当前位置:首页 >> 数学 >> 分段函数及分段数列问题的变迁

分段函数及分段数列问题的变迁


提优讲座二
分段函数及分段数列问题的变迁
一、分段函数的标准和表达式明确的题型
?1 ? x 2, x ≤1, ? 1 ? 15 ? 1、(08 高考山东) 设函数 f ( x) ? ? 则f? ? 的值为 16 2 ? x ? x ? 2,x ? 1, ? f (2) ? ?
?2,若x ? ? ?1,1? ? 2、已知函数 f ( x) ? ? .设 f ? f ( x)? ? 2 ,则实数 x 的取值范围是 ? x,若x ? ? ?1,1? ?

? ?1,1? ? ?2?

?1 ?x, x ? 0 ? 3、 (2009 北京理) 若函数 f ( x) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? 3 ?

则不等式| f ( x ) |?

1 的解集为__ ? ?3,1? ___. 3

二、分段标准明确但表达式不明确
1、若函数 f ( x) ? ?

? f ( x ? 2), ( x ? 2) ,则 f(—4)= log2 x, ( x ? 2) ?

1

.

2、 (2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足f(x)= ? 的值为 1

?log2 (1 ? x), x ? 0 , (2009) 则f ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

? 2 ? x ? a ( x ? 0) 3、已知函数 f ( x) ? ? ,若方程 f ( x) ? x 有且只有两个不相等的实 ? f ( x ? 1) ( x ? 0)
数根,则实数 a 的取值范围是 4、设函数 f ( x) ? ?

a?2



?2

1? x

( x ? 0)

? f ( x ? 1) ( x ? 0) 实数 a 的取值范围是 [3, 4) ?? 2 ? x ? 1 9、已知函数 f ? x ? ? ? ? f ? x ? 1?

,方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的实数根,则

x?0 x?0

,则下列命题中:

(1)函数 f ?x ? 在 ?? 1,??? 上为周期函数 (2)函数 f ?x ? 在区间 ?m, m ?1??m ? N ? 上单调递增 (3)函数 f ?x ? 在 x ? m ? 1?m ? N ? 取到最大值 0,且无最小值

(4)若方程 f ?x ? ? loga ?x ? 2??0 ? a ? 1?有且只有两个不同的实根,则 a ? , ? 正确的命题的个数是 (4)

?1 1 ? ? ?3 2 ?

5、各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S n ?

1 2 1 an ? an (n ? N ? ) ; 4 2

(1)求 an ; (2)令 bn ? ?b , n

?an , n为奇数 ? ? n为偶数 , cn ? b2n ?4 (n ? N ) ;求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn 。 ? 2 ?

(3)令 bn ? ?qan ? ? ( ?、q 为常数, q ? 0 且 q ? 1 ) cn ? 3 ? n ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) , , 是否存在实数对 (?、q ) ,使得数列 ?cn ? 成等比数列?若存在,求出实数对 (?、q ) 及数列

?cn ? 的通项公式,若不存在,请说明理由。
1 2 1 1 1 a1 ? a1 ? a12 ? a1 ? 0 ,∵ a1 ? 0 ,∴ a1 ? 2 ; 4 2 4 2 1 2 1 1 2 1 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? an ? an ? an ?1 ? an ?1 ,即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 4 2 4 2
解: (1) a1 ? S1 ? ∵ an ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 ,∴ ?an ? 为等差数列,∴ an ? 2n (n ? N ? ) 。 (2) c1 ? b6 ? b3 ? a3 ? 6 , c2 ? b8 ? b4 ? b2 ? b1 ? a1 ? 2 ,

n ? 3 时, cn ? b2n ?4 ? b2n?1 ?2 ? b2n?2 ?1 ? a2n?2 ?1 ? 2n?1 ? 2 ,
此时, Tn ? 8 ? (22 ? 2) ? (23 ? 2) ? ?(2n?1 ? 2) ? 2n ? 2n ;

6, n ? 1 ? ? 8, n ? 2 ∴ Tn ? ? 。 n ? ? 2 ? 2n, n ? 3且n ? N ?
(3) cn ? 3 ? n ?

