当前位置:首页 >> 数学 >> 高三数学第十一章概率与统计复习学案(教师版)

高三数学第十一章概率与统计复习学案(教师版)


第十一章概率与统计

第十一章 第1节
【高考考情解读】

概率与统计 概率

1.古典概型和几何概型的基本应用是高考的重点,选择题或填空题主要以考查几何概型、古 典概型为主,试题难度较小,易于得分. 2.解答题型中的古典概型问题常常与概率的基本运算性质,如互斥事件的概率加法公式、对 立事件的减法公式等综合考查,试题难度不大,易于得满分. 3.近几年高考题对概率问题的命制愈加地倾向与统计问题综合考查,涉及的统计问题有抽 样、样本估计总体、回归分析和独立性检验,试题难度中等,考查知识点的同时也侧重考查 逻辑思维能力、知识的综合应用能力和理解、分析问题的能力. 【知识梳理】 1. 概率的五个基本性质 (1)随机事件 A 的概率:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率为 1. (3)不可能事件的概率为 0. (4)如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B). (5)如果事件 A 与事件 B 互为对立事件,那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,即 P(A)=1- P(B). 2. 两种常见的概型 (1)古典概型 ①特点:有限性,等可能性. 事件A中所含的基本事件数 ②概率公式:P(A)= . 试验的基本事件总数 (2)几何概型 ①特点:无限性,等可能性. ②概率公式: P(A)= 构成事件A的区域长度?面积或体积? . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

【典型题型解析】 考点一 古典概型 例1 (2013· 山东)某小组共有 A,B,C,D,E 五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标 (单位:千克/米 2)如下表所示: A B C D E

221

身高 体重指标

1.69 19.2

1.73 25.1

1.75 18.5

1.79 23.3

1.82 20.9

(1)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人, 求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率; (2)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 [18.5,23.9)中的概率. 解 (1)从身高低于 1.80 的 4 名同学中任选 2 人, 其一切可能的结果组成的基本事件有:

(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共 6 个.设“选到的 2 人身高都在 3 1 1.78 以下”为事件 M,其包括的事件有 3 个,故 P(M)= = . 6 2 (2)从小组 5 名同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A, C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)共 10 个. 设“选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件 N,且事件 N 包括事件有:(C,D),(C,E),(D,E)共 3 个. 3 则 P(N)= . 10 求古典概型概率的步骤 (1)反复阅读题目,收集题目中的各种信息,理解题意; (2)判断试验是否为古典概型,并用字母表示所求事件; (3)利用列举法求出总的基本事件的个数 n 及事件 A 中包含的基本事件的个数 m; m (4)计算事件 A 的概率 P(A)= . n (1)(2012· 安徽)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球.从球中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 1 A. 5 3 C. 5 答案 B 解析 利用古典概型求解. 设袋中红球用 a 表示,2 个白球分别用 b1,b2 表示,3 个黑球分别用 c1,c2,c3 表示, 则从袋中任取两球所含基本事件为:(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1, b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2, c3),共 15 个. 两球颜色为一白一黑的基本事件有: (b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),共 6 个. 2 B. 5 4 D. 5 ( )

222

第十一章概率与统计

6 2 ∴其概率为 = .故选 B. 15 5 (2)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的 数字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲乙“心有 灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 11 A. 36 1 C. 6 答案 D 解析 根据题目条件知所有的数组(a, b)共有 62=36 组, 而满足条件|a-b|≤1 的数组(a, b)有:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3), 16 (4,5),(5,4),(5,6),(6,5),共有 16 组,根据古典概型的概率公式知所求的概率为 P= 36 4 = .故选 D. 9 (3)盒中有 6 个小球,其中 3 个白球,记为 a1,a2,a3,2 个红球,记为 b1,b2,1 个黑球, 记为 c1,除了颜色和编号外,球没有任何区别. ①求从盒中取一球是红球的概率; ②从盒中取一球,记下颜色后放回,再取一球,记下颜色,若取白球得 1 分,取红球得 2 分,取黑球得 3 分,求两次取球得分之和为 5 分的概率. 解 ①所有基本事件为:a1,a2,a3,b1,b2,c1 共计 6 种. 5 B. 18 4 D. 9 ( )

记“从盒中取一球是红球”为事件 A,事件 A 包含的基本事件为:b1,b2, 2 1 ∴P(A)= = . 6 3 1 ∴从盒中取一球是红球的概率为 . 3 ②记“两次取球得分之和为 5 分”为事件 B,总事件包含的基本事件为:(a1,a1),(a1, a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,a3),(a2,b1),(a2, b2),(a2,c1),(a3,a1),(a3,a2),(a3,a3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,c1),(b1,a1),(b1, a2),(b1,a3),(b1,b1),(b1,b2),(b1,c1),(b2,a1),(b2,a2),(b2,a3),(b2,b1),(b2, b2),(b2,c1),(c1,a1),(c1,a2),(c1,a3),(c1,b1),(c1,b2),(c1,c1),共计 36 种. 而事件 B 包含的基本事件为:(b1,c1),(b2,c1),(c1,b1),(c1,b2),共计 4 种. 4 1 ∴P(B)= = . 36 9 1 ∴“两次取球得分之和为 5 分”的概率为 . 9 考点二 几何概型
223

例2

(2013· 四川)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮 相互独立, 且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪 亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ( 1 A. 4 答案 C 解析 设在通电后的 4 秒钟内,甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻 0≤x≤4 ? ? 为 x、y,x、y 相互独立,由题意可知?0≤y≤4 ? ?|x-y|≤2 1 B. 2 3 C. 4 7 D. 8 )

,如图所示.

∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过 2 秒的概率为 P(|x-y|≤2)= 1 4×4-2× ×2×2 2 12 3 = = . 16 4 4×4

S正方形-2S△ABC = S正方形

当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使 用几何概型求解; 利用几何概型求概率时, 关键是试验的全部结果构成的区域和事件发 生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域. (1)在区间[0,2]上任取两个实数 a,b,则函数 f(x)=x3+ax-b 在区间[-1,1] 上有且仅有一个零点的概率是 1 A. 8 3 C. 4 1 B. 4 7 D. 8 ( )

(2)(2012· 湖北)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA, OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影 部分的概率是 2 A.1- π 2 C. π 答案 解析 (1)D (2)A (1)因为 f′(x)=3x2+a,由于 a≥0,故 f′(x)≥0 恒成立, 1 1 B. - 2 π 1 D. π ( )

故函数 f(x)在[-1,1]上单调递增,故函数 f(x)在区间[-1,1]上有且
? ? ?f?-1?≤0, ?a+b+1≥0, 只有一个零点的充要条件是? 即? ?f?1?≥0, ?a-b+1≥0. ? ?

224

第十一章概率与统计 ? ?0≤a≤2, 设点(a,b),则基本事件所在的区域是? 画出平面区域,如图所示,根据几 ?0≤b≤2, ?

何概型的意义, 所求的概率是以图中阴影部分的面积和以 2 为边长的正方形的面积的比 7 值,这个比值是 .故选 D. 8 (2)方法一 解题关键是求出空白部分的面积,用几何概型求解. 设分别以 OA,OB 为直径的两个半圆交于点 C,OA 的中点为 D,如 图,连接 OC,DC. 不妨令 OA=OB=2, 则 OD=DA=DC=1. π 1 在以 OA 为直径的半圆中,空白部分面积 S1= + ×1×1- 4 2

?π-1×1×1?=1, ?4 2 ?
所以整体图形中空白部分面积 S2=2. 1 又因为 S 扇形 OAB= ×π×22=π, 4 所以阴影部分面积为 S3=π-2. π-2 2 所以 P= =1- . π π 方法二 连接 AB,由 S 弓形 AC=S 弓形 BC=S 弓形 OC 可求出空白部分面积. 设分别以 OA,OB 为直径的两个半圆交于点 C,令 OA=2. 由题意知 C∈AB 且 S 弓形 AC=S 弓形 BC=S 弓形 OC, 1 所以 S 空白=S△OAB= ×2×2=2. 2 1 又因为 S 扇形 OAB= ×π×22=π, 4 所以 S 阴影=π-2. S阴影 π-2 2 所以 P= = =1- . π π S扇形OAB 考点三 互斥事件与对立事件 例 3 某项活动的一组志愿者全部通晓中文,并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中 1 的一种(但无人通晓两种外语).已知从中任抽一人,其通晓中文和英语的概率为 ,通 2 3 晓中文和日语的概率为 .若通晓中文和韩语的人数不超过 3 人. 10 (1)求这组志愿者的人数; (2)现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者 1 名,通晓韩语的志愿者 1 名,若甲通
225

晓英语,乙通晓韩语,求甲和乙不全被选中的概率. 解 (1)设通晓中文和英语的人数为 x,通晓中文和日语的人数为 y,通晓中文和韩语的

人数为 z,且 x,y,z∈N*,则

? 3 ?x+yy+z=10 , ?0<z≤3,

x 1 = , x+y+z 2

x=5, ? ? 解得?y=3, ? ?z=2,

所以这组志愿者的人数为 5+3+2=10. (2)设通晓中文和英语的人为 A1,A2,A3,A4,A5,甲为 A1,通晓中文和韩语的人为 B1, B2,乙为 B1,则从这组志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各 1 名的所有情况为(A1, B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(A5,B1), (A5,B2),共 10 种, 同时选中甲、乙的只有(A1,B1)1 种. 1 9 所以甲和乙不全被选中的概率为 1- = . 10 10 求解互斥事件、对立事件的概率问题时,一要先利用条件判断所给的事件是 互斥事件,还是对立事件;二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率; 三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率. (2013· 江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为: 以 O 为起点,再从 A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到 两个向量,记这两个向量的数量积为 X.若 X>0 就去打球,若 X=0 就去唱歌,若 X<0 就去下棋.

(1)写出数量积 X 的所有可能取值; (2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率. 解 (1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1.

