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直线的倾斜角与斜率


1 2013-9-10

1

问题引入
在平面直角坐标系中,点用坐标表示,直线如何 表示呢? 为了用代数方法研究直线的有关问题,首先探索 确定直线位置的几何要素,然后在坐标系中用代数方 法把这些几何要素表示出来. y P(x,y) l
O x
2 2013-9-10 2

问题引入

r />对于平面直角坐标系内的一条直线 l ,它的 位置由哪些条件确定?
y

l O x

3 2013-9-10

3

问题引入
我们知道,两点确定一条直线.一点能确定 一条直线的位置吗?已知直线 l 经过点P,直线 l 的位置能够确定吗? 答:不能
y

l
O P

x

4 2013-9-10

4

问题引入
过一点P可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,… 它们都经过点P (组成一个直线束),这些直线 区别在哪里呢? y
l O

P

x

5 2013-9-10

5

问题引入
容易看出,它们的倾斜程度不同.怎样描述 直线的倾斜程度呢?
y

l O

P

x

6 2013-9-10

6

直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时,我们取x轴作为基准, x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角(angle of inclination) .
y l

O

x

7 2013-9-10

7

y

y

y

y

a
锐角

a
x
8 8

零度角

直角

?0, ?的范围: ? ??
当直线l与x轴平行或重合时,规定它的 倾斜角为 0 。

2013-9-10

x
?

x

x

o

o

o

o

钝角

直线的倾斜角
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系? 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角, 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角,倾斜程 度相同的直线其倾斜角相同. 已知直线上的一个点不能 确定一条直线的位置;同样已 知直线的倾斜角α.也不能确定 一条直线的位置. 但是,直线上的一个点和 这条直线的倾斜角可以唯一确 定一条直线.
2013-9-10

l?

y

l??

l

O

x

9

9

确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是: 直线上的一个定点以及它的倾斜角, 二者 缺一不可.
y

l O P x

10 10 2013-9-10

直线的斜率

坡高 坡度 i ? 坡底

?
设想:

坡 高 坡底

i ? tan ?

是否可以用直线倾斜角的正切来描述直线的倾斜程度呢?
11 11 2013-9-10

结论:

1.可以用倾斜角的正切来刻画直线的倾斜程度.

2.如果使用“倾斜角”这个概念,那么这里的“坡 度(比)”实际就是“倾斜角α的正切”.

定义:
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母 k 表示,即

k ? tan ?

倾斜角是直角的直线没有斜率.
12 12 2013-9-10

? ? ? ? ?

注意: 1、斜率可看成关于倾斜角的函数 k=tanα 2、直线的斜率可取一切实数 3、任何直线都有倾斜角,但是不一定有斜率! 所以要注意垂直于x轴和不垂直于x轴两种情况讨 论. ? 4、倾斜角侧重于几何直观来刻画直线的方向; ? 而斜率侧重于代数表示来刻画直线的方向.

13 13 2013-9-10

如:倾斜角 ? ? 45? 时,直线的斜率 k ? tan 45? ? 1.

k ? tan 135? ? ? tan 45? ? ?1 即这条直线的斜率为 ? 1.

如:倾斜角为 ? ? 135 时,由
?

倾斜角α不是90°的直线都有斜率,并且倾 斜角不同,直线的斜率也不同.因此,可以用斜 率表示直线的倾斜程度.
14 14 2013-9-10

例2、如图,直线 l1 的倾斜角 ?1 =300,直线 l2⊥l1,求l1,l2 的斜率。
y
l2

l1

?1
O

?2
x

15 15 2013-9-10

4. 判断正误:
①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为 ②直线的斜率的范围是(??,??)

tan ?

(? ) (√ )

③任一条直线都有倾斜角,所以任一条直线都有 斜率. (? ) ④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ⑤两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也相等 ⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π
2013-9-10

(? ) (? ) (? )
16 16

两点的斜率公式

已知直线上两点的坐标,如何计算直线的斜率? 给定两点P1 ( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且 x1 ≠x2,如何计算直线P1 P2的斜率k.

17 17 2013-9-10

y
P2 ( x2 , y 2 )

P ( x1 , y1 ) 1

?

?
O

P( x1 , y2 )

x

? ??
y1 ? y 2 k ? tan? ? tan ? ? x1 ? x2
18 18 2013-9-10

斜率公式
经过两点P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式: 1 y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

公式的特点:
(1)与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过 直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直 线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴 垂直,α=900
2013-9-10

19 19

例1
,判断直线的倾斜角是 已知点 A(5,?4), B(3,?3)求直线AB的斜率
锐角还是钝角. 解:直线 的斜率 AB O

y
3 5

x



? 4 ? ( ?3) 1 k ? ? ? 5?3 2 1 k ? ? ? 0 2
的倾斜角是钝角. ∴直线 AB

-3 -4

(3,-3)

(5,-4)

20 20 2013-9-10

两点的斜率公式

1.已知直线上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,运用 1 上述公式计算直线 AB? 斜率时,与 P , P2两点坐标的顺 1 序有关吗?

无关

2.当直线平行于y 轴,或与y 轴重合时,上述斜 率公式还适用吗?为什么?

不适用

21 21 2013-9-10

两点的斜率公式
当直线 P2 P1 与 x 轴平行或重合时,上述式子还成 立吗?为什么? 成立

经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ) 的直线的 1 斜率公式为:

y2 ? y1 tan? ? . x2 ? x1
22 22 2013-9-10

例2

在平面直角坐标系中画出过(3,2)且斜率为-3的直线 l . 解:设 P( x, y) 是直线 l 上一点,根据公式有

y

y?2 k? ? ?3 x?3
可取

x ? 2, y ? 5,即P(2,5)是l上一点 .
作过(3,2)(2,5)的直线即可.

5

(2,5) (3,2)

2 O 2

x
3

23 23 2013-9-10

例3
m为何值时, 经过两点A(?m,6), B(1, m)的直线斜率是12?

24 24 2013-9-10

反思提高
1.直线倾斜角和斜率的概念

2.由平面上一点和这条直线的倾斜角(或这条直线 的斜率)可以唯一确定这条直线且这两个条件缺一不可;

3.经过两点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 )的直线的斜率公式: y 2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1
25 25 2013-9-10

思考:
1.已知 A(2,5), B(4,0)过点P(?1,?1) 的直线 l 与线段AB有公共点,求直线 l 的斜率 k 的范围;

2.已知 A(2,?3), B(?3,?2)过点P(1,1)的直线 l 的范围. 与线段AB有公共点,求直线 l 的斜率 k

26 26 2013-9-10

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