? q 2 (1 ? q 2 n )
1 ? q2

? ?n ? 3 ?

?q2
1 ? q2

?

? q 2 n?2
1 ? q2

? (? ? 1)n ,

? ?q2 ? ? ? ?1 3? ?0 ? 3 n ?1 ? 3 2 ?? 1? q 令? 3 ,∴存在 (? , q) ? (?1, ? ) , cn ? 4 ? ( ) 。 4 2 ? ? ?1 ? 0 ?q ? ? ? 2 ?

三、分段的标准不明确
1、 对任意实数 a, b , 定义:F (a, b) ?

1 5 3 (a ? b? | a ? b |),如果函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? x ? , 2 2 2

h( x) ? ? x ? 2 ,那么函数 G( x) ? F ( F ( f ( x), g ( x)), h( x) 的最大值等于

1

2、 (2009 湖南卷文)设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函 数

? f ( x), f ( x) ? K , f K ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K .
取函数 f ( x) ? 2
?x

。当 K =

1 时,函数 f K ( x) 的单调递增区间为 2

(? ?, ?1 )

3、(2009 湖南卷理)设函数 y ? f ( x) 在( ?? ,+ ? )内有定义。对于给定的正数 K,定义 函数

( ) ? f ( x ) ,f x ? K f k ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K
取函数 f ( x ) = 2 ? x ? e? x ,若对任意的 x ? (??, ??) ,恒有 f k ( x) = f ( x ) ,则 A.K 的最大值为 2 B. K 的最小值为 2 C.K 的最大值为 1 D. K 的最小值为 1 时,

【解析】 f '( x) ? 1 ? e? x ? 0, 知 x ? 0 , 由 所以 x ? (??,0) 时,f '( x) ? 0 , x ? (, ? ) 当 0 ?

f '(x ) ? 0,所以 f ( x)max ? f (0) ? 1, 即 f ( x) 的值域是 (??,1] ,而要使 fk ( x) ? f ( x) 在 R
上恒成立,结合条件分别取不同的 K 值,可得 D 符合,此时 f k ( x) ? f ( x) 。故选 D 项。 4、 (2008 江苏高考)若 且 f ( x) ? ?

f1(x) ? 3

x? p1

, f2 ( x) ? 3

x? p2

, x ? R, p1, p2 为常数,

? f1 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) ? f 2 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x)

(1)求 f ( x) ? f1 ( x) 对所有的实数 x 成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) ; (2) a , b 为两实数,a ? b 且 p1 , p2 ? (a, b) , f (a) ? f ( ) , 设 若 求证: f ( x ) 在区间 a, b b 上的单调增区间的长度和为

?

?

b?a (闭区间 ?m, n? 的长度定义为 n ? m ) 。 2
x? p1

【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。 (I) f ( x) ? f1 ( x) 恒成立 ? f1 ( x) ? f2 ( x) ? 3

? 2?3

x? p2

?3

x ? p1 ? x ? p2

2 ? 2 ? x ? p1 ? x ? p2 ? log3

(?)

2 若 p1 ? p2 ,则 (?) ? log3 ? 0 ,显然成立;若 p1 ? p2 ,记 g ( x) ? x ? p1 ? x ? p2

p1 ? p2 ( x ? p2 ) ? ? 当 p1 ? p2 时, g ( x) ? ? ?2 x ? p1 ? p2 ( p2 ? x ? p1 ) ? p2 ? p1 ( x ? p1 ) ?
2 所以 g ( x)min ? p1 ? p2 ,故只需 p1 ? p2 ? log3 ;



p1 ? p2 ( x ? p1 ) ? ? 当 p1 ? p2 时, g ( x) ? ?2 x ? p1 ? p2 ( p1 ? x ? p2 ) ? p ?p ( x ? p2 ) 2 1 ?
2 所以 g ( x)min ? p2 ? p1 ,故只需 p2 ? p1 ? log3 。



