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《解直角三角形及其应用》综合练习(含答案)-


2014 超越辅导解直角三角形及其应用 综合练习
一、选择题:(共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分) 1、在△ABC 中,∠C=90°,如果各边长度都缩小 2 倍,则 锐角 A 的正切值和余切值( ) A、都缩小 2 倍 B、都扩大 2 倍 C、都没有变 化 D、不能确定 2、在△ABC 中,∠C=90°,如果 AB=2,BC=1,那么 sinA 的值是(

) A、 点 A,在河南岸选相距 200 米的 B、C 两点,分别测得∠ABC 0 0 =60 ,∠ACB=45 ,则这段河的宽度为( ) (A) 100 2 (B) 100 3 (C) 100(3 ? 3) (D) 100(3 ? 3) 0 10、如图:在等腰直角三角形 ABC 中,∠C=90 ,AC=6,D 是 AC 上一点,若 tan∠DBA=

1 ,则 AD 的长为( 5



1 2
3 2

B、

5 5

C、

3 3

D、

A、 2 B、2 C、1 D、2 2 11、在离旗杆 20 米处的地方,用测角仪测得旗杆顶的仰角 为 ? ,如测角仪的高为 1.5 米,那么旗杆的高为( ) 米 A . 20coS ? B .20tan ? C . 1.5+ 20tan ? D.1.5+20coS ? 12、已知△ABC 中,∠B=60°,AB=6,BC=8,则△ABC 的面积是( ) (A) 12 3 (B)12 (C) 24 3 (D)12 2

3、在△ABC 中,已知 AC=3、BC=4、AB=5,那么下列结论 成立的是( ) A、sinA= D、cosA=

5 4

B、cosA=

3 5

C、tanA=

3 4

4 5


二、填空题:(共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 2 2 13、 计算: sin 48°+sin 42°-tan44°· tan45°· tan46° =________. 14、已知等腰三角形的周长为 20,某一内角的余弦值为

4、 已知α 为锐角, tan (90°-α ) = 3, 则α 的度数为 ( A.30° D.75° B.45° C.60°

?C ? 90 ? , t n 5、Rt ?ABC 中, 若 AB=2,BC ? 3 , 则a
的值为( A. ) B.

A 2

3 2

3 3

C. 3

D. 2 ? 3 6、 △ABC 中,cos A ?

1 , tanB=1, 则△ABC 的形状是 ( 2



那么该等腰三角形的腰长等于 。 15、升旗时某同学站在离旗杆底部 21 米处行注目礼,当国 0 旗升到旗杆顶端时,该同学看国旗的仰角是 30 ,若其双 眼离地面 1.60m,则旗杆高度为_________米(结果保留 根号). 16、如图,某车间的人字屋架为等腰三角形,跨度 AB=14 米,CD 为中柱,则上弦 AC 的长是 米(用∠A 的三角函数表示) . 17、 如图: 在高为 2 米, 水平距离为 3 米楼梯的表面铺地毯, 地毯的长度至少需_____米. 18、在倾斜角为 30°的山坡上种树,要求相邻两棵树间的 水平距离为 3 米,那么,相邻两棵树间的斜坡距离为 C 米。 E F D B

2, 3

A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形 A D.等腰三角形 7、若∠A 是锐角,且 sinA=cosA,则∠A 的度数是( ) A . 30 ° B . 45 ° C . 60 ° D.90° 8、如图,一棵大树在一次强台风中于离地面 5 米处折断倒 下,倒下部分与地面成 30°夹角,这棵大树在折断前的 高度为( ) A、10 米 B、15 米 C、25 米 D、 30 米
A

题 图 第 17 题图 第 18 题图 三、解答题:(共 6 个小题,共 40 分) 19、计算 ( )



16

1 2

?2

? 4 cos 60 ° ?(?1)2005 .
C

D
30°

第 第 10 题图

8

B

题9 题图 第

C



9、如下图,为了测量河流某一段的宽度,在河北岸选了一
-1-

A 20、为美化环境,计划在某小区内用 30 平方米的草皮铺设 一块边长为 10 米的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰 三角形绿地的另两边长。

B

21、某片绿地的形状如图所示,其中 ?A ? 60 ,AB⊥BC,AD
0

⊥CD,AB=200m,CD=100m,求 AD,BC 的长。 (精确到 1m,

3 ? 1.732 )
A

D

B

C

22、 小刚和小强两位同学参加放风筝比赛。 当他俩把风筝线 的一端固定在同一水平的地面时,测得一些数据如下表: 假设风筝线是拉直的,试比较他俩谁放的风筝较高? 高多少米?(精确到 0.1 米) (供参考数据: 2 ? 1.4142, 3 ? 1.7321, 5 ? 2.2361 ) 。