→ → (2)数量积为-2 的有OA2· OA5,共 1 种; → → → → → → → → → → → → 数量积为-1 的有OA1· OA5,OA1· OA6,OA2· OA4,OA2· OA6,OA3· OA4,OA3· OA5,共 6

226

第十一章概率与统计

种; → → → → → → → → 数量积为 0 的有OA1· OA3,OA1· OA4,OA3· OA6,OA4· OA6,共 4 种; → → → → → → → → 数量积为 1 的有OA1· OA2,OA2· OA3,OA4· OA5,OA5· OA6,共 4 种. 故所有可能的情况共有 15 种. 7 所以小波去下棋的概率为 P1= ; 15 4 因为去唱歌的概率为 P2= , 15 4 11 所以小波不去唱歌的概率为 P=1-P2=1- = . 15 15

1. 互斥事件与对立事件的关系 (1)对立一定互斥,互斥未必对立; (2)可将所求事件化为互斥事件 A、B 的和,再利用公式 P(A+B)=P(A)+P(B)来求,也 可通过对立事件公式 P( A )=1-P(A)来求 P(A). 2.古典概型与几何概型 古典概型 特点 计算公式 ①有限性 ②等可能性 A包含的基本事件个数m P(A)= 总的基本事件个数n

几何概型 特点 计算公式 ①无限性 ②等可能性 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

227

【当堂达标】 1. 电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59,每一时刻都由四个数字构成,则一天中 任一时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为 1 A. 180 答案 C 解析 因为时钟一分钟显示一次,故总的显示方法数为 24×60=1 440(种),四个数字 之和为 23 的有 09:59,18:59,19:49,19:58 四种情况,故所求概率为 4 1 = . 1 440 360 1 B. 288 1 C. 360 1 D. 480 ( )

2. 袋中装有大小相同且形状一样的四个球, 四个球上分别标有“2”、 “3”、 “4”、 “6” 这四个数. 现从中随机选取三个球, 则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的 概率是________. 答案 1 2

解析 从四个不同的数中选三个的情况有(2,3,4),(2,3,6),(2,4,6),(3,4,6),共四种,满 2 1 足成等差数列的情况有(2,3,4)和(2,4,6),共两种.故所求概率为 = . 4 2 3. (2012· 天津)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的方法从这些 学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率. 解 (1)由分层抽样定义知,

21 从小学中抽取的学校数目为 6× =3; 21+14+7 14 从中学中抽取的学校数目为 6× =2; 21+14+7 7 从大学中抽取的学校数目为 6× =1. 21+14+7 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3,2 所中学分别记为 A4,A5, 大学记为 A6,则抽取 2 所学校的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1, A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3, A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为{A1, A2}, {A1, A3},{A2,A3},共 3 种,
228

第十一章概率与统计

3 1 所以 P(B)= = . 15 5 【点击高考】 一、选择题 1. (2013· 课标全国Ⅰ)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 1 A. 2 1 C. 4 答案 B 解析 基本事件的总数为 6, 构成“取出的 2 个数之差的绝对值为 2”这个事件的基本事件的个数为 2. 2 1 所以,所求概率 P= = ,故选 B. 6 3 2. (2013· 安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用 的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 2 A. 3 3 C. 5 答案 D 解析 由题意,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙), (甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙, 丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共 10 种,其中“甲与乙均未被录用” 的所有不同的可能结果只有(丙,丁,戊)这 1 种,故其对立事件“甲或乙被录用”的可 9 能结果有 9 种,所求概率 P= . 10
? ?0≤x≤2, 3. (2012· 北京)设不等式组? 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点, ? ?0≤y≤2

( 1 B. 3 1 D. 6

)

(

)

2 B. 5 9 D. 10

则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 π A. 4 π C. 6 答案 D 解析 根据题意作出满足条件的几何图形求解. 如图所示,正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D,且区 π-2 B. 2 4-π D. 4

(

)

229

域 D 的面积为 4,而阴影部分表示的是区域 D 内到原点距离大于 2 的区域,易知该阴影部分的面积为 4-π,因此满足条件的概率是 4-π ,故选 D. 4 4. 第 16 届亚运会于 2010 年 11 月 12 日在中国广州举行, 运动会期间有来自 A 大学 2 名和 B 大学 4 名的大学生志愿者,从这 6 名志愿者中随机抽取 2 人到体操比赛场馆服务,则 至少有一名 A 大学志愿者的概率是 1 A. 15 3 C. 5 答案 C 解析 若这 2 名学生来自两所大学, 2×4 8 则 P1= = ; 15 15 若这 2 名大学生来自 A 大学, 1 则 P2= . 15 8 1 3 故至少有一名 A 大学志愿者的概率是 + = . 15 15 5 5. 一个袋中有 3 个黑球,2 个白球共 5 个大小相同的球,每次摸出一球,放进袋里再摸第 二次,则两次摸出的球都是白球的概率为 2 A. 5 2 C. 25 答案 D 解析 有放回地摸球,基本事件总数为 25;两次都是白球所包含的基本事件为 4.所以 4 两次摸出的球都是白球的概率为 . 25 6. 若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数 a 和 b,则方程 x=2 2a- 实数根的概率为 1 A. 4 3 C. 4 答案 B 解析 方程 x=2 2a-
230

(

)

2 B. 5 14 D. 15

(

)

4 B. 5 4 D. 25

2b 有不等 x ( )

