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4-3高中数学核动力


第四章

平面向量、数系的扩充与复数的引入

课 前 自 主 学 案

第3节

平面向量的数量积及平面向 量应用举例

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第四章

平面向量、数系的扩充与复数的引入

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1.(2012· 陕西高考)设向量 a=(1,cos θ)与 b=(-1,2cos θ)垂直,则 cos 2θ 等于( 2 A. 2 C.0 ) 1 B. 2 D.-1

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【解析】 a⊥b?-1+2cos2θ=0?cos 2θ=0. 【答案】 C
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平面向量、数系的扩充与复数的引入

2.(2012· 重庆高考)设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-
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2),且 a⊥b,则|a+b|=( A. 5 C.2 5

) B. 10 D.10

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【解析】 因为 a⊥b,所以有 x-2=0,解得 x=2,即 a=(2,1),b=(1,-2),所以 a+b=(3,-1),|a+b|= 10.
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【答案】 B





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→ 3. (2012· 湖南高考)在△ABC 中, AB=2, AC=3,→ · AB BC =1,则 BC=(
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) B. 7
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A. 3 C.2 2

D. 23 → BC → → → 【解析】 AB· =|AB||BC|cos(π-B)=

→ 2×|BC|×(-cos B)=1. 1 ∴ cos B = - . 又 由 余 弦 定 理 知 cos B = → 2|BC|
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AB2+BC2-AC2 ,解得 BC= 3. 2AB· BC
【答案】 A
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4.(2012· 全国新课标高考)已知向量 a,b 夹角为 45° ,
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且|a|=1,|2a-b|= 10;则|b|=________.
【解析】 因为|2a-b|= 10,所以(2a-b)2=10, 即 4|a|2-4a· b+|b|2=10,所以 4+|b|2-4|b|cos 45° =10,整理得 |b|2-2 2|b|-6=0,解得|b|=3 2或|b|=- 2(舍去).

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【答案】 3 2

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5.(2012· 浙江高考)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM
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→ AC → =3,BC=10,则AB· =________. 【解析】 法一:此题最适合的方法是特例法.
假设△ABC是以AB=AC的等腰三角形,如图,

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AM=3,BC=10,AB=AC= 34. 34+34-100 8 cos∠BAC= =- . 17 2×34 → AC → |AC → AB· =|AB|·→ |cos∠BAC=-16.
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? ?? ? → → ? ?1 → → ? → · =?-1BC+AM?· BC+AM? → ? 法二:AB AC ?2 2 ? ?? ?

1→2 → 2 1 =- BC +AM =- ×102+32=-16. 4 4

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【答案】 -16
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1.在△ABC 中,设 A→=a,B→=b,则 a 与 b 的夹角 B C 为∠ABC 吗?
提示:不是.求两向量的夹角时,两向量的起点应相 同,向量a与b的夹角为π-∠ABC.

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2.平面向量的数量积
(1)a , b 是 两 个 非 零 向 量 , 它 们 的 夹 角 为 θ , 则 数
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|a||b|·cos θ 叫 做 a 与 b 的 数 量 积 , 记 作 a·b , 即 a·b = |a||b|·cos θ .规定0·a=0.
当a⊥b时,θ=90°,这时a·b=0. (2)a·b的几何意义 a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cos θ 的 乘

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积.

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2.若a∥b,则a与b的数量积有何特点?
提示:若a∥b,则a与b的夹角为0°或180°, ∴a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|.

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在直角三角形 ABC 中∠C=90° ,AB=5,AC → BC → =4,求AB· .

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【思路点拨】 利用公式a·b=|a||b|cos θ计算. 【尝试解答】 =4,
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在△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC
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3 故 BC=3,且 cos∠ABC= , 5 → → AB与BC的夹角 θ=π-∠ABC,
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→ · =-|AB||BC|cos∠ABC=-5×3×3 → → → ∴AB BC 5 =-9.

