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福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件:第56讲 椭圆


1.了解圆锥曲线的实际背景,了解 圆锥曲线在刻画现实世界和解决实 际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、几何图形、 标准方程及简单性质.

1.椭圆的定义 平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数2a (① ______)的点的轨迹叫椭圆.对于椭圆上 任一点P,有 PF1 ? PF2 ? 2a. 在定义中,当② ________ 时,表示线段F1 F2

; 当③ __________ 时,不表示任何图形.

2.椭圆的标准方程 x y ?1? 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),其中a 2 ? b2 ? c 2, a b 焦点坐标为④ ______________. x2 y 2 2 ? 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),其中a 2 ? b 2 ? c 2, ? b a 焦点坐标为⑤ ________________.
2 2

x y 3.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的几何性质 a b x y ?1? 范围: ? a, ? b,椭圆在一个矩形区域内;

2

2

? 2 ? 对称性:对称轴x ? 0,y ? 0,对称中心O ? 0,0 ?;
一般规律:椭圆有两条对称轴,它们分别是两 焦点的连线及两焦点连线段的中垂线.

? ? 3? 顶点:A1 ? ?a,0 ?,A2 ? a,0 ?,B1 (0, b),B2 (0,b), 长轴长 A1 A2 ? ⑥ ____ ,短轴长 B1 B2 ? ⑦ _____ ; 一般规律:椭圆都有四个顶点,顶点是曲线与它 本身的对称轴的交点.

? 4 ? 离心率:e ? ⑧ __________

(0<e<1),椭圆的

离心率在⑨ __________内,离心率确定了椭圆的 形状(扁圆状态).当离心率越接近于⑩ ______ 时, 椭圆越圆;当离心率越接近于 圆越扁平. _______ 时,椭

【要点指南】 ① 2a> F1 F2 ;②2a ? F1 F2 ;③2a ? F1 F2 ; ④F1 ? ?c,0 ?,F2 ? c,0 ?; ⑤F1 (0,-c),F2 (0,c); c ⑥ 2a;⑦2b;⑧ ;⑨ ? 0,1?; a ⑩0; 1

x2 y2 1.椭圆m+ 4 =1 的焦距等于 2,则 m 的值为( A.5 或 3 C.5 B.8 D.16

)

【解析】当 m>4 时,m-4=1,m=5, 当 m<4 时,4-m=1,m=3.

x2 y2 2.设 P 是椭圆25+16=1 上的点,若 F1、F2 是椭 圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( A.4 C.8 B.5 D.10 )

【解析】由题意知 a=5,所以|PF1|+|PF2|=2a=10.

4 3.已知椭圆 C 的短轴长为 6,离心率为5,则 椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为( ) A.9 C.1 或 9 B.1 D.以上都不对

【解析】由题意知 b=3, 又 e= a2-b2 a2 = 9 4 1-a2=5,解得 a=5,

所以 c= a2-b2=4. 所以焦点 F 到长轴的一个端点的距离为 1 或 9.

4.中心在坐标原点,焦点在 y 轴上,经过 1 x2 y2 点( 3, 离心率为2的椭圆方程为 3 + 4 =1 . 0),

?b= 3 ? ? c 1 【解析】依题设?e=a=2 ? ?a2=b2+c2 ?

?a=2 ,解得? . ?b= 3

x2 y2 又椭圆焦点在 y 轴上,故其方程为 3 + 4 =1.

x2 y 2 5.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦点为 F1、F2, a2 2 2 2 两条直线 x=±c (c =a -b )与 x 轴的交点为 M、 N,若|MN|≤2|F1F2|,则该椭圆的离心率 e 的取值 2 范围是 [ 2 ,1) .

a2 【解析】由已知|MN|=2· . c a2 又|MN|≤2|F1F2|,则 2· ≤4c, c c2 1 2 c 2 从而a2≥2,故 2 ≤a<1,故 e∈[ 2 ,1).



椭圆的定义及标准方程
【例 1】已知椭圆 E 的两个焦点分别为 F1(-1,0)、

3 F2(1,0),C(1,2)在椭圆 E 上. (1)求椭圆 E 的方程; → PF → (2)若点 P 在椭圆 E 上,且满足PF1· 2=t,求实数 t 的取值范围.

【解析】 (1)方法 1:依题意,设椭圆 E 的方 x2 y2 程为a2+b2=1(a>b>0).由已知半焦距 c=1,所 以 a2-b2=1.① 3 1 9 因为点 C(1,2)在椭圆 E 上,则a2+4b2=1.② 由①②解得,a2=4,b2=3. x2 y 2 所以椭圆 E 的方程为 4 + 3 =1.

x2 y2 方法 2:依题意,设椭圆 E 的方程为a2+b2= 1(a>b>0), 3 因为点 C(1,2) 在椭圆 E 上, 所以 2a=|CF1|+|CF2|=4,即 a=2.

由已知半焦距 c=1,所以 b2=a2-c2=3. x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 4 + 3 =1.