(2)1 如果 | p1 ? p2 |? log3 2 ,则 f ( x) ? f1 ( x) 的图像关于直线 x ? p1 对称。 (如图 1)
0

因为 f (a) ? f (b) ,所以区间 [ a, b] 关于直线 x ? p1 对称。 因为减区间为 [a, p1 ] ,增区间为 [ p1 , b] ,所以单调增区间的长度和为 20 如果 | p1 ? p2 |? log3 2 ,不妨设 p1 ? p2 ,则 p2 ? p1 ? log3 2 , 于是当 x ? p1 时, f1 ( x) ? 3p1 ? x ? 3p2 ? x ? f2 ( x) ,从而 f ( x) ? f1 ( x) 当 x ? p2 时 ,
1 f1 ( x) ? 3x? p1 ? 3p ?2p ? 3x? p ? 32l

b?a 。 2

o g x? p 2 3

?3

? f22( x) , 从 而

f ( x) ?

2

f ( x)
x ? p1

当 p1 ? x ? p2 时, f1 ( x) ? 3x? p1 及 f2 ( x) ? 2 ? 3p2 ? x , 由方程 3 0

? 2 ? 3 p2 ? x0 得 x0 ?

p1 ? p2 1 ? log 3 2 , (1) 2 2

1 2 ? f1 ( x) , p1 ? x ? x0 所以 f ( x ) ? ? ? f 2 ( x) , x0 ? x ? p2
综上可知,在区间 [ a, b] 上, f ( x) ? ?

显然 p1 ? x0 ? p2 ? [( p2 ? p1 ) ? log 3 2] ? p2 ,表明 x0 在 p1 与 p2 之间。

? f1 ( x) , a ? x ? x0 (如图 2) ? f 2 ( x) , x0 ? x ? b
, 3 即
p1 ? a

故由函数 f1 ( x) 及函数 f 2 ( x) 的单调性可知, f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的单调增区间的长度之和

? 2 ? 3b ? p2 , p1 ?p2 ?a ?b ? 得 1 b?a 故由(1) (2)得 ( x0 ? p1 ) ? (b ? p2 ) ? b ? [ p1 ? p2 ? log 3 2] ? 2 2 b?a 综合 10 20 可知, f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的单调增区间的长度和为 。 2
为 ( x0 ? p1 ) ? (b ? p2 ) , f ( ) ? ( ) 由 a fb y

o 32 (2) lg

y

(a,f(a))

(b,f(b))

(a,f(a)) (x0 ,y0 )

(b,f(b))

(p2 ,2) (p1 ,1) O 图1 x O 图2 x

5.(09 盐城模拟)已知 f1 ( x) ?| 3x ?1|, f 2 ( x) ?| a ? 3x ? 9 | (a ? 0), x ? R ,

? f1 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) . f 2 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) ? (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)当 2 ? a ? 9 时,设 f ( x) ? f 2 ( x) 所对应的 自变量 取值区 间的长 度为 l (闭区间 [m, n ] 的长度定义为 n ? m ),试求 l 的最大值;
且 f ( x) ? ? (Ⅲ)是否存在这样的 a , 使得当 x? 2, ??? 时, f ( x) ? f 2 ( x) ?若存在,求出 a 的取值范 围;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f2 ( x) ?| 3x ? 9 | . 因为当 x ? (0,log3 5) 时, f1 ( x) ? 3x ?1 , f 2 ( x) ? 9 ? 3x , 且 f1 ( x) ? f2 ( x) ? 2 ? 3x ?10 ? 2 ? 3log3 5 ?10 ? 2 ? 5 ?10 ? 0 , 所以当 x ? (0,log3 5) 时, f ( x) ? 3x ? 1,且 1? (0,log3 5) ?????????(3 分) 由于 f ?( x) ? 3x ln 3 ,所以 k ? f ?(1) ? 3ln 3 ,又 f (1) ? 2 , 故所求切线方程为 y ? 2 ? (3ln 3)( x ? 1) , 即

?

(3ln 3) x ? y ? 2 ? 3ln 3 ? 0

?

?

?

?

?

?

?

?

