2

( 12 分)

题后反思:关于等差(比)数列的基本运算,其实质就是解方程或方程组,需要认真计算,灵 活处理已知条件。容易出现的问题主要有两个方面:一是计算出现失误,特别是利用因式分 解求解方程的根时, 不注意对根的符号进行判断; 二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性 质转化已知条件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增大运算量。 【试一试】 ⑴ 已知两个等比数列 ?a n ?, ?bn ? ,满足 a1 ? a?a ? 0? , b1 ? a1 ? 1 , b2 ? a2 ,若数列 ?a n ?唯一,求 a 的值; ? 2 b3 ? a3 ? 3 ,
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(2)是否存在两个等比数列 ?a n ? , ?bn ? ,使得 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差 不为 0 的等差数列?若存在,求 ?a n ?, ?bn ? 的通项公式;若不存在,说明理由。

Ⅳ 测试点击
一、选择题。

1.( 10 浙江)设 S n 为等比数列 ?a n ?的前 n 项和, 8a 2 ? a5 ? 0 ,则

S5 ?( ) S2

A. ? 11

B. ? 8

C. 5

D. 11

S n 为其前 n 项和。 S3 ? 7 , 2. ( 10 辽宁) 设 ?a n ?是由正数组成的等比数列, 已知 a 2 a 4 ? 1 ,
则 S5 ? ( )

A. 15 2

B. 31 4

C. 33 4

D. 17 2

3.( 10 重庆)在等比数列 ?a n ?中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 8

4. ( 11 辽宁)若等比数列 ?a n ?满足 a n a n ?1 ? 16 n ,则公比为( )

A. 2
总产值为( )

B. 4

C. 8

D. 16

5.某厂去年产值为 a ,计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10 ﹪,从今年起 5 年内,该厂的

A. 1.14 a

B. 1.15 a

C. 10?1.15 ? 1?a

D. 11?1.15 ? 1?a
a3 ? a5 ?( ) a4 ? a6

6.若正项等比数列 ?a n ?的公比 q ? 1 ,且 a3,a5,a 6 成等差数列,则

A. 5 ? 1 2
二、填空题。

B. 5 ? 1 2

C. 1 2


D. 无法确定

1. 在等比数列中, S 30 ? 13S10 , S10 ? S 30 ? 140 ,则 S 20 ? 2. 首项为 3 的等比数列的第 n 项是 48 ,第 2n ? 3 项是 192 ,则 n ?



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log 3 a1 ? log 3 a 2 ? log 3 a8 ? log 3 a9 3. 在由正数组成的等比数列 ?a n ?中, 若 a 4 a5 a 6 ? 3 ,
的值为 。 。

4. 一个直角三角形的三边称等比数列,则较小锐角的正弦值是

5. 等比数列 ?a n ?的首项 a1 ? 511 ,公比 q ? 1 ,记 C n ? a1 a 2 a3 ? a n ,则 C n 达到最大时, 2

n 的值是
三、解答题。



1. 设二次方程 a n x 2 ? a n?1 x ? 1 ? 0?n ? N ? ?有两个实数根 ? 和 ? , 且满足 6? ? 2?? ? 6?

? 3。
⑴试用 a n 表示 a n ?1 ; ⑶当 a1 ? 7 时,求数列 ?a n ?的通项公式。

⑵求证: a n ? 2 是等比数列;

?

3

?

6

2 ? 9a 2 a 6 。 2. ( 11 全国)等比数列 ?a n ?的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1 , a3

⑴ 求数列 ?a n ?的通项公式;

? ? ⑵ 设 bn ? log 3 a1 ? log 3 a 2 ? … ? log 3 a n ,求数列 ? 1 ? 的前 n 项和。 ? bn ?

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