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2014年湖北省高考文科数学试卷及答案(word版)


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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)



学(文史类)

本试题卷共 5 页,22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。

★ 祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证

号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 填空题和解答题的作答: 用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7} ,集合 A ? {1,3,5,6} ,则 ?U A ? A. {1,3,5,6} B. {2,3, 7} C. {2, 4, 7} D. {2,5, 7}

1? i 2 2.i 为虚数单位, ( ) ? 1? i
A.1 B. ?1 C.i D. ? i 3.命题“ ?x ? R , x2 ? x ”的否定是 A. ? x ? R , x 2 ? x C. ? x ? R , x 2 ? x B. ? x ? R , x 2 ? x D. ? x ? R , x 2 ? x

? x ? y ? 4, ? 4.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则 2 x ? y 的最大值是 ? x ? 0, y ? 0, ?

A.2

B.4

C.7

D.8

5.随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1 ,点数之和 大于 5 的概率记为 p2 ,点数之和为偶数的概率记为 p3 ,则 A. p1 ? p2 ? p3 C. p1 ? p3 ? p2 6.根据如下样本数据 x y 3 4.0 4 2.5 5
? 0.5

B. p2 ? p1 ? p3 D. p3 ? p1 ? p2

6 0.5

7
? 2.0

8
? 3.0

? ? bx ? a ,则 得到的回归方程为 y

A. a ? 0 , b ? 0 C. a ? 0 , b ? 0

B. a ? 0 , b ? 0 D. a ? 0 , b ? 0

7.在如图所示的空间直角坐标系 O-xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) . 给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面 体的正视图和俯视图分别为

图①

图② 第 7 题图

图③

图④

A.①和②

B.③和①

C.④和③

D.④和②

8.设 a , b 是关于 t 的方程 t 2 cos ? ? t sin ? ? 0 的两个不等实根,则过 A(a, a 2 ) , B(b, b 2 ) 两点的 直线与双曲线 A.0

x2 y2 ? ? 1 的公共点的个数为 cos2 ? sin 2 ?
B.1 C.2 D.3

9. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) = x2 ? 3x . 则函数 g ( x) ? f ( x) ? x + 3 的零点的集合为 A. {1, 3} C. {2 ? 7 ,1, 3} B. { ? 3, ?1,1, 3} D. { ? 2 ? 7 , 1, 3}

10. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有 系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也. 又以高乘之,三 十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式

V? V?
A.

1 2 L h . 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3. 那么,近似公式 36 2 2 L h 相当于将圆锥体积公式中的 π 近似取为 75

22 7

B.

25 8

C.

157 50

D.

355 113


二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 5 分, 共 35 分. 请将答案填在答题卡对应题号 的位 ....... 上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

11.甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量 为 80 的样本进行质量检测. 若样本中有 50 件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品 总数为 件.
开始

12.若向量 OA ? (1, ? 3) , | OA | ? | OB | , OA ? OB ? 0 , 则 | AB |? .

输入 n

k ?1, S ? 0

13.在△ ABC 中,角 A ,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 A ?

k ? k ?1
S ? S ? 2k ? k
k ? n?


π , a =1, b ? 3 ,则 B = 6

.

14.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 n 的值为 9,则输出 S 的值为 .

否 输出 S

结束

第 14 题图

15.如图所示,函数 y ? f ( x) 的图象由两条射线和三条线段组成.
y
a
?3a ?2a
?a

y ? f ( x)
a

2a

O

3a

x

?a

第 15 题图 若 ?x ? R , f ( x) > f ( x ? 1) ,则正实数 a 的取值范围为 .

16.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的 车辆数,单位:辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单位:米/秒) 、 平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F ?

76000v . v ? 18v ? 20l
2

(Ⅰ )如果不限定车型, l ? 6.05 ,则最大车流量为

辆/小时; 辆/小时.

(Ⅱ )如果限定车型, l ? 5 , 则最大车流量比(Ⅰ )中的最大车流量增加

17.已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 和点 A(?2, 0) ,若定点 B(b , 0) ( b ? ?2) 和常数 ? 满足:对圆 O 上任 意一点 M ,都有 | MB |? ? | MA | ,则 (Ⅰ )b ? (Ⅱ )? ? ; .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函数关系:

f (t ) ? 10 ? 3cos

π π t ? sin t , t ? [0 , 24) . 12 12

(Ⅰ )求实验室这一天上午 8 时的温度; (Ⅱ )求实验室这一天的最大温差.

19. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 满足: a1 ? 2 ,且 a1 , a 2 , a 5 成等比数列. (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )记 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn ? 60 n ? 800 ?若存在, 求 n 的最小值;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F ,P,Q,M,N 分别是棱 AB , AD , DD1 ,
BB1 , A1 B1 , A1 D1 的中点. 求证:

(Ⅰ )直线 BC1 ∥ 平面 EFPQ ; (Ⅱ )直线 AC1 ⊥ 平面 PQMN .

第 20 题图 21. (本小题满分 14 分)

π 为圆周率, e ? 2.718 28
(Ⅰ )求函数 f ( x) ?

为自然对数的底数.

ln x 的单调区间; x

(Ⅱ )求 e 3 , 3 e , e π , πe , 3 π , π3 这 6 个数中的最大数与最小数.

22. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F (1, 0) 的距离比它到 y 轴的距离多 1.记点 M 的 轨迹为 C. (Ⅰ )求轨迹 C 的方程; (Ⅱ )设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(?2, 1) . 求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公 共点、三个公共点时 k 的相应取值范围.

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(文史类)试题参考答案
一、选择题: 1.C 2.B 3.D 4.C 5.C 6.A 7.D 8.A 9.D 10.B

二、填空题: 11.1800 12. 2 5 13.

π 2π 或 3 3

14.1067
1 1 17.(Ⅰ) ? ;(Ⅱ) 2 2

1 15. (0 , ) 6
三、解答题:

16.(Ⅰ)1900;(Ⅱ)100

π π 2π 2π 18. (Ⅰ ) f (8) ? 10 ? 3cos( ? 8)? sin( ? 8) ? 10 ? 3cos ? sin 12 12 3 3
1 3 ? 10 ? 3 ? ( ? ) ? ? 10 . 2 2

故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. (Ⅱ )因为 f (t ) ? 10 ? 2(
3 π 1 π π π cos t ? sin t) = 10 ? 2sin( t ? ) , 2 12 2 12 12 3

又 0 ? t ? 24 ,所以 当 t ? 2 时, sin(

π π π 7π π π , ?1 ? sin( t ? ) ? 1 . ? t? ? 3 12 3 3 12 3

π π π π t ? ) ? 1 ;当 t ? 14 时, sin( t ? ) ? ?1 . 12 3 12 3

于是 f (t ) 在 [0, 24) 上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃.

19. (Ⅰ )设数列 {an } 的公差为 d ,依题意, 2 , 2 ? d , 2 ? 4d 成等比数列,故有
(2 ? d )2 ? 2(2 ? 4d ) ,

化简得 d 2 ? 4d ? 0 ,解得 d ? 0 或 d ? 4 . 当 d ? 0 时, an ? 2 ; 当 d ? 4 时, an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2 , 从而得数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 或 an ? 4n ? 2 .

(Ⅱ )当 an ? 2 时, Sn ? 2n . 显然 2n ? 60 n ? 800 , 此时不存在正整数 n,使得 Sn ? 60n ? 800 成立. 当 an ? 4n ? 2 时, Sn ?

n[2 ? (4n ? 2)] ? 2n2 . 2

令 2n2 ? 60n ? 800 ,即 n2 ? 30n ? 400 ? 0 , 解得 n ? 40 或 n ? ?10 (舍去) , 此时存在正整数 n,使得 Sn ? 60n ? 800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an ? 2 时,不存在满足题意的 n; 当 an ? 4n ? 2 时,存在满足题意的 n,其最小值为 41.

20.证明: (Ⅰ )连接 AD1,由 ABCD ? A1 B1C1 D1 是正方体,知 AD1∥ BC1, 因为 F , P 分别是 AD , DD1 的中点,所以 FP∥ AD1. 从而 BC1∥ FP. 而 FP ? 平面 EFPQ ,且 BC1 ? 平面 EFPQ , 故直线 BC1 ∥ 平面 EFPQ .
D1 A1 C1

N P F

M

()
B1

D E

Q

C

A

B

第 20 题解答图 (Ⅱ )如图,连接 AC , BD ,则 AC ? BD . 由 CC1 ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,可得 CC1 ? BD . 又 AC
CC1 ? C ,所以 BD ? 平面 ACC1 .