(

5



)

(Ⅱ) 因为 2 ? a ? 9 ,所以 0 ? log 3 当 x ? log 3

9 9 ? log3 ,则 a 2

9 x x 时,因为 a ? 3 ? 9 ? 0 , 3 ? 1 ? 0 , a 8 , a ?1

所以由 f2 ( x) ? f1 ( x) ? (a ? 3x ? 9) ? (3x ?1) ? (a ?1)3x ? 8 ? 0 ,解得 x ? log 3 从 而 当 log 3

9 8 ? x ? log 3 时 , f ( x) ? f 2 ( x) ? ? ? ? ? ? ( 6 分 ) a a ?1 9 x x ① 当 0 ? x ? log 3 时,因为 a ? 3 ? 9 ? 0 , 3 ? 1 ? 0 , a 10 x x x 所以由 f2 ( x) ? f1 ( x) ? (9 ? a ? 3 ) ? (3 ?1) ? 10 ? (a ?1)3 ? 0 ,解得 x ? log 3 , a ?1 10 9 ? x ? log 3 时 , f ( x) ? f2 ( x) ? ? ? ? ? ? ? ? ( 7 分 ) 从 而 当 log 3 a ?1 a x x x ③当 x ? 0 时,因为 f2 ( x) ? f1 ( x) ? (9 ? a ? 3 ) ? (1 ? 3 ) ? 8 ? (a ?1)3 ? 0 ,
从 而 f ( x)? 2f ( x) 一 定 不 成 立 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 8 分 )

10 8 , log 3 ] 时, f ( x) ? f2 ( x) , a ?1 a ?1 8 10 4 2 ? log 3 ? log 3[ (1 ? )] ???????(9 分) 故 l ? log 3 a ?1 a ?1 5 a ?1 12 从 而 当 a ? 2 时 , l 取 得 最 大 值 为 log 3 ?????????(10 分) 5
综上得,当且仅当 x ? [log 3

(Ⅲ)“当 x? 2, ??? 时, f ( x) ? f 2 ( x) ”等价于“ f 2 ( x) ? f1 ( x) 对 x? 2, ??? 恒成 立”, 即“ | a ? 3x ? 9 |?| 3x ?1|? 3x ?1 (*)对 x? 2, ??? 恒成立” ??????(11 分)

?

?

?

log3 9 ? 2 ,则当 x ? 2 时, a ? 3x ? 9 ? a ? 3 a ? 9 ? 0 ,则(*)可化为 a 8 8 a ? 3x ? 9 ? 3x ? 1 ,即 a ? 1 ? x ,而当 x ? 2 时, 1 ? x ? 1 , 3 3 所以 a ? 1 ,从而 a ? 1 适合题意????????????(12 分) 9 ② 当 0 ? a ? 1 时, log 3 ? 2 . a 9 8 8 ⑴ 当 x ? log 3 时,(*)可化为 a ? 3x ? 9 ? 3x ? 1 ,即 a ? 1 ? x ,而 1 ? x ? 1 , a 3 3 所以 a ? 1 ,此时要求 0 ? a ? 1 ???????(13 分) 9 9 x ⑵ 当 x ? log 3 时,(*)可化为 0 ? 3 ? 1 ? ? 1 , a a 所以 a ? R ,此时只要求 0 ? a ? 1 ?????????(14 分) 9 10 10 1 (3)当 2 ? x ? log 3 时,(*)可化为 9 ? a ? 3 x ? 3 x ?1 ,即 a ? x ? 1 ,而 x ? 1 ? , a 3 3 9 1 1 所以 a ? ,此时要求 ? a ? 1 ??????(15 分) 9 9 1 由⑴⑵⑶,得 ? a ? 1 符合题意要求. 9 1 综合①②知,满足题意的 a 存在,且 a 的取值范围是 ? a ? 1 ??????(16 分) 9

① 当 a ? 1 时, log 3

9

12.若数列 {an } 满足 an ?1 ? ?

?2an ?an ? 1

(0 ? an ? 1), (an ? 1).

且 a1 ?

6 5 ,则 a2008 ? _____ _____. 7 7

6、已知数列 ?an ? (n ? N * ) 满足 an ?1 ? ?