同学 小刚 小强

放出的线长(米) 250 200

线与地面所成的角 45° 60°

23、如图,天空中有一个静止的广告气球 C,从地面 A 点测 得 C 点的仰角为 45°,从地面 B 点测得 C 点的仰角为 60°. 已知 AB=20 m, 点 C 和直线 AB 在同一铅垂平面上, 求气球离地面的高度(结果保留根号) . A 45° B 60°

C

24、下图是一座人行天桥的示意图,天桥的高是 10 米,坡 面的倾斜角为 45 ? .为了方便行人推车过天桥,市政部门 决定降低坡度,使新坡面的倾斜角为 30 ? ,若新坡角下需 留 3 米的人行道,问离原坡角 10 米的建筑物是否需要拆 除?(参考数据: 2 ≈1.414, 3 ≈1.732 ) 3

C

10
D A B

-2-

参考答案 1—12、CAB ABAB B C BCA 13、0;14、6 或 12 ? 2 6 15、1.6 ? 7 3 ;16、 ;17、 ;18、

解法二:过点 D 作矩形 ABEF.设 AD=x, 在 Rt△ADF 中,∠DAF=90°-60°=30°,
3 1 1 x, AD ? x , AF ? 2 2 2 在 Rt△CDE 中,∠CDE=30°,

∴ DF ?

2 3
19、原式 ? 2 ? 4 ?
2

1 ?1 ? 4 ? 2 ?1 ? 1 2

3 1 CD ? 50 3 m, 则 CE ? CD ? 50 m, DE ? 2 2 ∵ DE ? DF ? AB ,

20、解:分三种情况计算,不妨设 AB=10 米,过点 C 作 CD ⊥AB 于 D,则:

S ?ABC =

1 AB ? CD ,∴CD=6 米 2

(1)当 AB 为底边时,AD=DB=5(米) (如图 1)AC=BC=

1 50 3 ? x ? 200 , 得 x ? 400 ? 100 3 , 即 2 AD ? 227 m. ∵ BC ? CE ? AF , ∴

BC ? 3 x ? 50 2
? 3 400 ? 100 3 ? 50 2

62 ? 52 = 61 (米)
C
C

?

?

? 200 3 ? 200 ? 146 m.

22、解:设小刚、小强的风筝分别为 h1 , h2 。由题意,得:

A

B D 第 24 题图 1 C

A A

D B

h1 ? 250sin 45
(米) 。

? 250 ?

2 ? 125 ?1.4142 ? 176.78 2

第 24 题图 2
D

h2 ? 200sin 60 , ? 200 ? 3 ? 100 3 ? 100 ?1.7321
2

(米) 。

D B B C (2)当 AB 为腰且三角形为锐角三角形时(如图 2) 第 24 题图 3 2 2 AB=AC=10(米) AD= AC ? CD =8(米) ,BD A
=2(米) BC= 6 ? 2 = 2 10 (米) (3)当 AB 为腰且三角形为钝角三角形时(如图 3)
2 2

E

。 h1 ? h2 ? 176.78 ?173.21 ? 3.57 ? 3.6 (米)

? 小刚放的风筝比小强放的风筝高约 3.6 米。

23、作 CD⊥AB,垂足为 D.设气球离地面的高度是 xm. 在 Rt△ACD 中,∠CAD=45° ∴AD=CD=x. 在 Rt△CBD 中 , ∠CBD=60° ∴cot60 ° =BD/CD ∴BD= 3 X/3 ∵ AB=AD—BD,∴20=X- 3 X/3.∴ X=30+10 3 答:气球离地面的高度是(30+10 3 )m. 24 、解:在 Rt ?ABC 中,∵ BC ? 10 , ?CAB ? 45? ,∴ AB= 10 cot 45? =10(米) 在 Rt ?DBC 中 , ∵ ?CDB ? 30? ∴
DB ? 10 cot 30? = 10 3 米

AB=BC=10(米) AC= 6 ? 18 = 6 10 (米) 21、解法一:如图,延长 AD,交 BC 的延长线于点 E. 在 Rt△ABE 中,由 AB ? 200 m,∠ A ? 60 °,
2 2

得 BE ? AB ? tan A ? 200 3 m, AE ?

AB ? 400 m. cos600

在 Rt△CDE 中, 由 CD ? 100 m, ∠ CED ? 900 ? ?A ? 300 , 得
CE ? 2CD ? 200 m, DE ? CD ? cot ?CED ? 100 3 m.

∴ AD ? AE ? DE ? 400 ? 100 3 ? 227 m,
BC ? BE ? CE ? 200 3 ? 200 ? 146 m.

则 DA = DB ? DA = 10 3 ? 10 ≈ 10 × 1.732 ? 10 = 7.32 米. ∵3 + DA ? 10 , 所以离原坡角 10 米的建筑物应拆除. 答:离原坡角 10 米的建筑物应拆除.

-3-


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