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必修三第二章2.1 简单随机抽样 教案


必修三第二章 2.1

简单随机抽样 教案

教学分析 教科书是以问题 1 来引入简单随机抽样, 通过实例介绍了抽签法和随机数表 法(产生随机数法). 值得注意的是为了使学生获得简单随机抽样的经验, 教学中要注意增加学生 实践的机会.例如,用抽签法决定班里参加某项活动的代表人选,用随机数法从 全年级同学中抽取样本计算平均身高,等等. 三维目标 1.能从现实生活或其他学科中推出具有一定价值的统计问题,提高学生分 析问题的能力. 2.理解随机抽样的必要性和重要性,提高学生学习数学的兴趣. 3.学会用抽签法和随机数法抽取样本,培养学生的应用能力. 重点难点 教学重点: 理解随机抽样的必要性和重要性, 用抽签法和随机数法抽取样本. 教学难点:抽签法和随机数法的实施步骤. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 抽样的方法很多, 每个抽样方法都有各自的优越性与局限性,针对不同的问 题应当选择适当的抽样方法.下面我们学习简单随机抽样,教师点出课题:简单 随机抽样. 推进新课 新知探究 提出问题 1.在 1936 年美国总统选举前,一份颇有名气的杂志《Literary Digest》 的工作人员做了一次民意测验. 调查兰顿(A.Landon)(当时任堪萨斯州州长)和罗 斯福(F.D.Roosevelt)(当时的总统)中谁将当选下一届总统. 为了了解公众意向, 调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表(注意在 1936 年电话和汽车只有少数富人拥有).通过分析收回的调查表,显示兰顿非常受欢 迎,于是此杂志预测兰顿将在选举中获胜. 实际选举结果正好相反,最后罗斯福在选举中获胜,其数据如下: 候选人 预测结果% 选举结果% Roosevelt 43 62 Landon 57 38 你认为预测结果出错的原因是什么?由此可以总结出什么教训? 2.假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包装饼干 进行卫生达标检验, 你准备怎样做?显然,你只能从中抽取一定数量的饼干作为 检验的样本.那么,应当怎样获取样本呢? 3.请总结简单随机抽样的定义. 4.生产实践中,往往是从一大批袋装牛奶中抽样,也就是说总体中的个体 数是很大的.你能从这个例子出发说明一下抽样的必要性吗? 讨论结果:
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1.预测结果出错的原因是:在民意测验的过程中,即抽取样本时,抽取的 样本不具有代表性.1936 年拥有电话和汽车的美国人只是一小部分,那时大部分 人还很穷.其调查的结果只是富人的意见,不能代表穷人的意见. 由此可以看出,抽取样本时,要使抽取出的样本具有代表性,否则调查的结 果与实际相差较大. 2.要对这批小包装饼干进行卫生达标检查,只能从中抽取一定数量的饼干 作为检验的样本, 用样本的卫生情况来估计这批饼干的卫生情况.如果对这批饼 干全部检验,那么费时费力,等检查完了,这批饼干可能就超过保质期了,再就 是会破坏这批饼干的质量,导致无法出售. 获取样本的方法是: 将这批小包装饼干放入一个不透明的袋子中, 搅拌均匀, 然后不放回地抽取(这样可以保证每一袋饼干被抽到的可能性相等), 这样就可以 得到一个样本. 通过检验样本来估计这批饼干的卫生情况.这种抽样方法称为简 单随机抽样. 3.一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作 为样本(n≤N),如果每次抽取时,总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把 这种抽样方法叫作简单随机抽样.最常用的简单随机抽样方法有两种:抽签法和 随机数法. 4.如果普查,那么费时费力,等检查完了,牛奶的保质期可能就到了,况 且检查牛奶具有破坏性,每袋牛奶检查时必须拆开,这样检查就会得不偿失,没 有什么意义了. 提出问题 1.抽签法是大家最熟悉的,也许同学们在做某种游戏,或者选派一部分人 参加某项活动时就用过抽签法.例如,高一(2)班有 45 名学生,现要从中抽出 8 名学生去参加一个座谈会,每名学生的机会均等.我们可以把 45 名学生的学号 写在小纸片上,揉成小球,放到一个不透明袋子中,充分搅拌后,再从中逐个抽 出 8 个号签,从而抽出 8 名参加座谈会的学生. 请归纳抽签法的定义,并总结抽签法的步骤. 2.你认为抽签法有什么优点和缺点?当总体中的个体数很多时,用抽签法 方便吗? 3. 随机数法是利用随机数表或随机骰子或计算机产生的随机数进行抽样. 我 们仅学习随机数表法即利用随机数表产生的随机数进行简单随机抽样的方法. 怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明. 假设我们要考察某公司生产的 500 g 袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验.利用随机数表抽取样本时,可以按照下面的步骤 进行. 第一步,先将 800 袋牛奶编号,可以编为 000,001,?,799. 第二步,在随机数表中任选一个数.例如选出第 8 行第 7 列的数 7(为了便 于说明,下面摘取了随机数表的第 6 行至第 10 行.) 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