?an ? t , an ? t , ,且 t ? a1 ? t ? 1 ,其中 t ? 2 ,若 ?t ? 2 ? an , an ? t ,
▲ .4 为 正 整 数 ),

an?k ? an (k ? N * ) ,则实数 k 的最小值为
10.(2009 湖 北 卷 理 ) 已 知 数 列

?an ?

满 足 : a1=m ( m

? an ? ,当an为偶数时, 若 a6=1,则 m 所有可能的取值为_____。 4 5 32 an ?1 ? ? 2 ?3an ? 1,当an为奇数时。 ?
.

a1 a m m a3 ? 2 ? 为偶, 故 a2 ? 2 2 2 4 m m m m ? 1 ? m ? 32 ①当 仍为偶数时, a4 ? ??????a6 ? 故 8 32 32 4 3 3 m ?1 m ?1 m 3 ? 1 得 m=4。 ②当 为奇数时, a4 ? 3a3 ? 1 ? m ? 1 ?????? a6 ? 4 故4 4 4 4 4
【解析】 (1)若 a1 ? m 为偶数,则

(2)若 a1 ? m 为奇数,则 a2 ? 3a1 ? 1 ? 3m ? 1 为偶数,故 a3 ?

3m ? 1 必为偶数 2

?????? a6 ?

3m ? 1 3m ? 1 ,所以 =1 可得 m=5 16 16

24. 数列{an }, {bn }(n ? 1,2,3,?) 由下列条件所确定: (I) a1 ? 0, b1 ? 0 ; (II) k ? 2时, ak 与bk 满足如下条件:

当a k ?1 ? bk ?1 ? 0时, a k ? a k ?1 , bk ? 当a k ?1 ? bk ?1 ? 0时, a k ?

a k ?1 ? bk ?1 ; 2

a k ?1 ? bk ?1 , bk ? bk ?1 . 2
?? 5, n ? 1, , n ? 2. ?
1 ? 5( ) n ? 2 2

那么,当 a1 ? ?5, b1 ? 5时,{an } 的通项公式为 a n ? ?

20. (本小题满分 16 分) 数列 {an } 、 {bn } (n ? 1, 2,3, ???) 由下列条件确定: ① a1 ? 0 , b1 ? 0 ; ②当 k ? 2, k ? N , ak 与 bk 满足如下条件:
*

ak ?1 ? bk ?1 a ?b ? 0 时, ak ? ak ?1 , bk ? k ?1 k ?1 ; 2 2 ak ?1 ? bk ?1 ak ?1 ? bk ?1 当 , bk ? bk ?1 . ? 0 时, ak ? 2 2 (1)如果 a1 ? ?5 , b1 ? 9 ,试求 a2 , b2 , a3 , b3 ;
当 (2)证明:数列 {bn ? an } 为等比数列; (3)设 n ( n ? 2 )是满足 b1 ? b2 ? b3 ? … ? bn 的最大整数,证明: n ? log 2

a1 ? b1 . a1

20、解: (1)∵

a1 ? b1 a ?b ? 2 ? 0 ,∴ a2 ? a1 ? ?5 , b2 ? 1 1 ? 2 , 2 2 a2 ? b2 a2 ? b2 3 3 ? ? ? 0 ,∴ a3 ? ? ? , b3 ? b2 ? 2 .……………………4 分 ∵ 2 2 2 2
*

(2)证明:当 k ? 2, k ? N 时,

ak ?1 ? bk ?1 a ?b b ?a ? 0 时, bk ? ak ? k ?1 k ?1 ? ak ?1 ? k ?1 k ?1 ; 2 2 2 a ? bk ?1 a ?b b ?a ? 0 时, bk ? ak ? bk ?1 ? k ?1 k ?1 ? k ?1 k ?1 . ②当 k ?1 2 2 2 b ? ak ?1 * ∴当 k ? 2, k ? N 时,都有 bk ? ak ? k ?1 , 2
①当