1 B. 2 2 D. 5

2b ,即 x2-2 2ax+2b=0,原方程有不等实数根,则需满足 Δ x

第十一章概率与统计

=(2 2a)2-4×2b>0,即 a>b. 在如图所示的平面直角坐标系内,(a,b)的所有可能结果是边长为 1 2b 的正方形(不包括边界),而事件 A“方程 x=2 2a- 有不等实数 x 根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界). 1 ×1×1 2 1 由几何概型公式可得 P(A)= = . 2 1×1 二、填空题 7. 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点.若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 AB 的长 度小于 1 的概率为________. 答案 2 3

解析 如图, 设 A, M, N 为圆周的三等分点, 当 B 点取在优弧 MAN 上时, 2 对劣弧 AB 来说,其长度小于 1,故其概率为 . 3 8. (2013· 江苏)现有某类病毒记作 XmYn,其中正整数 m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则 m,n 都取到奇数的概率为________. 答案 20 63

4×5 20 解析 P= = . 7×9 63 9. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1,2,3,4 的正四面体,其底面落于桌面,记 x 所得的数字分别为 x,y,则 为整数的概率是________. y 答案 1 2

解析 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字 x,y 记作有序实数对(x,y), x 共包含 16 个基本事件,其中 为整数的有 y (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),共 8 个基本事件,故所求的概率 为 8 1 = . 16 2

10.已知区域 Ω={(x,y)|x+y≤10,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x-y≥0,x≤5,y≥0},若向 区域 Ω 上随机投 1 个点,则这个点落入区域 A 的概率 P(A)=________. 答案 1 4

231

1 解析 作出如图所示的可行域, 易得区域 Ω 的面积为 ×10×10=50, 2 1 25 区域 A(阴影部分)的面积为 ×5×5= .故该点落在区域 A 的概率 2 2 25 2 1 P(A)= = . 50 4 三、解答题 11.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员,某些队员不止参加了一支球队, 具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:

(1)该队员只属于一支球队的概率; (2)该队员最多属于两支球队的概率. 解 从图中可以看出,3 个球队共有 20 名队员.

(1)记“随机抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件 A. 3+5+4 3 3 所以 P(A)= = .故随机抽取一名队员,只属于一支球队的概率为 . 20 5 5 (2)记“随机抽取一名队员, 该队员最多属于两支球队”为事件 B.则 P(B)=1-P( B )=1 - 2 9 = . 20 10

9 故随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队的概率为 . 10 12.在一次“知识竞赛”活动中,有 A1,A2,B,C 四道题,其中 A1,A2 为难度相同的容易 题,B 为中档题,C 为较难题.现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答. (1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率; (2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率. 解 由题意可知,甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题,所有可能的结果有

16 个,它们是:(A1,A1),(A1,A2),(A1,B),(A1,C),(A2,A1),(A2,A2),(A2,B), (A2,C),(B,A1),(B,A2),(B,B),(B,C),(C,A1),(C,A2),(C,B),(C,C). (1)用 M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”,则 M 包含的基本事件有: (A1,A1),(A1,A2),(A2,A1),(A2,A2),(B,B),(C,C),共 6 个,所以 P(M)= 6 3 = . 16 8

(2)用 N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”,则 N 包含的基本事件 5 有:(B,A1),(B,A2),(C,A1),(C,A2),(C,B),共 5 个,所以 P(N)= . 16
232

第十一章概率与统计

13.现有 8 名数理化成绩优秀者,其中 A1,A2,A3 数学成绩优秀,B1,B2,B3 物理成绩优 秀,C1,C2 化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,组成一个 小组代表学校参加竞赛. (1)求 C1 被选中的概率; (2)求 A1 和 B1 不全被选中的概率. 解 (1)从 8 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,其一切可能的结果组成的

基本事件空间为 Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1, B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2, B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3, B3,C2)}. 由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等. 因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示“C1 恰被选中”这一事件,则 M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2, B3,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1)}. 9 1 事件 M 由 9 个基本事件组成,因而 P(M)= = . 18 2 (2)用 N 表示“A1,B1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 N 表示“A1,B1 全被选中”这一事件, 由于 N ={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},事件 N 由 2 个基本事件组成,所以 P( N ) = 2 1 = . 18 9

由对立事件的概率公式得 1 8 P(N)=1-P( N )=1- = . 9 9

233

第2节
【高考考情解读】

统计与统计案例

1.该部分常考内容:样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等; 有时也会在知识交汇点处命题,如概率与统计交汇等. 2.从考查形式上来看,大部分为选择题、填空题,重在考查基础知识、基本技能,有时在知 识交汇点处命题,也会出现解答题,都属于中低档题. 【知识梳理】 1. 随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取,适用范围:总体中的个体较少. (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取,适用范 围:总体中的个体数较多. (3)分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取,适用范围:总体由差异明显的几 部分组成. 2. 常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积=组距× 频率 =频率; 组距

②各小长方形的面积之和等于 1; 频率 1 ③小长方形的高= ,所有小长方形的高的和为 . 组距 组距 (2)茎叶图 在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好. 3. 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 众数 样本数据 出现次数最多的数据 将数据按大小依次排列,处在最 中位数 中间位置的一个数据(或最中间两 个数据的平均数) 平均数 样本数据的算术平均数 频率分布直方图 取最高的小长方形底边中点的横坐标 把频率分布直方图划分左右两个面积 相等的分界线与 x 轴交点的横坐标 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中 点的横坐标之和