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平面向量、数系的扩充与复数的引入

若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件
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(8a-b)·c=30,则x=( A.6 C.4

) B.5 D.3

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【思路点拨】 利用数量积的坐标公式进行运算. 【尝试解答】 (1)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3),
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所以(8a-b)·c=(6,3)·(3,x)=30,

即18+3x=30,解得x=4.故选C.
【答案】 C
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【归纳提升】

向量的数量积有两种计算方法,一是利

用公式a·b=|a||b|cos θ来计算;二是利用a·b=x1x2 +y1y2 来 计算,具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注 意数量积运算律的应用.

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已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)
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=61.
(1)求a与b的夹角θ; (2)求|a+b|和|a-b|. 【思路点拨】 由平面向量数量积的运算法则得a·b的

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值,再求其夹角的余弦值,从而得其夹角.
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【尝试解答】 解得 a· b=-6.
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(1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61,
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a· -6 b 1 ∴cos θ= = =- ,又 0≤θ≤π, 2 |a||b| 4×3 2π ∴θ= . 3

(2)|a+b|2=a2+2a· 2=13, b+b
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∴|a+b|= 13. |a-b|2=a2-2a· 2=37. b+b ∴|a-b|= 37.
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平面向量、数系的扩充与复数的引入

(2011· 湖北高考)若向量 a=(1,2),b=(1,-1), 则 2a+b 与 a-b 的夹角等于(
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) π B. 6 3π D. 4
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π A.- 4 π C. 4

【尝试解答】 2a+b=(3,3),a-b=(0,3),
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?2a+b?· ?a-b? 9 2 则 cos〈2a+b,a-b〉= = = , |2a+b|· |a-b| 3 2×3 2 π 故夹角为 ,选 C. 4
【答案】 C
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平面向量、数系的扩充与复数的引入

已知|a|= 2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 45° ,求 使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角是锐角的 λ 的取值范围.
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【思路点拨】

要使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为

锐角,只需夹角的余弦值大于零且不等于1即可.

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【尝试解答】 由|a|= 2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 45° , 2 则 a· b=|a||b|cos45° 2×1× =1, = 2
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而(2a+λb)· (λa-3b)=2λa2-6a· 2a· b+λ b-3λb2=λ2+λ- 6. 设向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为 θ,
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?2a+λb?· ?λa-3b? 则 cosθ= >0,且 cosθ≠1, |2a+λb||λa-3b|
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由(2a+λb)· (λa-3b)>0 得 λ2+λ-6>0,∴λ>2 或 λ<-3. 假设 cosθ=1,则 2a+λb=k(λa-3b)(k>0),
?2=kλ, ? ∴? ?λ=-3k, ?

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2 解得 k =- , 3
2
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故使向量 2a+λb 和 λa-3b 夹角为 0 的 λ 不存在. 所以当 λ>2 或 λ<-3 时, 向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角 是锐角.





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【归纳提升】 积公式.

1.求向量的夹角主要是应用向量的数量

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2.|a|= a· a常用来求向量的模. 3.当已知两个向量所成角为锐角时,利用 a· b>0 但应 注意 θ=0 的情况不符合条件;同理当已知两个向量所成角
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为钝角时,利用 a· b<0 但应注意 θ=π 的情况不符合条件.





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平面向量、数系的扩充与复数的引入

已 知 平 面 向 量 a = (1 , x) , b = (2x + 3 , -
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x)(x∈R).
(1)若a⊥b,求x的值; (2)若a∥b,求|a-b|. 【思路点拨】 -x2y1=0求解. 利用a⊥b?x1x2 +y1y2 =0及a∥b?x1y2

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【尝试解答】 (1)若 a⊥b, 则 a· b=1×(2x+3)+x(-x)=0.
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整理得 x -2x-3=0,故 x=-1 或 x=3. (2)若 a∥b,则有 1×(-x)-x(2x+3)=0, 即 x(2x+4)=0,解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0). ∴|a-b|= ?-2?2+02=2. 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-

2

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4), ∴|a-b|=2 5. 综上,可知|a-b|=2 或 2 5.
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【归纳提升】
=0.