1 为公比的等比数列.……………………10 分 2 1 (3)证明:由(2)可得 bn ? an ? (b1 ? a1 )( ) n ?1 , 2 ∵ b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? bn (n ? 2) ,∴ bk ? bk ?1 ( 2 ? k ? n ), a ? bk ?1 a ?b ∴ k ?1 k ?1 ? 0 ,∴对于 2 ? k ? n ,都有 ak ? ak ?1 , bk ? k ?1 , 2 2 1 ∴ a1 ? a2 ? ??? ? an ,∴ bn ? a1 ? (b1 ? a1 )( )n ?1 2 an ? bn 1 1 n ?1 1 ? {a1 ? [a1 ? (b1 ? a1 )( ) ]} ? a1 ? (b1 ? a1 )( ) n . 2 2 2 2 an ? bn an ? bn 若 , ? 0 ,则 bn ?1 ? 2 2 1 n 1 n ?1 1 n ∴ bn ?1 ? bn ? [a1 ? (b1 ? a1 )( ) ] ? [a1 ? (b1 ? a1 )( ) ] ? ?(b1 ? a1 )( ) ? 0 , 2 2 2 ∴ bn ? bn ?1 ,与 n 是满足 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? bn ( n ? 2 )的最大整数相矛盾, a ? bn ∴ n 是满足 n ? 0 的最小整数. 2 b ? a1 a ?b 1 ∴ a1 ? (b1 ? a1 )( ) n ? 0 ? 1 ? 2n ? log 2 1 1 ? n ,结论成立.………16 分 2 ?a1 a1
∴数列 {bn ? an } 是以 b1 ? a1 为首项,

20.(本小题满分 16 分) 已知以 a 为首项的数列?an ? 满足: an ?1 ? ? (1)若 0< an ≤6,求证:0< an ?1 ≤6; (2)若 a,k∈N﹡,求使 an? k ? an 对任意正整数 n 都成立的 k 与 a; (3)若 a ?

?an ? 3, an ? 3, ?2an , an ? 3.

3 (m∈N﹡),试求数列?an ? 的前 4m+2 项的和 s4 m? 2 . 2 ?1
m

20. (1)当 a n ? (0,3] 时,则 an?1 ? 2an ? (0,6] ,当 a n ? (3,6] 时,则 an?1 ? an ? 3 ? (0,3] , 故 an?1 ? (0,6] , 所以当 0 ? an ? 6 时, 总有 0 ? an?1 ? 6 . 4分 ??????????????

(2)①当 a ? 1 时, a 2 ? 2, a3 ? 4, a 4 ? 1 ,故满足题意的 k ? 3t , t ? N*. 同理可得,当 a ? 2 或 4 时,满足题意的 k ? 3t , t ? N*. 当 a ? 3 或 6 时,满足题意的 k ? 2t , t ? N*. ②当 a ? 5 时, a 2 ? 2, a3 ? 4, a 4 ? 1 ,故满足题意的 k 不存在. ③当 a ? 7 时,由(1)知,满足题意的 k 不存在.
24 综上得:当 a ? 1, , 时,满足题意的 k ? 3t , t ? N*;



a ? 3, 6















k ? 2t , t ? N*.

???????????????10 分

(3)由 m ?N*,可得 2 m ? 1 ? 1 ,故 a ? 当 1 ? k ? m 时, 2 k ?1 a ?

3 ?3, 2 ?1
m

3 ? 2 m?1 3 ? 2 m?1 3 ? 2 m?1 ? m?1 ? ? 3. 2m ? 1 2 ? (2 m?1 ? 1) 2 m?1

故 ak ? 2 k ?1 a 且 a m?1 ? 2 m a .又 a m ?1 ?

3 ? 2m ? 3, 2m ? 1

所以 a m ? 2 ? a m ?1 ? 3 ? 2 m a ? 3 ? 2 m ? 故 S 4m?2 ? S 4( m?1) ? a4m?3 ? a4m?4

3 ?3?a . 2 ?1
m

=4 (a1 ? a2 ? ?? ? am?1 ) ? (2 m?1 ? 2 m )a =4 (1 ? 2 ? ? ? 2 m )a ? 3 ? 2 m?1 a ? 4(2 m?1 ? 1)a ? 3 ? 2 m?1 a

= (2 分

m?3

? 4 ? 3 ? 2 m?1 )a ?

