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第一讲相似三角形的性质与判定


第一讲

相似三角形的性质与判定

一、知识要点 1.相似三角形的定义:对应角相等,对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相似比。 三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。 2.相似三角形的判定:①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”)③两组对应边的 比相等,且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”)④两角对

应相等(AA) 直角三角形中斜边、直角边对应比相等(类似于直角三角形全等判定“HL”)。 相似三角形的基本图形:

判断三角形相似,若已知一角对应相等,可先考虑另一角对应相等,注意公共角或对顶角或同角(等角) 的余角(或补角)相等,若找不到第二对角相等,就考虑夹这个角的两对应边的比相等;若无法得到角 相等,就考虑三组对应边的比相等。 3.相似三角形的性质:①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相 似比④对应的面积之比等于相似比的平方。 4.相似三角形的应用:求物体的长或宽或高;求有关面积等。

二、考点精讲
考点一:平行线分线段成比例 例 1、(2014 广东肇庆)如图,已知直线 a∥b∥c,直线 m、n 与 a、b、c 分 别交于点 A、C、E、B、D、F,AC = 4,CE = 6,BD = 3,则 BF =( ) A. 7 B. 7.5 C. 8 ) D. 8.5

练习:1、 下列每组图中的两个图形是相似图形的是 (

(1 )

(2 )

(3 )

(4 )

A.(1)、(2) B.(3)、(4) C.(1)、(3) D.(1)、(4) 2.下列各组线段中,能成比例的是 ( ) A、 1 ㎝,3 ㎝,4 ㎝,6 ㎝ B、 30 ㎝,12 ㎝,0.8 ㎝,0.2 ㎝ C、 0.1 ㎝,0.2 ㎝,0.3 ㎝,0.4 ㎝ D、 12 ㎝,16 ㎝,45 ㎝,60 ㎝

3. 如果线段 a ? 2 ,且 a 、 b 的比例中项为 10 ,那么线段 b = 4、若 x:y=3,则 x:(x+y)=_______ 5. 在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P、Q.则PQ=(
5 ?1 2





A.

B .3? 5

C.

5?2
)

3? 5 D. 2
C G E F

D

6. 已知

a b c a ? b 的值为( ? ? ? 0 ,则 2 3 4 c

A. 4 B. 5 C.2 D. 1 5 4 2 B A P 考点二:相似三角形的判定 例 2、(2013 湖北荆州) 如图,P 为线段 AB 上一点,AD 与 BC 交于 E,∠CPD=∠A=∠B,BC 交 PD 于 F,AD 交 PC 于 G,则图中相似三角形有( ) A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 例 3.如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,沿直线 MN 对折,使 A、C 重合,直线 MN 交 AC 于 O. (1)求证:△COM∽△CBA; (2)求线段 OM 的长度.

练习: 1.下列各组三角形一定相似的是( ) A.两个直角三角形 B.两个钝角三角形 C.两个等腰三角形 D.两个等边三角形 2.如图,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形一共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 3、如图,P 是 RtΔ ABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一点,过点 P 做直线截 Δ ABC,使截得的三角形与Δ ABC 相似,满足这样条件的直线共有( ) A、 1 条 B、 2 条 C、 3 条 D、 4 条
A

A E
B

D F

D

C

第2题 第3题 第4题 4.如图,∠ADC=∠ACB=90°,∠ACD=∠B,AC=5,AB=6,则AD=____ 5.如图,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对.

B

C

第5题 __.

考点三:相似三角形的性质 例 4、(2013 山东烟台)如图,△ABC 中,点 D 在线段 BC 上, 且△ABC∽△DBA,则下列结论一定正确的是( ) 2 2 A.AB =BC· BD B.AB =AC· BD C.AB· AD=BD· BC D.AB· AD=AD· CD 例 5、(2014 浙江嘉兴)如 图,边长为 4 的等边△ABC 中,DE 为中位线,则四边形

A

D
B

E
C
(例 5)

BCED 的面积为(



(A) 2 3

(B) 3 3

(C) 4 3

(D) 6 3

例 6(2012?重庆)已知△ABC∽△DEF,△ABC 的周长为 3,△DEF 的周长为 1,则 ABC 与△DEF 的面 积之比为 . 练习:1.(2014 青海西宁,10,3 分)如图 6,在等边△ABC 中,D 为 BC 边上一点,E 为 AC 边上一点, 且∠ADB+∠EDC=120°,BD=3,CE=2,则△ABC 的边长为( ) A.9 B.12 C.16 D.18

A Q D B
1 S △ ABC 4

P

E C


2.(2013 四川雅安,9,3 分)如图,D、E、F 分别为△ABC 三边的中点,则下列说法中不正确的为( A.△ADE∽△ABC B. S△ABF ? S△ AFC C. S △ ADE ? D.DF=EF

3.(2013 辽宁丹东,16,3 分)已知:如图,DE 是△ABC 的中位线,点 P 是 DE 的中点,CP 的延长线 交 AB 于点 Q,那么 S?DPQ : S?ABC ? ______________. 三、反馈练习 反馈题 1:如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,E 为 DC 中点,直线 BE 交 AC 于 F,交 AD 的延长线于 G G;请说明:EF·BG=BF·EG

D

E F

C

A

B

反馈题 2,如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,圆心 O 在 AB 上,过点 B 作⊙O 的切线交 AC 的延长线于点 D。 (1)求证:△ABC∽△BDC。 (2)若 AC=8,BC=6,求△BDC 的面积。

反馈题 3:如图,点 A,B,C,D 在⊙O 上,AB=AC,AD 与 BC 相交于点 E, AE ? DB 到点 F,使 FB ?

1 ED ,延长 2

1 BD ,连接 AF. 2

(1)证明:△BDE∽△FDA; (2)试判断直线 AF 与⊙O 的位置关系,并给出证明.

五、聚焦中考(能力提升) 1.如图 8,△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片,AD 是边 BC 上的高,BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片 上剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH,使它的一边 EF 在 BC 上,顶点 G、H 分别在 AC,AB 上,AD 与 HG 的交点为 M. (1) 求证:
AM HG ? ; AD BC

(2) 求这个矩形 EFGH 的周长.

2.如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上, OA ? 8 2 cm, OC=8cm,现有两 动点 P、Q 分别从 O、C 同时出发,P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 2 cm 的速度匀速运动,Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动.设运动时间为 t 秒. (1)用 t 的式子表示△OPQ 的面积 S; (2)求证:四边形 OPBQ 的面积是一个定值,并求出这个定值; 1 (3)当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时,抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 经过 B、P 两点,过线段 BP 上一动点 M 4 作 y 轴的平行线交抛物线于 N, 当线段 MN 的长取最大值时, 求直线 MN 把四边形 OPBQ 分成两部分的面积之 比.

3.如题 13(a)图,在平面直角坐标系中,点 A 坐标为(12,0),点 B 坐标为(6,8),点 C 为 OB 的中点,点 D 从点 O 出发,沿△OAB 的三边按逆时针方向以 2 个单位长度/秒的速度运动一周. (1)点 C 坐标是( , ),当点 D 运动 8.5 秒时所在位置的坐标是( , ); (2)设点 D 运动的时间为 t 秒,试用含 t 的代数式表示△OCD 的面积 S,并指出 t 为何值时,S 最大; (3)点 E 在线段 AB 上以同样速度由点 A 向点 B 运动,如题 13(b)图,若点 E 与点 D 同时出发,问在运动 5 秒钟内,以点 D,A,E 为顶点的三角形何时与△OCD 相似(只考虑以点 A.O 为对应顶点的情况):

题 13(a)图

题 13(b)图


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