1.证明线段平行或点共线问题,包括相

似问题,常用共线向量定理:a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1

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2.证明垂直问题,常用数量积的运算性质a⊥b?a·b =0?x1x2+y1y2=0.
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●考情全揭密●
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从近几年的高考试题来看,向量的数量积运算、向量的 垂直等问题是高考中考查平面向量的热点,既有选择题、填

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空题,又有解答题,属中低档题,常与三角函数、平面解析
几何等知识交汇命题,主要考查运算能力及数形结合思想。 从命题方向上看,2014年仍将以向量的数量积运算、向
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量的垂直为主要考点,以与三角函数、解析几何知识交汇命 题为考向.





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●命题新动向●
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向量与其他知识的结合
向量与其他知识结合,题目新颖而精巧,既符合考查知 识的“交汇处”的命题要求,又加强了对双基覆盖面的考 查,特别是通过向量坐标表示的运算,利用解决平行、垂 直、夹角和距离等问题的同时,把问题转化为新的函数、三

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角或几何问题.

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A (2012· 山东高考)已知向量 m=(sin x,1), n=( 3Acos x, 2 cos 2x)(A>0),函数 f(x)=m· 的最大值为 6. n (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位, 再将所得图 12 1 象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函 2 数 y=g(x)的图象.求
? 5π? ? g(x)在?0,24?上的值域. ? ? ?

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平面向量、数系的扩充与复数的引入

【规范解答】 (1)f(x)=m· n A = 3Asin xcos x+ cos 2x 2
? =A? ? ? ? 3 1 ? sin 2x+ cos 2x? 2 2 ?
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? π? ? =Asin?2x+6?. ? ? ?

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因为 A>0,由题意知 A=6. ? π? ? (2)由(1)f(x)=6sin?2x+6?. ?
? ?

π 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 y= 12
? ? ? π ? π? π? ? ? ? ? ? 6sin?2?x+12?+ ?=6sin?2x+3?的图象; ? ? 6? ? ? ? ?
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平面向量、数系的扩充与复数的引入

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1 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标 2 不变,得到 因此
? π? ? y=6sin?4x+3?的图象. ? ? ? ? 5π? ? x∈?0,24? ? ? ?

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? π? ? g(x)=6sin?4x+3?.因为 ? ? ?

π ?π 7π? 所以 4x+ ∈?3, 6 ?, ? 3 ? ? ?
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? 5π? ? g(x)在?0,24?上的值域为[-3,6]. ? ? ?

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●针对训练●
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已知向量 a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cosωx- sinωx,2 3cosωx), 设函数 f(x)=a· b+λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 (1)求函数 f(x)的最小正周期;
?1 ? ? ω∈?2,1?. ? ? ?

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(2)若

?π ? ? y=f(x)的图象经过点 ?4,0? ,求函数 ? ? ?

f(x)在区间

? 3π? ? 0, ?上的取值范围. ? 5? ? ?

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【解】 +λ
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(1)因 f(x)=sin2 ωx-cos2ωx+2 3sinωx· cosωx
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=-cos2ωx+ 3 sin

? π? ? 2ωx+λ=2sin?2ωx-6?+λ. ? ? ?

由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴可得
? π? ? sin?2ωπ-6?=± 1, ? ? ?

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π π 所以 2ωπ- =kπ+ (k∈Z), 6 2 k 1 即 ω= + (k∈Z). 2 3

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?1 ? ? ω∈?2,1?,k∈Z,所以 ? ? ?

5 k=1,故 ω= . 6
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6π 所以 f(x)的最小正周期是 . 5 (2)由 即
?π ? ? y=f(x)的图象过点?4,0?,得 ? ? ? ?π? f?4?=0, ? ? ? ?

?5 π π? π ? ? λ=-2sin?6×2-6?=-2sin =- 4 ? ? ?5 π? ? f(x)=2sin?3x-6?- ? ? ?

2,即 λ=- 2.
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2,

3π π 5 π 5π 由 0≤x≤ ,有- ≤ x- ≤ , 5 6 3 6 6
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?5 π? 1 ? 所以- ≤sin?3x-6?≤1,得 ? 2 ? ?

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-1- 故函数
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?5 π? ? 2≤2sin?3x-6?- ? ? ?

2≤2- 2, 2,2- 2].
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? 3π? ? f(x)在?0, 5 ?上的取值范围为[-1- ? ? ?





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