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33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28 第三步,从选定的数 7 开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下 等),得到一个三位数 785,由于 785<799,说明号码 785 在总体内,将它取出; 继续向右读,得到 916,由于 916>799,将它去掉.按照这种方法继续向右读, 又取出 567,199,507,?,依次下去,直到样本的 60 个号码全部取出.这样我 们就得到一个容量为 60 的样本. 请归纳随机数表法的步骤. 4.当 N=100 时,分别以 0,3,6 为起点对总体编号,再利用随机数表抽取 10 个号码.你能说出从 0 开始对总体编号的好处吗? 5.请归纳随机数表法的优点和缺点. 讨论结果: 1.一般地,抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将 号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就 得到一个容量为 n 的样本. 抽签法的步骤是: (1)将总体中所有个体从 1~N 编号; (2)将所有编号 1~N 写在形状、大小相同的号签上; (3)将号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀; (4)从容器中每次抽取一个号签,并记录其编号,连续抽取 n 次; (5)从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出. 2.抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力, 如果标号的签搅拌得不均匀, 会导致抽样不公平.因此说当总体中的个体数很多 时,用抽签法不方便,这时用随机数法. 3.随机数表法的步骤: (1)将总体中个体编号; (2)在随机数表中任选一个数作为开始; (3)规定从选定的数读取数字的方向; (4)开始读取数字,若不在编号中,则跳过,若在编号中则取出,依次取下 去,直到取满为止; (5)根据选定的号码抽取样本. 4.从 0 开始编号时,号码是 00,01,02,?,99;从 3 开始编号时,号码是 003,004,?,102;从 6 开始编号时,号码是 006,007,?,105.所以以 3,6 为 起点对总体编号时, 所编的号码是三位, 而从 0 开始编号时, 所编的号码是两位, 在随机数表中读数时, 读取两位比读取三位要省时,所以从 0 开始对总体编号较 好. 5.综上所述可知,简单随机抽样有操作简便易行的优点,在总体个数不多 的情况下是行之有效的.但是,如果总体中的个体数很多时,对个体编号的工作 量太大,即使用随机数表法操作也并不方便快捷.另外,要想“搅拌均匀”也非 常困难,这就容易导致样本的代表性差. 应用示例 思路 1
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例 总体由 80 个个体组成,利用随机数表随机地选取 10 个样本. 解:具体做法如下: 第一步 将总体中的每个个体进行编号:00,01,?,79; 第二步 由于总体是一个两位数的编号, 每次要从随机数表中选取两列组成 两位数. 从随机数表中任意一个位置,比如,从教科书随机数表中第 6 列和第 7 列这 两列的第 4 行开始选数,由上至下分别是: 82,52,90,91,19,11,07,60,76,62,18,19,87,21,33,46,08,?其中 19 重复 出现,82,90,91,87 超过 79,不能选取.这样选取的 10 个样本的编号分别为 52,19,11,07,60,76,62,18,21,33. 点评:利用随机数表抽取样本时,读取数字后,重复的不再取,不在编号内 的数字不取. 变式训练 要从某厂生产的 30 台机器中随机抽取 3 台进行测试,写出用抽签法抽取样 本的过程. 分析:由于总体容量和样本容量都较小,所以用抽签法. 解:抽签法,步骤: 第一步 将 30 台机器编号,号码是 01,02,?,30; 第二步 将号码分别写在一张纸条上,揉成团,制成号签; 第三步 将得到的号签放入不透明的袋子中,并充分搅匀; 第四步 从袋子中依次抽取 3 个号签,并记录上面的编号; 第五步 所得号码对应的 3 台机器就是要抽取的样本. 