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福建省龙岩一中2014届高三高考模拟理科数学试卷


龙岩一中 2014 届高考模拟试卷

数学(理科)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分 )
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答,答题前,请在答题卷的密封 线内填写学校、班级、准考证号、姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式

: 样本数据 x1 , x 2 ,
s?

, x n 的标准差
2 ? ? xn ? x ? ? ?

锥体体积公式:
1 V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高 3

1? 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? n?

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

球的表面积、体积公式
S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷 (选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且 只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.复数

5 的共轭复数为( 3 ? 4i

) C.

3 4 3 4 ? i D. ? i 5 5 5 5 2 2 2.已知命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? 2 x ;命题 q : 不等式 x ? mx ? 1 ? 0 恒成立,那么( A. “ ? p ”是假命题 B. q 是真命题 C. “ p 或 q ”为假命题 D. “ p 且 q ”为真命题
A. 3 ? 4i B. 3 ? 4i

)

3. 右图是 2014 年在某市举行的演讲比赛, 七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶统计 图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数与方差分别为( ) A.84,4.84 B.84,1.6 7 9 C.85,1.6 D.85,4
?x ? 2 x ? 2y 4.若 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 的取值范围是( ? x ?x ? y ? 3 ?

8 ) 9

4 4 3

6 4

7

A.[2,5]

B.[1,5]
n ?1

C. [

1 ,2] 2

D.[2,6] )
n n

5.阅读如右图所示的程序框图,则该算法的功能是( A.计算数列 {2

D.计算数列 {2 ?1} 前 6 项的和 6.已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 ? ,n⊥平面 ? .直线 l 满足 l⊥m, l ⊥n, l ? ? , l ? ? ,则( ) D. ? ⊥ ? ,且 l ⊥ ? B. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l A. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

} 前 5 项的和 C.计算数列 {2 } 前 6 项的和
n ?1

B.计算数列 {2 ?1} 前 5 项的和

? ,且 l ∥ C. ? ∥ a

7.设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 若 a1 ? 1 , 公差 d ? 2 , A. 5 A. 3 B. 6 B. 5 C. 7 C.3 D. 8

则 n ?( Sn?2 ? Sn ? 36 ,

)

8.抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 到直线 x ? ?1 的距离与到点 Q (2, 2) 的距离之差的最大值为( ) D.5

9. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 A(2, 0) ,将向量 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转 得向量 OB ,若向量 a 满足 a ? OA ? OB ? 1 ,则 a 的最大值是( )

? 后 3

A. 2 3 ? 1 B. 2 3+1 C. 3 D. 6+ 2+1 10.已知 U ? {( x, y) | x ? R, y ? R} , A ? U , B ? U ,映射 f : A ? B .对于直线 l 上任意 一点 A ,B ? f ( A) , 若 B ?l , 我们就称 f 为直线 l 的 “友好映射” ,l 称为映射 f 的 “友 好直线”.又知 f ( x, y) ? (3 y, 2 x) ,则映射 f 的“友好直线”有多少条( A.无数 B.3 C.2 D.1 )

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.

π 11.已知函数 f ( x) ? A sin ?? x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ) 的 2 部分图象如图所示,则 ? ?

y 2

x2 y 2 12.过双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线 a b 段 OF (O 为 坐 标 原 点 ) 的 垂 直 平 分 线 上 , 则 双 曲 线 的 离 心 率
为 . 13.如图,正四棱锥 S ? ABCD 中, AB ? 2 , E 是边 BC 的中点,动点 P 在 四 棱锥的表面上运动,且总保持 PE ? AC ? 0 ,点 P 的轨迹所围成的图形的 面积为 2 ,若以 BC 的方向为主视方向,则四棱锥 S ? ABCD 的主视图的面 积是 . 14 . 若 a1 x ? sin x ? a2 x 对 任 意 的 x ? [0,

O π π 12 3 -2

x

?
2

] 都 成 立 , 则 a 2 ? a1 的 最 小 值

为 . 15. 将含有 3n 个正整数的集合 M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A、B、 C,其中 A ? {a1 , a2 ,..., an } , B ? {b1 , b2 ,..., bn } , C ? {c1 , c2 ,..., cn } ,若 A、B、C 中的 元素满足条件:c1 ? c2 ? ... ? cn ,ak ? bk ? ck ,k = 1,2,…,n ,则称 M 为“完并集合”. 对于“完并集合” M = {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12} ,则集合 C 的个数是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 如图,在 ?ABC 中, ?B ? 45? , AC ? 10 , cos ?C ? (1)边 AB 的长; (2) cos A 的值和中线 CD 的长.
D

