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广东省湛江市第一中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


湛江一中 2015-2016 学年度第一学期期末考试 高一级数学科试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 M ? ?0,1, 2? , N ? x x ? 2a, a ? M ,则集合 M ? N ? ( A. ?0? B. ?0,1? C. ?1, 2? D. ?0, 2?

?

?



2.给出下列命题: ①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; ②用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台; ③存在每个面都是直角三角形的四面体; ④棱台的各条侧棱延长后交于同一点. 其中正确命题的序号是( ) A. ③④ B①③ C②③ D①④ )

3.在空间直角坐标系中,点 P(1,.3,?5) 关于 XOY 平面对称的点的坐标是( A. C.

P(?1,.3,?5) P(1,.3,5)

B. P(1,. ? 3,5) D. P(?1,. ? 3,5) )

4.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于(
4 3

5 正视图 3 俯视图 (第 2 题图) 侧视图

A. 10cm

3

B. 20cm

3

C. 30cm

3

D. 40cm )

3

5.若函数 f ? x ? 的定义域是 ? 0,3? ,则函数 f ? 2 x ? 1? 的定义域是(

1

A、 ? 1 , 2 ?
?2 ? ? ?

B、 ? 0,3?

C、 ? ?1,5?

1 ? D、 ? ? ,2? ?2 ?

6.已知 m,n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列命题: ①若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? ; ③若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ; ④若 m // ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ? . 其中正确命题的序号是( ) A.①④ B.②④ C.②③ 7.函数 f(x)=|log2x|的图象是( )

D.①③

8.高为 H、满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示,其底部碰了一个小洞,满缸水从洞中 流出,若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v,则函数 v=f(h)的大致图象是( )

9.如图,在空间四边形 ABCD 中,点 E,H 分别是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是边 BC,CD 上 的点,且 CF = CG = 2 ,则( CB CD 3 )

2

A.EF 与 GH 互相平行 B.EF 与 GH 异面 C.EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上,也可能不在直线 AC 上 D.EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 10.若直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 ax ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于( A.1 B. ? 1 3 C.-2 D. ? 2 3 )

11.下面四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB//平面 MNP 的图形是( )

A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 2 2 12.过点 A(11,2)作圆 x +y +2x-4y-164=0 的弦,其中弦长为整数的共有( (A)16 条 (B)17 条 (C)32 条 (D)34 条 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

)

?2 x x ?1 13.已知函数 f ( x ) ? ? ,则 f { f (2)}等于_________. ?log 1 x x ?1 ? 2 ? 14.球 O 内有一个内接正方体,正方体的全面积为 24,则球 O 的体积是



' ' ' 15.如图 ?A O B 是 ?AOB 用斜二测画法画出的直观图,则△AOB 的面积是________.

3

16.直线 ax+y+1=0 与连结 A(2,3) ,B(-3,2)两点的线段相交,则 a 的取值范围是 _ . 三、解答题(共 70 分) 17.已知实数集 R,集合 A ? { x (x ? 2)(x ? 3) ? 0} ,集合 B ? { x x ? a ? 0} (1)当 a ? 1 时,求 (C R A)UB .(5 分) (2)设 A ? B ,求实数 a 的取值范围.(5 分) 18.直线 m 的方程为( a +1)x+y+2- a =0( a ∈R) . (1)若直线 m 在两坐标轴上的截距相等,求 a 的值;(7 分) (2)若直线 m 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围.(5 分) 19.已知函数 f ? x ? ? ax 2 ? 2 x ? 1 ( a ? 0 ) . (1)若函数 f ? x ? 有两个零点,求 a 的取值范围;(5 分) (2)若函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 与 ?1, 2 ? 上各有一个零点,求 a 的取值范围.(7 分) 20.已知圆 C 经过点 A(2,?1) ,和直线 x+y=1 相切,且圆心在直线 y=-2x 上. (1)求圆 C 的方程;(6 分) (2)已知斜率为 k 的直线 m 过原点,并且被圆 C 截得的弦长为 2,求直线 m 的方程. (6 分) 21.如图所示,在四棱锥 P?ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,连接 AC,AC⊥AD, ,PA=AD=2,AC =1. (1)证明:PC⊥AD;(4 分) (2)求二面角 A-PC-D 的正弦值.(8 分)