39 ? 2 m?1 ? 12 . 2m ? 1

???????????????16

四、分段函数的单调性
1、 (北京卷)已知 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范 ? log a x, x ? 1

围是

1 1 [ , ) 7 3

2 、 函 数 f ( x) ? ?

?ax 2 ? 1 , x? 0 ? 在 (??, ??) 上 单 调 , 则 的 取 值 范 围 是 2 ax ?(a ? 1)e , x ? 0 ?
( )

(??, ? 2] ? (1, 2]

?a x ( x ? 0), f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0成 3、已知函数 f ( x) ? ? 满足对任意 x1 ? x2 , 都有 x1 ? x2 ?(a ? 3) x ? 4a ( x ? 0)
立,则 a 的取值范围是____ ? 0, ? ;__ 4

? ?

1? ?

4 、 已 知 f ( x) ? x | x? a | ? 2 x? 3 若 f ( x ) 在 R 上 为增 函 数, 则 a 的 取 值 范围 是 ___ ,

[?2, 2] ____

? x 2 ? 4 x, 5、 (2009 天津卷理) 已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x ,
的取值范围是

x?0 x?0

若 f (2 ? a2 ) ? f (a), 则实数 a

(? 2 , 1 )

6、 已知函数 f ( x) ? x2 ? | x | , f o 若 l g

?

3

1 ?2 f? m ?1

?

则实数 m 的取值范围是 ?,

? ? 8 ,8? 9



? a x ? 5 ( x ? 6) ? 7、已知函数 f ( x ) ? ? ,数列 {a n } 满足 a ? f (n)(n ? N ? ) ,且数列 a ?(4 ? ) x ? 4( x ? 6) 2 ?
{a n } 是单调递增数列,则实数的 a 的取值范围是
(4,8)


更多相关文档:

《分段函数问题》教学案例设计

分段函数问题》教学案例设计_数学_高中教育_教育专区。高三复习之 《分段函数...教师 作详细的评讲) 题 5 :已知正项数列 {an } (n ? N * ) 中, a1...

数列中的奇偶项问题(分段函数)

数列中的奇偶项问题(分段函数)_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 数列中的奇偶项问题(分段函数)_高三数学_数学_高中教育_...

专题一 分段函数

3 ( x ? 7) 若数列{an }满足an ? f (n)(n ? N ? ), 且 ?an ...a ?1 六、分段函数的综合问题 (北京海淀区 2011 届高三期中考试【文】 )1....

专题一 分段函数

专题一 ? f(x ? 2) (x ? 2), ?2 -x 分段函数 解决分段函数问题的基本...S n ?1 , ( n ? 1), ( n ? 2 ). 若数列 { b n } 的前 n ...

数列常见问题的处理技巧

数列常见问题的处理技巧常用求通项的方法: 一、观察法:如:-1,7,-13,19,…...n ? 2 合并,否则就用分段函数表示. 四、一些常见递推数列的通项: 递推数列...

分段函数单调性及其应用

分段函数单调性及其应用_数学_高中教育_教育专区。高考数学分段函数单调性及其应用...3(从数列问题函数化角度考查) 设数列 an ? ? ___. ?? (a ? 2)n ?...

数列的通项公式求解方法经典整理

③分别观察奇数项与偶数项的变化规律,用分段函数的形式写出通项。 ④观察是否与...寻找规律是解决问题的根本, 否则, 费时费力.首先求出这个数列的每一项除以 3 ...

2016年高考理数分类汇编 专题03 分段函数

2016年高考理数分类汇编 专题03 分段函数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【...的应用问 题; (10)与分段函数相关的定积分; (11)与分段函数相关的数列问题....

第三讲数列

注意数列知识在实际问题中的应用. 5、熟练掌握等差、等比数列中的基本量的运算...另外,还可以用分段函数 分段函数来表示数列的通项公式. 分段函数 如:数列 2,...

2015江苏省南京市高三数学二轮专题复习:数列

试卷中数列又为必考题,题 型在常规中出现变化,在...求分段数列和的问题.关键是引导学生正确写出分段数列...9 ? 2n (n ? 4) 分段的依据是|9-2n|=0, ...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com