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浅谈立体几何中的动点轨迹


中学生数学 ? 2 0 0 9 年 4月上 ? 第3 6 7 期( 高中)  

浅谈 立体 几何 中的动 点轨 迹 
贵州 省龙 里 中学 ( 5 5 1 2 0 0 )   洪其 强  

立体几 何 中动 点轨 迹 问题 的 探 求 , 主要 是 
转化 为平 面几 何 问题 , 再利用平面几何、 解 析  几何

和空 间向量 等 知识 来 求解 , 以下 就 典型 的 

。 . . 

P∈Bl C一 面 AB1 Cn面 B B1 Cl C,  

‘ . . 

点 P 轨迹是 线段 B   C, 故选 ( A) .   一 般地 , 已知 线 线 垂 直 关 系 , 可 从 

小结

轨迹模 型予 以剖析 .  
1 .直 线 型 问 题 

两 方面思 考 : ( i )寻找 过 定 点 且 与 定 直线 垂 直  的平面 , 则 动点 轨迹 即为所 定 垂 面 与动 点 所在 

例 1 在 正方 体 AB C D- -A  B   C 。 D。 中, 点 
0 是 侧 面 AA   D   D 的 中心 , 若 点 P 在 侧 面  B B   C   C及 其 边 界 上 运 动 , 并 且 保 持 AP   j -  
BD   , 则 动 点 P 的轨 迹 是 (   ( A)线 段 B   C   ) .   ( B )线 段 B C  

表 面 的交 线 ; ( i i )通 过三 垂 线 定理 将 空 间垂 直  转 化为平 面 内的垂直求 解.  
2 .圆 型 问 题 

例 2 如图 2 , 四棱 锥 P  


ABCD 中 , AD_ 上 一 面 PAB,  

( C)线段 B B  

( D )线段 B C  

B C上 面 P AB, 底 面 AB C D  为梯 形 , AD = : : 4 、 BC= 8 、 AB  

解 析  如 图 1 , 要 保  持 AP上 B D   , 只需 B D  
垂 直于过点 A 的面 A B   C  
即可 , 由 P∈ 面 AB  C, 又 
P∈面 BB   C   C,  
图1  

一6 、 且  APD一  C P B, 满  足 上述条 件 的四棱锥 的顶点 
P 的轨迹是 (   ) .  

图2  

( 下 转第 l 1页)  

( 上 接 第 9页 )  

即 

故当   一1 O时 ,  取最 大值 ,  
即 M= = = 2  一2 —1 0 2 2 .  

以l  

+  +. . 斗  口2   an  



 

-  


① 

当  ≥ 2时 , 有 
a1  

评注

应 注 意 本 题 中“ 企盼数” 是 是 , 而 不 

+  + … + .  一  l 二  去  
a2   a  一 1  

②  

是 a   , 也不 是积 a 1 ? a 2? a 3… ? ? a   .   四、 数 列的“ 倒 均数”   ① 一② , 得 


一  .  

例 4   已知 数列 { a ,   } , 定 义 其倒 均 数 是 V 
1 .1 .   .1  

Ⅱ   一一 1(  ≥ 2 )
.  

寸一 擎
分析

  —  倒  
根据 题 意 , 得到关于 。  的递 推 式 ,  

又 当  一 1时 ,   一1 ,  

学  均 数 是V- - n — +   l , 求Ⅱ   .  
利 用 降标 作差 , 即可 得 出 a   .   解  由数 列 {  } 的倒 均数是 Vo -— n +  l
,  


即a l =1 , 适合 a   =   .  
1  



n   =   (  ∈ N ) .  

评注

应 降标 作 差时 , n ≥2 , 于是应讨 论 
、  

1 是 否满足 等式.  

黪  黪 

则 有   去 +   + … +   +  
古  
一  
.  

( 责审   王   雷)  

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