22.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足对任意 x, y ? R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) . 且 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , f (?1) ? ?2 , (1)求证: f ( x) 为奇函数;(3 分) (2)试问 f ( x) 在 x ? [?4,4] 上是否有最值?若有,求出最值;若无,说明理由; (4 分) (3) 若 f (k ? 3 ) ? f (3 ? 9 ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立, 求实数 k 的取值范围. (5 分)
x x x

4

湛江一中 2015-2016 学年度第一学期期末考试 高一级数学科试卷(参考答案) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 A 6 C 7 A 8 B 9 D 10 C 11 A 12 c

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.

1 2

14. 4 3? 16.{a|a≤-2 或 a≥1}.

15.16

三、解答题(共 70 分) 17.解: (1)当 a ? 1 时, B ? {x | x ? 1} .∵ A ? {x | ?2 ? x ? 3} ∴ C R A ? x ? ?2或x ? 3

?

?

故 (C R A)UB ? x | x ? ?2或x ? 1

?

?

……(5 分)

(2)∵ A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {x | x ? a} , A ? B ,∴ a ? ?2 故实数 a 的取值范围为 (??,?2] ……(10 分)

18.解: (1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距均为零,当然相等 ∴ a =2,方程即 3x+y=0; ……(2 分) 若 a ≠2,则 a ? 2 = a -2,即 a +1=1 a ?1 ∴ a =0 即方程为 x+y+2=0, ∴ a 的值为 0 或 2. (2)? 直线 m 为 y ? ?(a ? 1) x ? a ? 2 ,若它不经过第二象限, 只需满足 ? (a ? 1) ? 0且a ? 2 ? 0即可 ∴ a ? ?1 ……(12 分) ……(7 分)

19.解: (1)若函数 f ? x ? 有两个零点,即方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0(a ? 0) 有两个不等实根, 令 ? ? 0 ,即 4 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 1 ;又? a ? 0 , ∴ a 的取值范围为 ? ??, 0 ? ? ? 0,1? , ……(5 分)

(2)若函数在区间 ? 0,1? 与 ?1, 2 ? 上各有一个零点,由 f ? x ? 的图象可知,只需

? f ? 0? ? 0 ?1 ? 0 ? ? 即 ?a ? 1 ? 0 , 解得 3 ? a ? 1 . ? f ?1? ? 0 , 4 ? 4a ? 3 ? 0 ? ? ? f ? 2? ? 0
20.解: (1)设圆心的坐标为 C (a,?2a) , 则 ( a ? 2) 2 ? (?2a ? 1) 2 ? | a ? 2a ? 1 | ,
2

……(12 分)

……(1 分) ……(3 分)

化简得 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 , 解得 a

? 1.

……(4 分) ……(5 分) ……(6 分) ……(7 分)

? C (1,?2) , 半径 r ?| AC |? (1 ? 2) 2 ? (?2 ? 1) 2 ? 2 .
∴圆 C 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 . (2)设直线 m 的方程为 y ? kx ,

由题意得

|k ?2|
2

2 ? ( 2)2 ? ( )2 2 1? k

……(9 分)

解得 k ? ? 3 , 4 ∴直线 m 的方程为 y ? ? 3 x . 4 21.解: (1)由 PA⊥平面 ABCD,AD ? 平面 ABCD, 可得 PA⊥AD.

……(11 分) ……(12 分) ……(1 分)

又由 AD⊥AC, PA∩AC=A, 故 AD⊥平面 PAC, ……(3 分) 又 PC? 平面 PAC, 所以 PC⊥AD. ……(4 分) (2)如图所示,过点 A 作 AH⊥PC 于点 H,连接 DH. ……(5 分) 由 PC⊥AD,PC⊥AH,且 AD∩AH=A,可得 PC⊥平面 ADH,因此 DH⊥PC,从 而∠AHD 为二面角 A-PC-D 的平面角. ……(7 分) 在 Rt△PAC 中,PA=2,AC=1,由此得 AH=