2 5 ,点 D 是 AB 的中点, 求: 5
A

B

C

17.(本小题满分 13 分) 某校政教处为检查各班落实学校“学生素养五十条”的规定情况, 从各班抽取了一批学生 进行测试,全部学生参加了“理论部分”和“模拟现场”两项测试,成绩均分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两项测试成绩的数据统计如下图所示,其中“理论部分”科目测试成绩 为 B 的考生有 20 人. (1)求该考场考生中“模拟现场”科目中成绩为 A 的人数; (2)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分. (i)求该考场考生 “理论部分”科目的平均分; (ii)若该考场共有 10 人得分大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分. 从 这 10 人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.

18.(本小题满分 13 分) 如图,C 是以 AB 为直径的圆 O 上异于 A, B 的点, 平面 PAC ? 平 面 ABC , PA ? PC ? AC ? 2 , BC ? 4 , E , F 分别是 PC, PB 的 中点,记平面 AEF 与平面 ABC 的交线为直线 l . (Ⅰ)求证:直线 l ? 平面 PAC ; (Ⅱ)直线 l 上是否存在点 Q ,使直线 PQ 分别与平面 AEF 、直 线 EF 所成的角互余?若存在,求出 | AQ | 的值;若不存在,请说明 理由. 19.(本小题满分 13 分) 设椭圆 ?1 的中心和抛物线 ?2 的顶点均为原点 O , ?1 、 ?2 的焦点均 在 x 轴上,过 ?2 的焦点 F 作直线 l ,与 ?2 交于 A、B 两点,在 ?1 、 ?2 上各取两个点,将其 坐标记录于下表中: (1)求 ?1 , ?2 的标准方程; (2)若 l 与 ?1 交于 C、D 两点, F0 为 ?1 的左焦点,求

S △ F0 AB S △ F0CD

的最小值。

x
y

3

?2

4
?4

3
? 3 2

y

A C

?2 3

0

F0 O

F x B D
第 19 题图

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x 。 (Ⅰ) 若函数 h( x) ? f ( x) ? 求实数 a 的值 (Ⅱ) 对任意的 a ???1, 0? , 若不等式 f ( x) ?

1 2 x ? ax 在点 (1, h(1)) 处的切线与直线 4 x ? y ? 1 ? 0 平行, 2 1 2 ax ? 2 x ? b 在 2

y
B N A

x ?? 0 ,1? 上恒成立,求实数 b 的取值范围 (Ⅲ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对 a?b a?b , g( )) (a ? b) , 称, 设 A(a , g (a)) , B(b , g (b)) , N ( 2 2
试根据如图所示的曲边梯形 ABCD 的面积与两个直角梯形 ADMN 和 NMCB 的面积的大小关系,写出一个关于 a 和 b 的不 等式,并加以证明。

x
O D M C

21.(本小题满分 14 分) 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 14 分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对 应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 ?1 a? 设矩阵 M ? ? ?. ?b 1? (Ⅰ)若 a ? 2,b ? 3 ,求矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 ; (Ⅱ)若曲线 C: x2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 1 在矩阵 M 的作用下变换成曲线 C ? : x2 ? 2 y 2 ? 1, 求 a ? b 的值. (2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中, 曲线 C 的参数方程为 ? 知曲线 C 上的点 M(1,

? x ? a cos? ? 为参数) (a ? b ? 0 , . 已 ? y ? b sin ?

? 3 )及对应的参数 ? = . 3 2
?
1 1

(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若 点 A( ?1 ,? ) , B( ? 2 , ? ?

2

) 在曲线 C 上,求

?1

2

?

?22

的值.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 在平面直角坐标系中,定义点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) 之间的直角距离为

L( P, Q) ?| x1 ? x2 | ? | y1 ? y2 | ,
点 A( x,1) , B(1, 2) , C (5, 2) (Ⅰ)若 L( A, B) ? L( A, C ) ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)当 x ? R 时,不等式 L( A, B) ? t ? L( A, C ) 恒成立,求 t 的最小值.

龙岩一中 2014 届高考模拟试卷理科数学参考答案
π 2 12. 2 13. 4 14. 1 ? 15. 3 3 ? 10 提示:设直线 l 的方程为 y ? kx ? b ,由 f ( x, y) ? (3 y, 2 x) ,代入可得 2 x ? k ? 3 y ? b ,
1~5.DCCAC 6~10:ADBBC 11.
k ? ? 2 b ? 3k x ? ,可得 ? 即y? 3k 3k ?b ? ? b ? ? ? 2

3k

?b ? 0 ? 解得: ? 2 3 ?k ? ? 3 ?