→ PF → (2)设 P(x0,y0),则PF1· 2=t,得(-1-x0, -y0)· (1-x0,-y0)=t,即 x2+y2=t+1.③ 0 0 x2 y2 0 0 因为点 P 在椭圆 E 上,所以 4 + 3 =1.④ 由③得 y2=t+1-x2, 0 0

代入④,并整理得 x2=4(t-2).⑤ 0 由④知,0≤x2≤4,⑥ 0 综合⑤⑥,解得 2≤t≤3,所以实数 t 的取值范 围为[2,3].

【点评】求椭圆的标准方程,通常有定义法和待定系 数法,应该熟练掌握.运用待定系数法解题时应注意“先 定位,后定量”,尤其要注意焦点所在的坐标轴有两种可 能的情形.

素材1

分别求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点 P(2 2,0),Q(0,- 5); (2)长轴长是短轴长的 3 倍,且经过点 P(-3,0); 4 (3)焦距是 8,离心率是5.

x2 y2 【解析】(1) 8 + 5 =1. x2 2 y2 x 2 (2) 9 +y =1 或81+ 9 =1. x2 y 2 y2 x2 (3)25+ 9 =1 或25+ 9 =1.

【点评】 求圆锥曲线的标准方程时,除依据条件确 定 a、b、c 的值外,应注意焦点能否换轴,全面考虑问题.



椭圆的几何性质

【例 2】已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆 上一点,∠F1PF2=60° . (1)求椭圆离心率的取值范围; (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关.

x2 y2 【解析】(1)设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0), |PF1|=m,|PF2|=n. 在△PF1F2 中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos60° .

因为 m+n=2a, 所以 m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn, 所以 4c2=4a2-3mn,即 3mn=4a2-4c2. m+n 2 2 又 mn≤( 2 ) =a (当且仅当 m=n 时取等号). c2 1 1 2 2 2 所以 4a -4c ≤3a ,所以a2≥4,即 e≥2. 1 又 0<e<1,所以 e 的取值范围是[2,1).

4 2 (2)证明:由(1)知,mn=3b , 1 3 2 所以 S△PF1F2=2mnsin60° 3 b , = 即△PF1F2 的面积只与短轴长有关.

【点评】(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆 的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正 弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到 a,c 的关系.

?定义式的平方 ? (2)对△F1PF2 的处理方法?余弦定理 ? ?面积公式 ??|PF1|+|PF2|?2=?2a?2 ? ?4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ ?? ? 1 ?S△=2|PF1||PF2|sinθ ?

.

素材2

x2 y2 已知点 A、B 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的长、短 轴的端点,从椭圆上一点 M(在 x 轴上方)向 x 轴作垂线, → → 恰好通过椭圆的左焦点 F1,AB∥OM.

(1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点,F1、F2 分别是左、右焦点, 求∠F1QF2 的取值范围.

b2 【解析】(1)因为 F1(-c,0),则 xM=-c,yM= a , b2 所以 kOM=-ac. b2 b → → b 因为 kAB=-a,OM∥AB,所以-ac=-a, 2 c 所以 b=c,故 e=a= 2 .

(2)设|F1Q|=r1,|F2Q|=r2,∠F1QF2=θ, 所以 r1+r2=2a,|F1F2|=2c,
2 r1+r2-4c2 ?r1+r2?2-2r1r2-4c2 2 cosθ= 2r r = 2r1r2 1 2

a2 a2 =r r -1≥ -1=0. r1+r2 2 1 2 ? 2 ? π 当且仅当 r1=r2 时,cosθ=0,所以 θ∈[0,2].

三 椭圆的综合问题
x2 y2 【例 3】椭圆a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点为 F1、 4 14 F2, P 在椭圆 C 上, PF1⊥F1F2, 1|=3, 2|= 3 . 点 且 |PF |PF

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 且交 椭圆于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程.

【解析】方法 1:(1)因为点 P 在椭圆 C 上, 所以 2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, 1F2|= |PF2|2-|PF1|2=2 5, |F 故椭圆 的半焦距 c= 5, x2 y2 从而 b2=a2-c2=4,所以椭圆 C 的方程为 9 + 4 =1.

(2)设 A,B 坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),已知圆的 方程为(x+2)2+(y-1)2=5, 所以圆心 M 的坐标为(-2,1), 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方 程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.

因为 A,B 关于点 M 对称, x1+x2 18k2+9k 8 所以 2 =- 2 =-2,解得 k= , 9 4+9k 8 所以直线 l 的方程为 y=9(x+2)+1, 8x-9y+25=0.(经 即 检验,符合题意).

方法 2:(1)同方法 1. (2)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.所以圆心 M 的 坐标为(-2,1) 设 A, 的坐标分别为(x1, 1), 2, 2), B y (x y 由题意, 1≠x2, x x2 y2 1 1 且 9 + 4 =1,① x 2 y2 2 2 9 + 4 =1,②

?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? 由①②得 + =0.③ 9 4 因为 A、 关于点 M 对称, B 所以 x1+x2=-4, 1+y2=2, y y1-y2 8 8 代入③得 = ,即直线 l 的斜率为9, x1-x2 9 8 所以直线 l 的方程为 y-1=9(x+2),即 8x-9y+25= 0.(经检验,所求直线方程符合题意)

【点评】(1)直线方程与椭圆方程联立,消元后得到 一元二次方程,然后通过判别式 Δ 来判断直线和椭圆相 交、相切或相离.