2 5



……(9 分)

由(1)知 AD⊥AH.故在 Rt△DAH 中,DH=

AD2 ? AH 2 =

2 30 . 5

∴sin∠AHD=

AD 30 30 = ,二面角 A-PC-D 的正弦值为 .(12 分) DH 6 6

22.解:(1)证明:因为 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ( x, y ? R) 所以令 x ? y ? 0 , 得 f ? 0 ? ? f ?0 ? ? f ?0 ? , 即 f ? 0? ? 0 令 y ? ? x ,得 f ? 0 ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? , 又 f ? 0? ? 0 , 则有 0 ? f ? x ? ? f ? ? x ? ∴ f ? ? x ? ? ? f ? x ? 对任意 x ? R 成立, 所以 f ? x ? 是奇函数. ……(2 分) ……(3 分) ……(1 分)

(2))解:设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x 2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,从而 f ( x1 ? x2 ) ? 0 , 又 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f [ x1 ? (? x2 )] ? f ( x1 ? x2 ) . ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴函数 f ( x) 为 R 上的增函数, ∴当 x ? [?4,4] 时, f ( x) 必为增函数. 又由 f (?1) ? ?2 ,得 ? f (1) ? ?2 ,∴ f (1) ? 2 ∴当 x ? ?4 时, 当 x ? 4 时, ……(5 分)

f ( x)min ? f (?4) ? ? f (4) ? ?4 f (1) ? ?8 ;

……(6 分) ……(7 分)

f ( x)max ? f (4) ? 4 f (1) ? 8 .

(3)解:由(2)知 f ? x ? 在 R 上是增函数,又由(1) f ? x ? 是奇函数.

f ? k ? 3 x ? ? ? f ? 3 x ? 9 x ? 2 ? ? f ? ?3 x ? 9 x ? 2 ? ,
x x x 等价于 k ? 3 ? ?3 ? 9 ? 2

……(8 分)

法一:即 32 x ? ?1 ? k ? 3x ? 2 ? 0 对任意 x ? R 成立. 令 t ? 3x ? t ? 0 ? , 问题等价于 t 2 ? ?1 ? k ? t ? 2 ? 0 对任意 t ? 0 恒成立. ……(9 分) 令 g ? t ? ? t 2 ? ?1 ? k ? t ? 2 ? t ? 0 ?
当 1? k 符合题意; …… ? 0 即k ? ?1 时,g(t)在(0, +?)上递增,f(0)=2>0 , 2

(10 分) 当 1 ? k ? 0 ,即 k ? ?1 时, g (t ) ? 0 对 t ? 0 恒成立 2

?1 ? k ?0 ? ?? 2 ? ?1 ? k ? 2 2 ? 1 ?? ? (1 ? k) 2 ? 4 ? 2 ? 0 ?

……(11 分)

x x x 综上,当 k ? 2 2 ? 1 时, f (k ? 3 ) ? f (3 ? 9 ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立.……(12 分)

x 2 法二(分离参数法)即 k ? 3x ? 2 ? 1 ,设 u ? 3 ? u ? 0 ? , h ? u ? ? u ? ? 1 x u 3

设 u1 , u2 ? ? 0, ?? ? , 且u1 ? u2

? ? ? ? ?2 2? 2 2 h ? u1 ? ? h ? u2 ? ? ? u1 ? ? 1? ? ? u2 ? ? 1? ? ? u1 ? u2 ? ? ? ? ? u1 ? ? u2 ? ? ? u1 u2 ?
? ? u1 ? u2 ? ? 2 ? u2 ? u1 ? ? u1 ? u2 ?? u1u2 ? 2 ? ? u1u2 u1u2

? 当 u ,u ??
1 2

当 u1 , u2 ? 0, 2 时, u1u2 ? 2 ? 0 ,易得 h ? u1 ? ? h ? u2 ? ,所以 h ? u ? 在 0, 2 上单减;

?

?

?

2, ?? 时,u1u2 ? 2 ? 0 ,易得 h ? u1 ? ? h ? u2 ? ,所以 h ? u ? 在 ( 2 ,??) 上单增;

?

