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2.2.3直线与平面平行的性质


2.2.3直线与平面 平行 2.2.4平面与平面 平行的性质

复习
1. 直线和平面有哪几种位置关系? 平行、相交、在平面内 2. 反映直线和平面三种位置关系的依据 是什么? 公共点的个数 没有公共点: 平行 仅有一个公共点:相交 无数个公共点:在平面内

3. 直线和平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线和平面内 的一条

直线平行,那么这条直线和这 个平面平行.
a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?
a

?

b

复习
4、什么叫两平面平行? 5、反应两平面平行的依据是什么?

1.判定定理: 如果一个平面内有两条 相交直线分别平行于另一个平面,那 么这两个平面平行. a?? ? a ? P b?? ? ? ? b a ? b ? P ? ? ? // ? a // ? ? ? b // ? ? ?

?

2.判定定理推论: 如果一个平面内的两条相交直线分别 平行于另一个平面内的两条直线,那么这 a ?? ? 两个平面平行. ? b ?? ?
α
a P b

β

Q
d

c

a ?b ? P ? ? c ? ? ? ? ? // ? d?? ? ? c?d ?Q ? ? a // c, b // d ?

6. 线面、面面平行的判定定理解决了线 面平行及面面平行的条件;反之,在直 线与平面和面面平行的条件下,会得到 什么结论?

问题讨论
1. 若直线l∥平面α,则直线l与平面α的
直线的位置关系有哪几种可能?

l

?

b

a

2. 若直线l ∥平面α,则在平面α内与l 平行的直线有多少条?这些与l平行的直 线的位置关系如何?

l
α

3. 若直线l∥平面α,过直线l 作平面β使 它与平面α相交,设α∩β=m,则l与m的位置 关系如何?为什么?

l
α m

β

4. 试用文字语言将上述原理表述成 一个命题.

直线与平面平行的性质定理:
如果一条直线和一个平面平行,经 过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行.
?
a

?

b

? ? a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? ? b?

a // ?

上述命题反映了直线和平面平行的一个 性质,其内容可简述为“线面平行则线 线平行”.

线∥面

线∥线

问题讨论
若l∥α,P∈α,过点P作直线m∥l,则m与α 的位置关系如何?为什么?

l
α

m

P

举例
例1. 判断下列命题是否正确? (1) 若直线l 平行于平面α内的无数条直 线,则l∥α.

(×)
α

l

l // ?

(2) 设a、b为直线,α为平面,若a∥b,且 b在α 内,则a∥α .
a

(×)

α

b

(3)若直线l∥平面α,则l与平面α内的 任意直线都不相交. (√)
(4) 设a、b为异面直线,过直线a且与 直线b平行的平面有且只有一个.
b

(√)

a

平面与平面平行性质

若 ? // ?,且? ? ? ? a, 则?与? 的位置关系如何?

则直线a、b的位置 设? ? ? ? b, 关系如何?为什么?

平面与平面平行性质
性质定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交, 那么它们 的交线平

行.
? // ? ? α ? ? ? ? ? a ? ? a // b β ? ? ? ? b? ?
a b γ

练习
(1)、设? // ? ,A ? ?, 过点A作直线
l // ? , 则l与?的位置关系如何?为什 么?

α
β

A

l

(2) 若平面α、β都与平面γ相交,且交 线平行,则α∥β吗?

γ

a
α
β

b

举例
例3、求证: 夹在两个平行平面间的平行

线段相等.

?
? B

A

D

C

如上图, ? // ? , AB // CD, 且A ?? , C ?? , B ? ? , D ? ?. 求证:AB ? CD
证 明 :因 为AB // CD, 所以过 AB,CD可 作 平 面 ?, 且平面 ?与 平 面 ?和? 分 别 相 交 于 AC和BD . 因 为? // ? , 所 以 BD // AC . 因此,四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形 . 所 以, AB ? CD

归纳
两个平面平行的其它性质 性质:夹在两个平行平面间的平行 线段相等. 性质:经过平面外一点有且只有一 个平面和已知平面平行

练习
1. 经过平面外两点可作该平面的平行平 面的个数为( )

(A) 0

(B) 1



(C) 0或1 (D) 1或2

2. 平面M∥平面N,直线a ?M,直线b ?N, 下面四种情形: (1)a ∥ b (2)a ⊥ b (3)a与b异面 (4)a与b相交 其中可能出现的情形有 (



)

(A)1种

(B) 2种

(C)3种

(D)4种

举例
例4、如图,设AB、CD为夹在两个平行平 面 ? 、? 之间的线段,且直线AB、CD为异 面直线,M、P 分别为AB、CD 的中点, C A 求证:直线MP // 平面 . ? N P

?

M

D

?

B

举例
例5.在四面体ABCD中,E、F分别是AB、 AC的中点,过直线EF作平面α,分别交BD、 CD于M、N,求证:EF∥MN.
A E B F M D

C

N

证明:因为 E , F分 别 是 AB , AC的 中 点 , 所 以EF // BC 又因为 BC ? 平 面BCD 所 以EF // 平 面BCD 又因为 EF ? ?,MN ? ? 且? ? 平 面BCD ? MN 所 以 由 线 面 平 行 的 性得 质 :EF // MN

举例
例6. 如图,已知AB∥平面α, AC∥BD,且AC、BD与平面α相交于 C、D,求证:AC=BD.
A B

α

C

D

证明:由题设可知: ABCD在 同 一 平 面 中 又因为 AB // ? 所 以AB // CD 又因为 AC // BD 所以四边行 ABCD是 平 行 四 边 行 所 以AC ? BD

举例
例7. 设平面α、β、γ两两相交,且 ? ? ? ? a,? ? ? ? b, ? ? ? ? c 若a∥b,求证:b∥c .

a c α γ β

b

证明:因为 ? ? ? ? b, 所 以b ? ? 因 为a // b 所 以a // ?, 又因为 ? ? ? ? a, 所 以 a?? 又因为 ??? ? c 所 以a // c, 因 为 a // b 所 以b // c

小结
1. 复习直线与平面、平面与平面的位置 关系 2. 复习直线与平面、平面与平面平行的 判定 3. 学习并掌握直线与平面、平面与平面 平行的性质


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