(2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交 点的横坐标或纵坐标,通常是写成两根之和与两根之积的 形式,这是进一步解题的基础.

(3)若已知圆锥曲线的弦的中点坐标,可设出弦的端点 坐标,代入方程,用点差法求弦的斜率,注意求出方程后, 通常要检验.

素材3

x2 y2 若 F1、 2 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、 F 右焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 且|PF1|+|PF2|=4, 1F2|=2 3. |F

(1)求这个椭圆的方程; (2)是否存在过定点 N(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的 → → 两点 A、B,使OA⊥OB(其中 O 为坐标原点)?若存在,求 出直线 l 的斜率 k;若不存在,说明理由.

【解析】(1)依题意,得 2a=4,2c=2 3, 所以 a=2,c= 3,所以 b= a2-c2=1. x2 2 所以椭圆的方程为 4 +y =1.

(2)显然当直线的斜率不存在,即 x=0 时,不满足条件. 设 l 的方程为 y=kx+2, 因为 A、B 是直线 l 与椭圆的两个不同的交点, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
?x2 ? +y2=1 由? 4 ?y=kx+2 ?



消去 y 并整理,得(1+4k2)x2+16kx+12=0. 所以 Δ=(16k)2-4(1+4k2)×12=16(4k2-3)>0, 3 解得 k >4.①
2

16k 12 x1+x2=- 2,x1x2= 2. 1+4k 1+4k

→ → → OB → 因为OA⊥OB,所以OA· =0, → OB → 所以OA· =x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+2)(kx2+2) =x1x2+k2x1x2+2k(x1+x2)+4 =(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4 12 16k =(1+k )· 2+2k(- 2)+4 1+4k 1+4k
2

4?4-k2? = 2 =0. 1+4k

所以 k2=4.② 由①②可知 k=± 2. 所以,存在斜率 k=± 的直线 l 符合题意. 2

备选例题

从圆 x2+y2=4 上任意一点 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 Q, → → 点 M 在线段 PQ 上,且QM=λQP (0<λ<1). (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)若曲线 C 上的点 M 到 A(0,-2)的最远距离为 3, 求 λ 的值.

【解析】(1)设 P(a,b),M(x,y),则 Q(a,0).
?a=x ?x=a ? → → 由QM=λQP,PQ⊥x 轴,得? ,则? y ?y=λb ?b=λ ?

.

又点 P(a,b)在圆 x2+y2=4 上, x2 y2 代入得点 M 的轨迹方程为 4 +4λ2=1(0<λ<1).

x2 y 2 (2)因为|MA|2=x2+(y+2)2,又 4 +4λ2=1, λ2-1 2 所以|MA|2= λ2 y +4y+8 (y∈[-2λ,2λ]). 2λ2 其图象开口向下,对称轴 y= >0, 1-λ2 2λ2 所以当 >2λ 且 λ∈(0,1), 1-λ2

5-1 即 λ∈( 2 ,1)时,对称轴在区间[-2λ,2λ]的右边, 故当 y=2λ 时, λ2-1 (|MA|2)max= λ2 · 2+8λ+8=4λ2+8λ+4, (2λ) 1 5 令 4λ +8λ+4=9, 解得 λ=2或-2, 都不合要求, 舍去.
2

5-1 2λ2 当 2≤2λ 且 λ∈(0,1),即 λ∈(0, 2 ]时,对称轴 1-λ 2λ2 在区间[-2λ,2λ]的中间,故当 y= 时, 1-λ2 λ2-1 2λ2 2 2λ2 (|MA|2)max= λ2 · ( ) +4· 2+8 1-λ2 1-λ 4λ2 = 2+8=9, 1-λ 5 解得 λ= 5 ,为所求.

1.在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点 的距离时,应利用定义求解. 2.求椭圆方程的方法,除了直接根据 定义法外,常用待定系数法.当椭圆的 x2 y 2 焦点位置不明确,可设方程为 ? ?1 m n 2 2 (m>0,n>0),或设为Ax ? By ? 1( A>0,B>0).

3.椭圆上任意一点M 到焦点F的所有距离中, 长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最 小距离,且最大距离为a ? c,最小距离为a ? c. 4.焦点弦的所有弦长中,垂直于长轴的弦是 最短的弦,而且它的长为,把这个弦叫做椭 圆的通径.

5.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐 次方程,再结合b 2 ? a 2 ? c 2 就可求得e ? 0 ? e ? 1?. 6.从一焦点发出的光线,经过椭圆(面)的反射, 反射光线必经过椭圆的另一个焦点. 7.过椭圆外一点求椭圆的切线,一般用判别式 ? ? 0求斜率,也可设切点后求导数(斜率).


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