1 (2)方差:s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2]. n 标准差:
234

第十一章概率与统计

s=

1 [?x - x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2]. n 1

4. 变量的相关性与最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数. (2)最小二乘法:对于给定的一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),通过求 Q=

i=1

? (yi-a-bxi)2 最小时,得到线性回归方程y=bx+a的方法叫做最小二乘法.

n

^

^

^

5. 独立性检验 对于取值分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量 X 和 Y,其样本频数列联表是: y1 x1 x2 总计
2

y2 b d b+d

总计 a+b c+d n

a c a+c

n?ad-bc?2 则K= (其中 n=a+b+c+d 为样本容量). ?a+b??c+d??a+c??b+d? 【典型题型解析】 考点一 抽样方法 例 1 (2012· 山东)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编 号为 1,2,?,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其 余的人做问卷 C.则抽到的人中,做问卷 B 的人数为 A.7 答案 C 解析 由系统抽样的特点知:抽取号码的间隔为 960 = 30 , 抽 取 的 号 码 依 次 为 32 B.9 C.10 D.15 ( )

9,39,69,?,939.落入区间[451,750]的有 459,489,?,729,这些数构成首项为 459, 公差为 30 的等差数列,设有 n 项,显然有 729=459+(n-1)×30,解得 n=10.所以做 问卷 B 的有 10 人. 在系统抽样的过程中,要注意分段间隔,需要抽取几个个体,样本就需要分 N 成几个组,则分段间隔即为 (N 为样本容量),首先确定在第一组中抽取的个体的号码 n 数, 再从后面的每组中按规则抽取每个个体. 解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样 方法的特点和适用范围.但无论哪种抽样方法,每一个个体被抽到的概率都是相等的, 都等于样本容量和总体容量的比值. (1)(2013· 江西)总体由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成,利用下面
235

的随机数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由 左到右依次选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为 7816 3204 A.08 6572 9234 B.07 0802 4935 C.02 6314 8200 0702 3623 D.01 4369 4869 9728 6938 0198 7481 ( )

(2)某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示,现要从中抽取 40 名职工作样本.用系 统抽样法,将全体职工随机按 1~200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1~5 号,6~ 10 号,?,196~200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 ________.若用分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取________人.

答案 解析

(1)D (2)37 20 (1)从第 1 行第 5 列、第 6 列组成的数 65 开始由左到右依次选出的数为:

08,02,14,07,01,所以第 5 个个体编号为 01. (2)由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22,即第 n 组抽取的号 码为 5n-3, 所以第 8 组抽出的号码为 37; 40 岁以下年龄段的职工数为 200×0.5=100, 40 则应抽取的人数为 ×100=20 人. 200 考点二 用样本估计总体 例 2 (1)(2013· 四川)某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数 据的茎叶图如图所示,以组距为 5 将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时, 所作的频率分布直方图是 ( )

236

第十一章概率与统计

(2)(2013· 江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 第5次 93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________. 答案 解析 (1)A (2)2 (1)由于频率分布直方图的组距为 5,去掉 C、D,又[0,5),[5,10)两组各一人,去

掉 B,应选 A. 1 (2) x 甲= (87+91+90+89+93)=90, 5 1 x 乙= (89+90+91+88+92)=90, 5 1 2 2 2 2 2 s2 甲= [(87-90) +(91-90) +(90-90) +(89-90) +(93-90) ]=4, 5 1 2 2 2 2 2 s2 乙= [(89-90) +(90-90) +(91-90) +(88-90) +(92-90) ]=2. 5 (1)反映样本数据分布的主要方式有: 频率分布表、 频率分布直方图、 茎叶图. 关 于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率, 其高低能够描述频率的大 小, 高考中常常考查频率分布直方图的基本知识, 同时考查借助频率分布直方图估计总 体的概率分布和总体的特征数, 具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、 众数和中 位数、方差等. (2)由样本数据估计总体时,样本方差越小,数据越稳定,波动越小. 在“2012 魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中, 参赛选手成绩的茎叶 图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,可见部分如图,据此回答以下问题:

237

(1)求参赛总人数和频率分布直方图中[80,90)之间的矩形的高,并完成直方图; (2)若要从分数在[80,100]之间任取两份进行分析,在抽取的结果中,求至少有一份分数 在[90,100]之间的概率. 解 (1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为 2.

由频率分布直方图知,分数在[50,60)之间的频率为 0.008×10=0.08. 2 所以参赛总人数为 =25(人). 0.08 分数在[80,90)之间的人数为 25-2-7-10-2=4(人), 4 分数在[80,90)之间的频率为 =0.16, 25 0.16 得频率分布直方图中[80,90)间矩形的高为 =0.016. 10 完成直方图,如图.