故 h ? u ? 的最小值为 h

? 2? ? 2

2 ?1 , 即 3x ? 2x ? 1 的最小值为 2 2 ? 1 ,从而 k ? 2 2 ? 1
3

x x x 所以,当 k ? 2 2 ? 1 时, f (k ? 3 ) ? f (3 ? 9 ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立.

湛江一中 2015-2016 学年度第一学期期末考试 高一级数学科试卷(参考答案) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1

号 答 案 D A C B A C A B D

0 C

1 A

2 c

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

1 13. 2
15.16

14. 4 3? 16.{a|a≤-2 或 a≥1}.

三、解答题(共 70 分) 17.解: (1)当 a ? 1 时, B ? {x | x ? 1} .∵ A ? {x | ?2 ? x ? 3} ∴ C R A ? x ? ?2或x ? 3

?

?

故 (C R A)UB ? x | x ? ?2或x ? 1

?

?

……(5 分)

(2)∵ A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {x | x ? a} , A ? B ,∴ a ? ?2 故实数 a 的取值范围为 (??,?2] ……(10 分)

18.解: (1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距均为零,当然相等 a ∴ =2,方程即 3x+y=0; ……(2 分) a?2 a 若 ≠2,则 a ? 1 = a -2,即 a +1=1 ∴ a =0 即方程为 x+y+2=0, ∴ a 的值为 0 或 2. (2)? 直线 m 为 y ? ?(a ? 1) x ? a ? 2 ,若它不经过第二象限, 只需满足 ? (a ? 1) ? 0且a ? 2 ? 0即可 ∴ a ? ?1 19.解: (1)若函数 根, 令 ? ? 0 ,即 4 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 1 ;又? a ? 0 , ∴ a 的取值范围为 ……(12 分) ……(7 分)

f ? x?

有两个零点,即方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0(a ? 0) 有两个不等实
2

? ??, 0 ? ? ? 0,1? ,

……(5 分)

(2)若函数在区间

? 0,1? 与 ?1, 2 ? 上各有一个零点,由 f ? x ? 的图象可知,只需

? f ? 0? ? 0 ?1 ? 0 ? ? ? f ?1? ? 0 ?a ? 1 ? 0 3 ? ? 4a ? 3 ? 0 ? a ?1 f 2 ? 0 ? ? ? ,即 ? ,解得 4 .
20.解: (1)设圆心的坐标为 C (a,?2a) , 分)
( a ? 2) 2 ? ( ?2a ? 1) 2 ? | a ? 2a ? 1 | 2

……(12 分) ……(1


2 化简得 a ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a



……(3 分) ……(4 分) ……(5 分) ……(6 分) ……(7 分)

? 1.

? C (1,?2) ,半径 r ?| AC |? (1 ? 2) 2 ? (?2 ? 1) 2 ? 2 .
2 2 ∴圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 .

(2)设直线 m 的方程为 y ? kx ,

2 ? ( 2)2 ? ( )2 2 2 由题意得 1 ? k
解得
k?? 3 4,
y?? 3 x 4 .

|k ?2|

……(9 分) ……(11 分) ……(12 分) ……(1

∴直线 m 的方程为

21.解: (1)由 PA⊥平面 ABCD,AD ? 平面 ABCD, 可得 PA⊥AD.

分) 又由 AD⊥AC,PA∩AC=A,故 AD⊥平面 PAC, ……(3 分) 又 PC? 平面 PAC,所以 PC⊥AD. ……(4 分) (2)如图所示,过点 A 作 AH⊥PC 于点 H,连接 DH. ……(5 分) 由 PC⊥AD,PC⊥AH,且 AD∩AH=A,可得 PC⊥平面 ADH,因此 DH⊥PC,从而∠AHD 为 二面角 A-PC-D 的平面角. ……(7 分)

2
在 Rt△PAC 中,PA=2,AC=1,由此得 AH=

5.