思路 2 例 1 某车间工人加工一种轴共 100 件,为了了解这种轴的直径,要从中抽 取 10 件轴在同一条件下测量,如何采用简单随机抽样的方法抽取样本? 分析:因为简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数表法,所以有两种思 路. 解:方法一(抽签法): (1)将 100 件轴编号为 1,2,?,100; (2)做好大小、形状相同的号签,分别写上这 100 个号码; (3)将这些号签放在一个不透明的容器内,搅拌均匀; (4)逐个抽取 10 个号签; (5)然后测量这 10 个号签对应的轴的直径的样本. 方法二(随机数表法): (1)将 100 件轴编号为 00,01,?,99; (2)在随机数表中选定一个起始位置,如取第 22 行第 1 个数开始; (3)规定读数的方向,如向右读; (4)依次选取 10 个为 61,11,60,98,09,65,73,52,68,47, 则这 10 个号签相应的个体即为所要抽取的样本. 点评:本题主要考查简单随机抽样的步骤.抽签法的关键是为了保证每个个 体被抽到的可能性相等而必须搅拌均匀,当总体中的个体无差异,并且总体容量 较小时,用抽签法;用随机数表法读数时,所编的号码是几位,读数时相应地取 连续的几个数字, 当总体中的个体无差异, 并且总体容量较多时, 用随机数表法. 变式训练
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下列抽样的方式属于简单随机抽样的有________. ①从无限多个个体中抽取 50 个个体作为样本; ②从 1 000 个个体中一次性抽取 50 个个体作为样本; ③将 1 000 个个体编号, 把号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀, 从中逐个抽取 50 个个体作为样本; ④箱子里共有 100 个零件,从中选出 10 个零件进行质量检验,在抽样操作 中,从中任意取出一个零件进行质量检验后,再把它放回箱子; ⑤福利彩票用摇奖机摇奖. 解析: ①中, 很明显简单随机抽样是从有限多个个体中抽取, 所以①不属于; ②中,简单随机抽样是逐个抽取,不能是一次性抽取,所以②不属于;很明显③ 属于简单随机抽样;④中,抽样是放回抽样,但是简单随机抽样是不放回抽样, 所以④不属于;很明显⑤属于简单随机抽样. 答案:③⑤ 2 人们打桥牌时,从洗好的扑克牌中随机确定一张为起始牌,这时按次序 搬牌时,对任何一家来说,都是从 52 张牌中抽取 13 张牌,问这种抽样方法是否 是简单随机抽样? 解:简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本,而这里只是随机 确定了起始张,其他各张牌虽然是逐张起牌,但是各张在谁手里已被确定,所以 不是简单随机抽样. 点评:判断简单随机抽样时,要紧扣简单随机抽样的特征:逐个、不放回抽 取且保证每个个体被抽到的可能性相等. 知能训练 1.一个总体中共有 200 个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量 为 20 的样本,则某一特定个体被抽到的可能性是________. 1 答案: 10 2.为了检验某种产品的质量,决定从 40 件产品中抽取 10 件进行检查,如 何用简单随机抽样抽取样本? 解:方法一(抽签法): (1)将这 40 件产品编号为 1,2,?,40; (2)做好大小、形状相同的号签,分别写上这 40 个号码; (3)将这些号签放在一个不透明的容器内,搅拌均匀; (4)逐个抽取 10 个号签; (5)然后对这 10 个号签对应的产品检验. 方法二(随机数表法): (1)将 40 件产品编号,可以编为 00,01,02,?,38,39; (2)在教科书随机数表中任选一个数作为开始,例如从第 8 行第 5 列的数 6 开始; (3)从选定的数 6 开始向右读下去, 得到一个两位数字号码 61, 由于 61>39, 将 它 去 掉 ; 继 续 向 右 读 , 得 到 98 , 同 样 去 掉 ; 继 续 下 去 , 又 得 到 71,64,41,48,70,86,28,88,85,19, 16,20,74,77,01,11,16,30,24,04,从中去掉 大于 39 的号码.至此,10 个样本号码已经取满,于是,所要抽取的样本号码是 28,19,16,20,01,11,16,30,24,04. 拓展提升