(2)将[80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4;[90,100]之间的 2 个分数编号为 5 和 6. 则在[80,100]之间任取两份的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4), (2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 15 个, 其中至少有一个在[90,100]之间的基本事件为(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6),(5,6),共 9 个. 9 3 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是 = . 15 5 考点三 统计案例 例3 (2013· 重庆)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元) 与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得 ?xi=80, ?yi=20, ?xiyi=184, ?x2 i =720.
i=1 i=1 i=1 i=1 10 10 10 10

238

第十一章概率与统计

(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

i=1

?xiyi-n x
x2 i -n i=1

n

y ,a= y -b x ,其中 x , y 为 x
2

附:线性回归方程 y=bx+a 中,b=

?
^

n

^

^

样本平均值,线性回归方程也可写为y=bx+a. 解 1n 80 (1)由题意知 n=10, x = ?xi= =8, ni=1 10

1n 20 y = ?yi= =2, ni=1 10
2 2 又 lxx= ?x2 i -n x =720-10×8 =80, i=1 n

lxy= ?xiyi-n x
i=1

n

y =184-10×8×2=24,

lxy 24 由此得 b= = =0.3, lxx 80 a= y -b x =2-0.3×8=-0.4, 故所求线性回归方程为 y=0.3x-0.4. (2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b=0.3>0), 故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y=0.3×7-0.4=1.7(千元).
^

(1)对具有线性相关关系的两个变量可以用最小二乘法求线性回归方程, 求b是

^

i=1

? ?xi- x ??yi- y ? ?xiyi-n x
i=1

n

n

y . x
2

关键,其中b=


i=1

? ?xi- x ?

n

2

x2 i -n = i 1

?

n

(2)在利用统计变量 K2(χ2)进行独立性检验时,应该注意数值的准确代入和正确计算,最 后把计算的结果与有关临界值相比较. (1)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的 列联表:

239

男 爱好 不爱好 总计 40 20 60

女 20 30 50

总计 60 50 110

n?ad-bc?2 由 K2(χ2)= 算得, ?a+b??c+d??a+c??b+d? 110×?40×30-20×20?2 K2(χ2)= ≈7.8. 60×50×60×50 附表: P(K2(χ2)≥k) k 参照附表,得到的正确结论是 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 ( )

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” (2)已知 x、y 取值如下表: x y 0 1.3 1 1.8 4 5.6 5 6.1
^

6 7.4
^

8 9.3
^

从所得的散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且y=0.95x+a,则a等于 A.1.30 B.1.45 C.1.65 D.1.80 答案 解析 (1)C (2)B

(

)

(1)根据独立性检验的定义,由 K2(χ2)≈7.8>6.635 可知我们有 99%以上的把握认

为“爱好该项运动与性别有关”,故选 C. 1 (2)依题意得, x = ×(0+1+4+5+6+8)=4, 6 1 y = (1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+9.3)=5.25; 6
^ ^ ^

又直线y=0.95x+a必过样本点中心( x , y ), 即点(4, 5.25), 于是有 5.25=0.95×4+a,
^

由此解得a=1.45.

1. 用样本估计总体 (1)在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应的频率,各小长方形的面积的和 为 1.
240

第十一章概率与统计

(2)众数、中位数及平均数的异同 众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量. (3)当总体的个体数较少时,可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布;当 总体容量很大时, 通常从总体中抽取一个样本, 分析它的频率分布, 以此估计总体分布. 1n ①总体期望的估计,计算样本平均值 x = ∑ x. ni=1 i ②总体方差(标准差)的估计: 1n 方差= ∑ (x - x )2,标准差= 方差, ni=1 i 方差(标准差)较小者较稳定.
^ ^ ^

2. 线性回归方程y =b x+a 过样本点中心( x , y ),这为求线性回归方程带来很多方便. 3. 独立性检验 (1)作出 2×2 列联表. (2)计算随机变量 K2(χ2)的值. (3)查临界值,检验作答. 【当堂达标】 1. 经问卷调查,某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度,其中 持“一般”态度的学生比持“不喜欢”的学生多 12 人, 按分层抽样的方法(抽样过程中 不需要剔除个体)从全班选出部分学生进行关于摄影的座谈.若抽样得出的 9 位同学中 有 5 位持“喜欢”态度的同学,1 位持“不喜欢”态度的同学和 3 位持“一般”态度的 同学,则全班持“喜欢”态度的同学人数为 A.6 答案 C 解析 由题意设全班学生为 x 人,持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”态度的学生分别 5 1 1 1 1 占全班人数的 、 、 ,所以 x( - )=12,解得 x=54,所以全班持“喜欢”态度的人 9 9 3 3 9 5 数为 54× =30.故选 C. 9 2. 某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数) 分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如图的频率分布直方图,请你根据频率 分布直方图中的信息,估计出本次考试数学成绩的平均分为________. B.18 C.30 D.54 ( )

241

答案 71 解析 由频率分布直方图得每一组的频率依次为 0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05, 又由频率分 布直方图,得每一组数据的中点值依次为 45,55,65,75,85,95. 所以 本次考试数学 成绩的平均 分为 x = 45×0.1 + 55×0.15 + 65×0.15 + 75×0.3 + 85×0.25+95×0.05=71. 故填 71. 3. 随机抽取某中学甲、 乙两班各 10 名同学, 测量他们的身高(单 位:cm),获得身高数据的茎叶图如图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学,求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率. 解 (1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160 cm~179 cm 之间,而乙班身高集中于 170

cm~180 cm 之间,因此乙班平均身高高于甲班,其中 158+162+163+168+168+170+171+179+179+182 x 甲= 10 =170, 159+162+165+168+170+173+176+178+179+181 x 乙= 10 =171.1. (2)甲班的样本方差为 1 [(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170)2+(168- 10