, 故有 2 条直线

15 题提示: 解:因为 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? 12 ? 78 而 c1 ? c2 ? ... ? cn , ak ? bk ? ck , k = 1,2,…,

或 n , 所 以 c1 ? c 2 ? c 3? c 4? 39 , 且 c4 ? 12 , c1 的 最 小 值 为 6 所 以 C ? {6,10,11,12} C ? {8,9,10,12} 或 C ? {7,9,11,12}
16. 解:由 cos ?C ? 分 由正弦定理 (2)
2 5 2 5 2 5 .3 ? 0 可知 ?C 是锐角,所以 sin ?C ? 1 ? cos2 ?C ? 1 ? ( ) ? 5 5 5
1 0? 2 2 5 5 ? 2………6 分

AC ? sin ?B

AB s? in C

AC AB ? ?s i n ?C ? sin ?B

cos A ? cos(180? ? 45? ? C) ? cos(135? ? C) ?
由 理: CD ? 余

2 10 (? cos C ? sin C ) ? ? , ……9 分 2 10
弦 定

AD2 ? AC 2 ? 2 AD ? AC cos A ? 1 ? 10 ? 2 ?1? 10 ? (?

10 ) ? 13 …13 分 10

17.解: (1)因为“理论部分”科目中成绩等级为 B 的考生有 20 人, 所以该考场有 20 ? 0.25 ? 80 人,所以该考场考生中“模拟现场”科目中成绩等级为 A 80 ? ( 1 - 0.375 - 0.375 - 0.15 - 0.025) ? 80 ? 0.075 ? 6 ???4 分 的人数为 (2)(i) 求该考场考生“理论部分”科目的平均分为

1? (80 ? 0.2) ? 2? (80 ? 0.1 ) ? 3? (80 ? 0.375) ? 4 ? ?80 ? 0.25) ? 5? (80 ? 0.075 ? ? 2.9 80

?6 分 法二: 1? 0.2 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.375 ? 4 ? 0.25+5 ? 0.075 ? 2.9 (ii)设两人成绩之和为 ? ,则 ? 的值可以为 16,17,18,19,20

P(? ? 16) ? P(? ? 18) ?

2 C6 15 ? , 2 C10 45

P(? ? 17) ?

1 1 C6 C2 12 ? 2 C10 45 1 1 C2 C2 4 ? 2 C10 45

所以 ? 的分布列为

1 1 2 C6 C2 C2 13 ? ? , 2 2 C10 C10 45

P(? ? 19) ?

P(? ? 20) ?

2 C2 1 ? 2 C10 45

X P
?????11 分 所 以 Eξ ? 1 6 ?

16 15/45

17 12/45

18 13/45

19 4/45

20 1/45

15 12 13 4 1 86 ?1 7 ? ?1 8? ?1 9? ? 2 0? ? 所以 ? 的数学期望为 45 45 45 45 45 5

86 5

???13 分

18. ( 1 ) 证 明 : E , F 分 别 为 PB, PC 中 点 , ? BC // EF , 又

EF ? 面EFA, BC ? 面E F A ? BC // l ?4 分 ? BC // 面EFA ……2 分 又 BC ? 面ABC,面EFA? 面ABC ? l , 又 BC ? AC,面PAC ? 面ABC ? AC,面PAC ? 面ABC, ? BC ? 面PAC ?l ? 面PAC ??6 分
(2)解:以 C 为坐标原点, CA 所在的直线为 x 轴, CB 所在的直线为 y 轴,过 C 垂直 面 ABC 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系??7 分 则
1 3 1 3 A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0, 3 ),E ( ,0, ),F ( ,2, ) 2 2 2 2
?
? ?

,

? 3 3 ? AE ? (? ,0, ), EF ? (0,2,0) 设 Q(2, y,0) ,面 AEF 的法向量为 m ? ( x, y, z ) 2 2 ? ? ? ? 3 3 则 ? AE? m ? 0 即 ?? x ? z ? 0 令 z ? 3 得 到 面 AEF 的 一 个 法 向 量 为 ?? ? ? 2 2 ? ?2 y ? 0 ? EP? m ? 0 ?

m ? (1,0, 3 ) ??9 分
? ? ? ? | PQ? EF | | PQ? m | ???11 分 PQ ? (1, y,? 3 ) , | c o s ? PQ, EF ?|? ? , | c o s ? PQ , m ?|? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

| PQ | ?| EF |
? ? ?

| PQ | ?| m |

依题意得 |

| PQ? EF | | PQ | ?| EF |
? ?