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现有一批编号为 10,11,?,99,100,?,600 的元件,打算从中抽取一个 容量为 6 的样本进行质量检验.如何用随机数法设计抽样方案? 分析:重新编号,使每个号码的位数相同. 解:方法一: 第一步 将元件的编号调整为 010,011,012,?,099,100,?,600; 第二步 在随机数表中任选一数作为开始, 任选一方向作为读数方向. 比如, 选第 6 行第 7 个数“0”,向右读; 第三步 从数“0”开始,向右读,每次读取三位,凡不在 010~600 中的数 跳过去 不 读 , 前 面 已 经读 过 的 也 跳 过 去 不 读 , 依 次 可 得 到 370,016,203,503,211,491; 第四步 以上这 6 个号码所对应的 6 个元件就是所要抽取的对象. 方法二: 第 一 步 将 每 个 元 件 的 编 号 加 100 , 重 新 编 号 为 110,111,112 , ? , 199,200,?,700; 第二步 在随机数表中任选一数作为开始, 任选一方向作为读数方向. 比如, 选第 8 行第 1 个数“2”,向右读; 第三步 从数“2”开始,向右读,每次读取三位,凡不在 110~700 中的数 跳过去 不 读 , 前 面 已 经读 过 的 也 跳 过 去 不 读 , 依 次 可 得 到 274,164,414,207,477,116; 第四步 这 6 个号码分别对应原来的 174,64,314,107,377,16.这些号码对 应的 6 个元件就是要抽取的对象. 课堂小结 1.简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,抽样有两种选取个体 的方法:放回和不放回,我们在抽样调查中用的是不放回抽样,常用的简单随机 抽样方法有抽签法和随机数法. 2.抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力, 又不方便,如果标号的签搅拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点 与抽签法相同, 缺点是当总体容量较大时, 仍然不是很方便, 但是比抽签法公平, 因此这两种方法只适合总体容量较小的抽样类型. 3.简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等,均为 ,但是这里一定要将 每个个体入样的可能性、 第 n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第 n 次被 抽到的可能性这三种情况区分开来,避免在解题中出现错误. 作业 课本本节练习. 设计感想 本节教学设计以课程标准的要求为指导,重视引导学生参与到教学中,体现 了学生的主体地位.同时,根据高考的要求,适当拓展了教科书,做到了用教科 书,而不是教教科书. 备课资料 统计小议 我们在接触一个新事物时, 往往很喜欢询问:这是什么东西?对我们有什么 用呢?我们现在也不妨来问一问,统计是什么东西,能帮助我们什么呢?统计可

n N

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以说是数学的一支,是用来研究数据现象的. 我们在这里可能面对两个问题, 第一个问题是这堆数据从哪里来的, 就是说, 这个现象是真的现象吗?怎样找出“数据”呢?第二个问题是这堆数据在说什 么?它对我们的生活有什么特别意义呢?这些无疑都是统计的问题, 研究数据也 是为了解决这类问题, 所以, 我们学统计的时候, 难免要同时照顾两方面的困难: 一方面是本质问题,统计能告诉我们那是什么社会现象;另一方面是技巧问题, 怎样才能把社会现象的本质弄清楚,整理好,使人明白.要解决这两种困难,于 是建立了统计学, 学习统计学的主要目标也在于研究这两种困难,从这两种困难 的解决过程中,了解统计的结构关系.或者可以说,统计的整个结构就是在考虑 这两种困难的解答途径中建立的. 在进一步提出观点时, 我们不妨先指出高等统计,虽然是从这种困难的研究 中出发,但高等统计还有别的难题,例如作统计推论、下判断和预测的时候,我 们还牵涉到应用一些信仰,一些原则,甚至一些经济理论等问题,这里姑且不先 说明,机会到了我们再提出来检验和分辨清楚. 我们回到最原始的开始, 假如我们要明白一个社会现况,或者是社会上存在 着的一种现象, 一定得要了解它的含义,那么该怎么办呢?前者例如想知道目前 社会的财富分配的情形如何?后者如世界连年干旱, 粮食歉收的现象所引起的饥 荒情形.这些切身而重要的问题,应用统计技巧无疑是一个很好的途径. 我们提出一个“统计测度”的观念.一方面希望用它来答复上面的两种困 难,另一方面也可以用来作为整个统计结构的支柱. 因此,所谓“统计测度”,就是在面对着一堆原始累积的资料、数据、现 象??时我们要用一两个简单的统计量表达它的本质特性, 这些统计量便是统计 测度.统计学要做的事,便是把这些测度找出来,用它解释原来母体的现象的意 义.不过,我们也得知道,这些测度也有它的极限,它并不能表达多过它本身所 含的统计意义,尤其得注意它的样本里面的代表性和随机性的困难条件.

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