170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2. (3)设身高为 176 cm 的同学被抽中的事件为 A. 从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有: (181,173)、(181,176)、 (181,178)、(181,179)、(179,173)、(179,176)、(179,178)、(178,173)、(178,176)、(176,173), 共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件, 4 2 ∴P(A)= = . 10 5
242

第十一章概率与统计

【点击高考】 一、选择题 1. 要完成下列两项调查:①从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取 1 000 根火腿肠进行“瘦肉 精”检测;②从某中学的 15 名艺术特长生中选出 3 人调查学习负担情况.适合采用的 抽样方法依次为 A.①用分层抽样,②用简单随机抽样 B.①用系统抽样,②用简单随机抽样 C.①②都用系统抽样 D.①②都用简单随机抽样 答案 B 解析 ①中总体容量较大,且火腿肠之间没有明显差异,故适合采用系统抽样;②中总 体容量偏小,故适合采用简单随机抽样. 2. (2012· 四川)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对 甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲 社区有驾驶员 96 人. 若在甲、 乙、 丙、 丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43, 则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 A.101 答案 B 解析 101, 12 101 故有 = ,解得 N=808. 96 N 3. (2013· 福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生, 将他们的模块测试成绩分成 6 组: [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分 布直方图.已知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的 学生人数为 ( ) 12 由题意知抽样比为 ,而四个社区一共抽取的驾驶员人数为 12+21+25+43= 96 B.808 C.1 212 D.2 012 ( ) ( )

A.588 答案 B

B.480

C.450

D.120

解析 少于 60 分的学生人数 600×(0.05+0.15)=120(人),
243

∴不少于 60 分的学生人数为 480 人. 4. 甲、乙两位运动员在 5 场比赛的得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别 为 x 甲, x 乙,则下列判断正确的是 ( )

A. x 甲> x 乙;甲比乙成绩稳定 B. x 甲> x 乙;乙比甲成绩稳定 C. x 甲< x 乙;甲比乙成绩稳定 D. x 甲< x 乙;乙比甲成绩稳定 答案 D 解析 由茎叶图可知 17+16+28+30+34 x 甲= =25, 5 15+28+26+28+33 x 乙= =26, 5 ∴ x 甲< x
乙.

1 2 又 s甲 = [(17-25)2+(16-25)2+(28-25)2+(30-25)2+(34-25)2]=52, 5 1 2 2 2 2 2 s2 乙= [(15-26) +(28-26) +(26-26) +(28-26) +(33-26) ]=35.6, 5 ∴乙比甲成绩稳定. 5. 一个样本容量为 10 的样本数据,它们组成一个公差不为 0 的等差数列{an},若 a3=8, 且 a1,a3,a7 成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是 A.13,12 答案 B 解析 设等差数列{an}的公差为 d(d≠0),a3=8,a1a7=a2 3=64,(8-2d)(8+4d)=64, (4-d)(2+d)=8,2d-d2=0, 又 d≠0, 故 d=2, 故样本数据为 4,6,8,10,12,14,16,18,20,22, ?4+22?×5 12+14 样本的平均数为 =13,中位数为 =13,故选 B. 10 2 6. 2011 年 6 月,台湾爆出了食品添加有毒塑化剂的案件,令世人震惊.我国某研究所为 此开发了一种用来检测塑化剂的新试剂, 把 500 组添加了该试剂的食品与另外 500 组未 添加该试剂的食品作比较,提出假设 H0:“这种试剂不能起到检测出塑化剂的作用”, B.13,13 C.12,13 D.13,14 ( )

244

第十一章概率与统计

并计算出 P(K2≥6.635)≈0.01.对此,四名同学做出了以下的判断: p:有 99%的把握认为“这种试剂能起到检测出塑化的作用”; q:随意抽出一组食品,它有 99%的可能性添加了塑化剂; r:这种试剂能检测出塑化剂的有效率为 99%; s:这种试剂能检测出塑化剂的有效率为 1%. 则下列命题中为真命题的是 A.p∧q C.(¬p∧¬q)∧(r∨s) 答案 D 解析 提 出 假 设 H0“ 这 种 试 剂 不 能 起 到 检 测 出 塑 化 剂 的 作 用 ” , 并 计 算 出 B.¬p∧q D.(p∨¬r)∧(¬q∨s) ( )

P(K2≥6.635)≈0.01,因此,在一定程度上说明假设不合理,我们就有 99%的把握拒绝 假设.由题设可知命题 p,r 为真命题,q,s 为假命题,依据复合命题的真值表可知 D 为真命题. 二、填空题 7. (2013· 湖北)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频率分布直方图如图所示. (1)直方图中 x 的值为 __________; (2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为________.