……(9 分)

2 30 由(1)知 AD⊥AH.故在 Rt△DAH 中,DH= AD ? AH = 5 .
2 2

AD 30 30 ∴sin∠AHD= DH = 6 ,二面角 A-PC-D 的正弦值为 6 .(12 分)

22.解: (1)证明:因为 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ( x, y ? R)

f ? 0? ? 0 f ? 0? ? f ? 0? ? f ? 0? 所以令 x ? y ? 0 ,得 ,即

……(1 分)

f ? 0? ? f ? x ? ? f ? ? x ? 令 y ? ? x ,得 ,
又 ∴

f ? 0? ? 0

,则有

0 ? f ? x? ? f ??x?
对任意 x ? R 成立,所以

……(2 分)

f ??x? ? ? f ? x?

f ? x?

是奇函数.

……(3 分)

(2) )解:设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x 2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,从而 f ( x1 ? x2 ) ? 0 , 又

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f [ x1 ? (? x2 )] ? f ( x1 ? x2 ) .

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴函数 f ( x) 为 R 上的增函数, ∴当 x ? [?4,4] 时, f ( x) 必为增函数. 又由 f (?1) ? ?2 ,得 ? f (1) ? ?2 ,∴ f (1) ? 2 ∴当 x ? ?4 时, 当 x ? 4 时, ……(5 分)

f ( x)min ? f (?4) ? ? f (4) ? ?4 f (1) ? ?8 ;

……(6 分) ……(7 分)

f ( x)max ? f (4) ? 4 f (1) ? 8 .
f ? x?
在 R 上是增函数,又由(1)

(3)解:由(2)知

f ? x?

是奇函数.

f ? k ? 3 x ? ? ? f ? 3 x ? 9 x ? 2 ? ? f ? ?3 x ? 9 x ? 2 ?
x x x 等价于 k ? 3 ? ?3 ? 9 ? 2

, ……(8 分)

法一:即 令 令

32 x ? ?1 ? k ? 3x ? 2 ? 0
,问题等价于

对任意 x ? R 成立. 对任意 t ? 0 恒成立.……(9 分)

t ? 3x ? t ? 0 ?

t 2 ? ?1 ? k ? t ? 2 ? 0

g ? t ? ? t 2 ? ?1 ? k ? t ? 2 ? t ? 0 ?
1? k ? 0 即k ? ?1 时,g(t)在(0, +?)上递增,f(0)=2>0 2 , 符合题意; ……(10



分) 1? k ?0 当 2 ,即 k ? ?1 时, g (t ) ? 0 对 t ? 0 恒成立

?1 ? k ?0 ? ?? 2 ? ?1 ? k ? 2 2 ? 1 2 ?? ? (1 ? k) ? 4 ? 2 ? 0 ?

……(11 分)

x x x 综上,当 k ? 2 2 ? 1 时, f (k ? 3 ) ? f (3 ? 9 ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立.……(12

分) 法二(分离参数法)即 设
k ? 3x ?
2 2 x h ?u ? ? u ? ?1 ?1 u ? 3 u ? 0 x ? ? u 3 ,设 ,

u1 , u2 ? ? 0, ?? ? , 且u1 ? u2

? ? ? ? ?2 2? 2 2 h ? u1 ? ? h ? u2 ? ? ? u1 ? ? 1? ? ? u2 ? ? 1? ? ? u1 ? u2 ? ? ? ? ? u1 ? ? u2 ? ? ? u1 u2 ?
? ? u1 ? u2 ? ? 2 ? u2 ? u1 ? ? u1 ? u2 ?? u1u2 ? 2 ? ? u1u2 u1u2

? u ,u ?? 当

1 2

u1 , u2 ? 0, 2

? 时,u u ? 2 ? 0 ,易得 h ?u ? ? h ?u ? ,所以 h ? u ? 在 ? 0, 2 ? 上单减; 2, ?? ? h ? u ? ( 2 ,??) h ?u ? ? h ?u ? uu ?2?0 时, ,易得 ,所以 在 上
1 2

1

2

1 2

1

2

单增; 故

h ?u ?

的最小值为

h

? 2? ? 2

2 ?1

,即

3x ?

2 ?1 3x 的最小值为

2 2 ?1 , 从 而

k ? 2 2 ?1
所以,当 k ? 2 2 ? 1 时, f (k ? 3 ) ? f (3 ? 9 ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立.
x x x


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