而 AC1 ? 平面 ACC1 ,所以 BD ? AC1 . 因为 M,N 分别是 A1 B1 , A1 D1 的中点,所以 MN∥ BD,从而 MN ? AC1 . 同理可证 PN ? AC1 . 又 PN
MN ? N ,所以直线 AC1 ⊥ 平面 PQMN .

21.(Ⅰ )函数 f ( x) 的定义域为 (0,+ ?) .因为 f ( x) ?

ln x 1 ? ln x ,所以 f ?( x) ? . x x2

当 f ?( x) ? 0 ,即 0 ? x ? e 时,函数 f ( x) 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? e 时,函数 f ( x) 单调递减. 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, e) ,单调递减区间为 (e, ? ?) . (Ⅱ )因为 e ? 3 ? π ,所以 e ln 3 ? e ln π , π ln e ? π ln 3 ,即 ln 3e ? ln π e , ln e π ? ln 3π . 于是根据函数 y ? ln x , y ? e x , y ? π x 在定义域上单调递增,可得
3e ? πe ? π3 , e3 ? e π ? 3π .

故这 6 个数的最大数在 π3 与 3 π 之中,最小数在 3 e 与 e 3 之中. 由 e ? 3 ? π 及(Ⅰ )的结论,得 f (π) ? f (3) ? f (e) ,即 由 由

ln π ln 3 ln e . ? ? π 3 e

ln π ln 3 ,得 ln π3 ? ln 3π ,所以 3π ? π3 ; ? π 3 ln 3 ln e ,得 ln 3e ? ln e3 ,所以 3e ? e3 . ? 3 e

综上,6 个数中的最大数是 3 π ,最小数是 3 e .

22. (Ⅰ)设点 M ( x, y) ,依题意得 | MF | ? | x | ?1 ,即 ( x ? 1)2 ? y2 ? | x | ?1, 化简整理得 y 2 ? 2(| x | ? x) .
?4 x, x ? 0, 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? ? ?0, x ? 0.

(Ⅱ )在点 M 的轨迹 C 中,记 C1 : y 2 ? 4 x , C2 : y ? 0 ( x ? 0) . 依题意,可设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2).
? y ? 1 ? k ( x ? 2), 由方程组 ? 2 ? y ? 4 x,

可得 ky 2 ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0.



(1)当 k ? 0 时,此时 y ? 1. 把 y ? 1 代入轨迹 C 的方程,得 x ?

1 . 4

1 故此时直线 l : y ? 1 与轨迹 C 恰好有一个公共点 ( , 1) . 4
(2)当 k ? 0 时,方程①的判别式为 ? ? ?16(2k 2 ? k ? 1) . 设直线 l 与 x 轴的交点为 ( x0 , 0) ,则 由 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,令 y ? 0 ,得 x0 ? ? ②

2k ? 1 . k



? ? ? 0, 1 (ⅰ )若 ? 由②③解得 k ? ?1 ,或 k ? . 2 ? x0 ? 0,

即当 k ? (??, ? 1)

1 ( , ? ?) 时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点, 2

故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点.
? ? ? 0, ? ? ? 0, 1 1 (ⅱ )若 ? 或? 由②③解得 k ?{?1, } ,或 ? ? k ? 0 . 2 2 ? x0 ? 0, ? x0 ? 0,

1 即当 k ?{?1, } 时,直线 l 与 C1 只有一个公共点,与 C2 有一个公共点. 2 1 当 k ? [? , 0) 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 没有公共点. 2 1 1 故当 k ?[? , 0) {?1, } 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. 2 2
? ? ? 0, 1 1 (ⅲ )若 ? 由②③解得 ?1 ? k ? ? ,或 0 ? k ? . 2 2 ? x0 ? 0,

1 即当 k ? (?1, ? ) 2

(0,

1 ) 时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点, 2

故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 综合(1) (2)可知,当 k ? (??, ? 1)

1 ( , ? ?) {0} 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点; 2 (0, 1 ) 时, 2

1 1 1 当 k ?[? , 0) {?1, } 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点;当 k ? (?1, ? ) 2 2 2
直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点.


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