?

?

?

| PQ? m | | PQ | ?| m |
?

? y ? ?1

?在l上存在点Q,使直线l分别与平面 AEF、直线EF所成的角互余, AQ ? 1. ??
?13 分 19. 解: (1) ? -2, 0 ?, ? 3,

? ? ?

3? -2 3 , -4 ? 在抛物线上,???2 分 ? 4, ? 在椭圆上, 3, 2 ? ?

?

?

x2 y 2 ??1: ? ? 1, 4 3

?2 : y 2 ? 4 x. ???????6 分
S △ F0 AB

1 d ? AB AB 2 (2) 设F0到直线l的距离为d, = .????7 分 ? S △ F0CD 1 CD d CD 2 F(1, 0) 是抛物线的焦点,也是椭圆的右焦点,①当直线 l 的斜率存在时, 设 l : y ? k ( x ? 1) , 设 A(x1 , y1),B(x 2 , y2) , C(x3 , y3),D(x 4 , y4)
联立方程 ?

? y2 ? 4x

? y ? k(x ? 1 )

2 2 2 2 , 得 k x ? ( 2 k ? 4 ) x? k ? 0 , k ?0 时 ??0 恒成立.

AB ?

?1 ? k 2 ? ? x2 ? x1 ? ?
2

?1 ? k 2 ?

16 ? 16k 2 4 ?1 ? k ? k4 k2

2

? ??????(9 分)

? x2 y 2 ?1 ? ? 联立方程 ? 4 ,得 (3+4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , ? ? 0 恒成立. 3 ? y ? k ( x ? 1) ? 2 12 ?1 ? k 2 ? 2 2 2 144 ? 144k CD ? ?1 ? k ? ? x3 ? x4 ? ? ?1 ? k ? ? , (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2

?

S △ F0 AB S △ F0CD

=

3 ? 4k 2 1 4 4 k2 ? ? 2? ? . 3k 2 k 3 3 12 ?1 ? k 2 ? 3 ? 4k 2

4 ?1 ? k 2 ?

????11 分

l :x ? 1 , ②当直线 l 的斜率不存在时, 此时, AB ? 4 ,CD ? 3 ,
12 分 所以,

S △ F0 AB

S △ F0CD

=

4 .????? 3

S △ F0 AB S △ F0CD

的最小值为

4 . 3

???????????13 分

1 1 ? x 2 ? ax ? x?a ? ( x ? 0) ,依题意得: h?(1) ? 4 即 x x 2 ? a ? 4 ? a ? ?2 ,故 a 的值为 ?2 ???????????????4 分 1 2 ( Ⅱ ) 由 不 等 式 b ? ln x ? ax ? 2 x 对 任 意 的 a ???1, 0? 恒 成 立 , 则 2 1 2 1 2 b ? (ln x ? ax ? 2 x) max , 由函数 ? (a) ? ? x a ? 2 x ? ln x 在 a ???1, 0? 上为单调递减, 2 2 1 2 ∴ ? (a) max ? ? ( ?1) ? x ? 2 x ? ln x 2 1 2 ∴问题转化为不等式 b ? x ? 2 x ? ln x 在 x ? ? 0 ,1? 上恒成立,???7 分 2 1 2 3 1 ( x1 )? 2 () ? x 2 ? ? ? 0? 。 令 G ( x) ? x ? 2 x ? ln x , 则 G?x ∴ G ( x) max ? G (1) ? ? 2 2 x x 3 ∴ b 的取值范围为 b ? ? ???9 分 2 (Ⅲ) 由题意得曲边梯形 ABCD 的面积小于与两个直角梯形 ADMN 和 NMCB 的面积的
20、解(Ⅰ) h?( x) ? 和, 用 不 等 式 表 示 为

?

b

a

e x dx ?

e

b? 2

1 a?b 1 a ?b (b ? a )[ g (a ) ? g ( )] ? (b ? a )[ g (b) ? g ( )] ???10 分 4 2 4 2 a ?b 1 b a b a 即 e ? e ? (b ? a)(e ? e ? 2e 2 ) ??????11 分 4 a ?b 1 eb ? ea ? (b ? a eb ?)ea ? e ( 2 证 明 : 等 2 价 4 a a b ? a ? b b a 1? ? e 2( ? )b ? ( 2a ?e 2 2 ?e ) 4 b?a x ? x ? 0 ,则设 F ( x) ? e x ? e ? x ? (e x ? e ? x ? 2) 令 2 2

