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两个计数原理习题课(2课时)


1.1.3分类计数原理

与分步计数原理
(习题课)

一、复习回顾:
?两个计数原理的内容是什么? ?解决两个计数原理问题需要注意什么问题? 有哪些技巧?

复习引入练习:
三个比赛项目,六人报名参加。
6

1)每人参加一项有多少种不同的方法?3 ? 7

29

2)每项1人,且每人至多参加一项,有多 少种不同的方法? 6 ? 5 ? 4 ? 120 3)每项1人,每人参加的项数不限,有多 少种不同的方法? 3

6 ? 216

一、排数字问题

? ◎用0到6这7个数字,可以能组成多少个没有重复数字的四位 偶数? ? 【错解一】 分4步进行:第1步,排个位,在0,2,4,6中选一 个有4种方法; ? 第2步,排十位,有6种方法; ? 第3步,排百位有5种方法; ? 第4步,排千位有4种方法 ? 共有方法种数4×6×5×4=480.

? ? ? ? ? ?

【错解二】 考虑到首位不能排数字0,分4步进行: 第1步,排千位,在1,2,3,4,5,6中选1个,有6种方法; 第2步,排个位,在0,2,4,6中选1个,有4种方法; 第3步,排十位,在余下的5个数字中选1个,有5种方法 第4步,排百位,在余下的4个数字中选1个,有4种方法; 共有6×4×5×4=480种方法.

? 【错因】 错解一忽视数字0不能在首位的约束,按此排法有 可能为“0134”这种不符合要求的情况. ? 错解二忽视了题目“无重复数字的四位数”的约束,按此排 法有可能为“2032”,不符合条件. ? 若先排首位,应考虑排的是1,3,5还是2,4,6,因它直接关系到 第2步排个位的选取; ? 若先排个位,应考虑是否排0,因为它关系到首位的选排.

? 【正解】 ? 分两类:第1类,首位取奇数数字(可取1,3,5中任一个),则末 位数字可取0,2,4,6中任一个,而百位数字不能取与这两个数 字重复的数字,十位则不能取与这三个数字重复的数字,故 共有3×4×5×4=240种取法. ? 第2类,首位取2,4,6中某个偶数数字,如2时,则末位只能取 0,4,6中任一个,百位又不能取与上述重复的数字,十位不能 取与这三个数字重复的数字,故共有3×3×5×4=180种取 法.故共有240+180=420个无重复数字的四位偶数. 变式:改为奇数呢?

变式练习:
1、将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四 个方格里,每格填一个数,则每个格子的标 号与所填的数字均不同的填法有_____种
分析及解法: 1号方格里可填2,3,4三个数字,有3种填 法。1号方格填好后,再填与1号方格内数字相 同的号的方格,又有3种填法,其余两个方格只 有1种填法。

所以共有3*3*1=9种不同的方法。

二、映射个数问题:
?例2 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有 多少种不同的映射?

3×3×3×3×3×3=729

三、涂色问题:

例、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种? 解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步 完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数 共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。

练习:将3种作物种植在如图所示的5块试 验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田 不能种植同一种作物,不同的种植方法共有 42 种(以数字作答)

解析: 第一类:前三块种三种作物,则3×2×1×2×2=24 第二类:前三块种两种作物,则3×2×1×(1+2)=18 所以 共有24+18=42种种植方法

四、子集问题
规律:n元集合
n

同子集有个

2。

A ? {a1 , a2 ,..., an }
2 25 ? 2 2 5
5

的不

例:集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数 5 2 5 ? 1 ,非空 为 2 ,真子集个数为 2 5 ? 1 ,非空真子集个数为 子集个数为
2 ?2
5



五、综合问题:

? 例、若直线方程ax+by=0中的a,b可 以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两 个不同的数字,则方程所表示的不同 的直线共有多少条? ? 2+4×4-2=16

2、75600有多少个正约数?有多少个奇约 数?
解:由于 75600=24×33×52×7
(1)75600的每个约数都可以写成 2 ? 3 ? 5 ? 7 的形式,其中 0 ? i ? 4 ,0 ? j ? 3 ,0 ? k ? 2,0 ? l ? 1
l j k l

于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即 i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5 种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据 分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.

3.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶 点爬到相对的另一个顶点的最近路线 共有多少条?
解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1 有三类方法,从局部上看每类又需两步完成, 所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1 最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。

4、如果把两条异面直线看成“一对”, 那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面 B 直线共有( )对 A.12 B.24 C.36 D.48

5.(课本P97页2)如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条 路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地 到丙地共有多少种不同的走法?

解:从总体上看,由甲到 丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙 去丙,又需分两步, 所 以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁 去丙,也需分两步, 所 以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地 共有 N = 6 + 8 = 14

甲地

乙地

丁地

丙地

6.如图,该电
路,从A到B 共有多少条 不同的线路 可通电?

A

B

解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。

在解题有时既要分类又要分步。

(备选题)某城市在中心广场建造一 个花圃,花圃分为6个部分(如右图) 3 2 6 现要栽种4种不同颜色的花,每部分 栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜 色的花,不同的栽种方法有______ 种. 解法一:从题意来看6部分种4种颜色的花,又从图形看 知必有2组同颜色的花,从同颜色的花入手分类求 (1)②与⑤同色,则③⑥也同色或④⑥也同色,所以共有 N1=4×3×2×2×1=48种; (2)③与⑤同色,则②④或⑥④同色,所以共有 N2=4×3×2×2×1=48种; (3)②与④且③与⑥同色,则共N3=4×3×2×1=24种

5 1

4

所以,共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.

谢谢大家的努力!


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