答案 解析

(1)0.004 4

(2)70

(1)(0.002 4+0.003 6+0.006 0+x+0.002 4+0.001 2)×50=1,

∴x=0.004 4. (2)(0.003 6+0.004 4+0.006 0)×50×100=70. 8. 下表提供了某厂节能减排技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生 产能耗 y(吨)的几组对应数据: x y 3 2.5 4 t 5 4 6 4.5
^

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为y=0.7x+0.35,那么表中 t 的值 为________.
245

答案 3 11+t? 解析 ∵样本点中心为?4.5, , 4 ? ? ∴ 11+t =0.7×4.5+0.35,解得 t=3. 4

9. 某校高三考生参加某高校自主招生面试时,五位评委给分如下: 9.0 9.1 8.9 9.2 8.8 则五位评委给分的方差为________. 答案 0.02 解析 评委给分的平均数为 1 ×(9.0+9.1+8.9+9.2+8.8)=9.0, 5 1 0.1 方差为 ×[(9.0-9.0)2+(9.1-9.0)2+(8.9-9.0)2+(9.2-9.0)2+(8.8-9.0)2]= =0.02. 5 5 10. 某校开展“爱我海西、 爱我家乡”摄影比赛, 9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分 后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中 的 x)无法看清,若 记分员计算无误,则数字 x 应该是__________. 答案 1 89+89+92+93+92+91+94 640 解析 当 x≥4 时, = ≠91, 7 7 89+89+92+93+92+91+x+90 ∴x<4,∴ =91, 7 ∴x=1. 三、解答题 11.(2013· 陕西)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决定 歌手名次,根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下: 组别 人数 A 50 B 100 C 150 D 150 E 50

(1)为了调查评委对 7 位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从 B 组中抽取了 6 人.请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 人数 抽取人数 A 50 B 100 6 C 150 D 150 E 50

(2)在(1)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽到的

246

第十一章概率与统计

评委中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 解 (1)由题设知,分层抽样的抽取比例为 6%,所以各组抽取的人数如下表: 组别 人数 抽取人数 A 50 3 B 100 6 C 150 9 D 150 9 E 50 3

(2)记从 A 组抽到的 3 位评委为 a1,a2,a3,其中 a1,a2 支持 1 号歌手;从 B 组抽到的 6 位评委为 b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中 b1,b2 支持 1 号歌手.从{a1,a2,a3}和{b1, b2,b3,b4,b5,b6}中各抽取 1 人的所有结果为:

由以上树状图知所有结果共 18 种, 其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1, a1b2, a2b1, a2b2 4 2 共 4 种,故所求概率 P= = . 18 9 12.(2012· 辽宁)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该 体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中 有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有 关? 非体育迷 男 女 合计 (2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育 迷”中有 2 名女性, 若从“超级体育迷”中任意选取 2 人, 求至少有 1 名女性观众的概 率. 附:
247

体育迷

合计

P(K2≥k) k 解

0.05 3.841

0.01 6.635

(1)由频率分布直方图可知, 在抽取的 100 人中, “体育迷”有 25 人, 从而完成 2×2

列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 100×?30×10-45×15?2 K2= 75×25×45×55 = 100 ≈3.030. 33

因为 3.030<3.841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为 5 人,从而一切可能结果所组成的基本 事件空间为 Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2), (a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},其中 ai 表示男性,i=1,2,3,bj 表示女性,j=1,2. Ω 由 10 个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“任选 2 人中,至少有 1 人是女性”这一事件,则 A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},事件 A 由 7 7 个基本事件组成,因而 P(A)= . 10

248


更多相关文档:

2013高三数学精品复习教案:第十一章 计数原理、概率、...

2013 高三数学精品复习教案:第十一章 分布 计数原理、概率、随机变量及其 11.2 概率 【高考目标定位】一、随机事件的概率 1.考纲点击 (1)了解随机事件发生的不确...

2011届高考二轮复习(全国通用)数学学案---概率专题(教...

2011届高考二轮复习(全国通用)数学学案---概率专题(教师版全套)_高三数学_数学...! 概率【学法导航】 高考对于概率与统计部分内容的考查,难度要求不高,以中档...

2014届高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.7随机抽...

2014届高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.7随机...(2012 江苏高考)某学校高一、高二、高三年级的学生...某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人...

一轮复习用学案~概率与统计_图文

一轮复习学案~概率与统计_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第十一章 概率与统计第一节 事件与概率知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定...

...(山东专用理科)一轮复习教学案第十一章概率与统计11...

2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习学案第十一章概率与统计11.3随机数与几何...河南省2014届高三理科数... 29页 4下载券 专题10 概率与统计(理)(... ...

(4)(教师版)考点专题四 概率与统计

致远高中 2014 届高三第二轮复习数学学案 考点专题四【考情分析】 概率与统计 从近四年的高考试卷分析来看,本专题知识点理科每年均考查 3 题,所占的分值比例约...

高三数学专题复习---概率与统计学案

高三数学专题复习---概率与统计学案_高三数学_数学...第十二章 概率与统计离散型随机变量的分布列,期望与...

高三数学第二章函数复习学案(教师版)

高三数学第二章函数复习学案(教师版)_数学_高中教育_教育专区。第二章函数 第...高三数学第十章圆锥曲线... 暂无评价 32页 免费 高三数学第十一章概率与......

2014届高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.8用样本...

2014届高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.8用...2】从高三学生中抽取 50 名同学参加数学竞赛,成绩...数据分析导学案(整章) 暂无评价 12页 免费©...

2013高三数学精品复习教案:第十一章 计数原理、概率、...

2013 高三数学精品复习教案:第十一章 分布 计数原理、概率、随机变量及其 11.3 随机变量及其分布【高考目标定位】一、离散型随机变量及其分布列 1.考纲点击 (1)理...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com