) 于

由 F ?( x) ? ∵x?0

1 x ?x x x ?x x (e ? e ) ? (e ? e ) ? 1 得 F ??( x) ? ? (e x ? e ? x ) 2 2 2 ∴ F ??( x) ? 0 ∴ F ?( x) ? F ?(0) ? 0 即 F ( x) ? F (0) ? 0

b?a a ?b a ?b b?a x x 1 x ?x ?x 2 2 2 e ? e ? ( e ? e ? 2) ? 0 ? e ? (b ? a)(e ? e 2 ? 2) ∴ 即e 2 4 a ?b 1 b a b a ∴ e ? e ? (b ? a)(e ? e ? 2e 2 ) ??????14 分 4

另证:设 b ? ln m , a ? ln n ,则 e 不 等 式

a ?b 2

? mn (0 ? n ? m) ,
等 价 于

m?n 1 ? (m ? n ? mn2 ???11 分 ) l m?n n l n 4 m ?1 m? n 1 m 1 m m n 即 令 ? ln ? ? ln ? t (t ? 1) , 则 只 要 证 2 m? n 4 n m n n ?1 n 2 2(t ? 1) 2(t ? 1) 2 (t ? 1) ?(t ? 1) ? ln t 即 ? ln t ? 0 又 令 m( t ) ? ? l nt , 则 m?(t ) ? ? 0即 2 t ?1 t ?1 t ?1 t (t ? 1) m(t ) ? m(1) ? 0
∴ e ?e ?
b a a ?b 1 (b ? a)(eb ? ea ? 2e 2 ) ??????14 分 4

a ?b 1 eb ? ea ? (b ? a)(eb ? ea ? 2e 2 ) 4

21(1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换

? 1 2? ??5 5 ? ?1 , b? 3 时, 解析: (I) 当a ? 2 M 的行列式 det(M)=-5, 故所求的逆矩阵 M ? ? ?. ? ?3 ? 1? ? ? 5? ?5 3分 (II)设曲线 C 上任意一点 P( x, y) ,它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点 ? x ? ay ? x?, ?1 a? ? x ? ? x'? P?( x?, y?) ,则 ? ? ? ? ? ? ? ,即 ? ? b 1 ? ? y ? ? y '? ?bx ? y ? y?,
又点 P?( x?,y?) 在曲线 C ' 上,所以 x? 2 ? 2 y? 2 ? 1 ,则 ( x ? ay)2 ? 2(bx ? y)2 ? 1 , 即 (1 ? 2b2 ) x2 ? (2a ? 4b) xy ? (a2 ? 2) y 2 ? 1为曲线 C 的方程, 又已知曲线 C 的方程为 x2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 1 , 比较系数可得 ?
?1 ? 2b2 ? 1 a?b a ? 2 ,∴ ,解得 b ? 0 , ?2a ? 4b ? 4 ? 2 ?a ? 2 ? 2

?2.

????7 分

? ? 1 ? a cos ? ? 3 ? x ? a cos ? ? 3 , (2)解析: (I)将 M (1, ,得 ? ) 及对应的参数 ? ? ,代入 ? 3 2 ? y ? b sin ? ? 3 ? b sin ? ? 3 ? 2 ?a ? 2 即? , ?b ? 1

x2 ? y 2 ? 1 .????3 分 4 (Ⅱ)因为点 A( ?1 ,? ) , B( ?2 ,? ? ? ) 在曲线 C 上,
所以曲线 C 的方程为
2
2 ? ?2 cos 2 ? ? 1 , 4 1 1 cos2 ? sin 2 ? 5 所以 2 ? 2 ? ( ? sin 2 ? ) ? ( ? cos2 ? ) ? .????7 分 ?1 ?2 4 4 4

所以

? cos ?
2 1 2

4

? ?12 sin 2 ? ? 1 ,

2 ?2 sin 2 ?

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 解析: (I)由定义得 x ?1 ? 1 ? x ? 5 ? 1 ,即 x ?1 ? x ? 5 ,两边平方得 8 x ? 24 , 解得 x ? 3 ; ????3 分 (Ⅱ)当 x ? R 时,不等式 x ?1 ? x ? 5 ? t 恒成立,也就是 t ? x ?1 ? x ? 5 恒成立,

? ?4 函数 令 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 5 ? ? ?2 x ? 6 ?4 ?

x ?1

1 ? x ? 5 ,所以 f ? x ?max ? 4 , x?5

要使原不等式恒成立只要 t ? 4 即可,故 tmin ? 4 .????7 分


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