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2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理(陕西卷,解析版)


2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理(陕西卷,解析版)
第Ⅰ卷

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分) 1.设不等式 x ? x ? 0 的解集为 M,函数 f ( x) ? ln(1? | x |) 的定义域为 N,则 M ? N 为
2

>
(A)[0,1) 答案:A

(B) (0,1)

(C)[0,1]

(D) (-1,0]



2 解 析 : 不 等 式 x ? x ? 0 的 解 集 是 ?0 ? x ? 1? , 而 函 数 f ( x) ? ln(1? | x |) 的 定 义 域 为

,故选择 A ??1 ? x ? 1? ,所以 M ? N 的交集是[0,1) 2.已知 z 是纯虚数,

z?2 是实数,那么 z 等于 1-i
(C)-i (D)-2i

(A)2i (B)i 答案:D 解析:代入法最简单 3.函数 f ( x) ? (A) f
?1

2 x ? 4( x ? 4) 的反函数为

1 2 x ? 2( x ? 0) 2 1 2 ?1 (C) f ( x) ? x ? 4( x ? 0) 2 ( x) ?
答案:B

1 2 x ? 2( x ? 2) 2 1 2 ?1 (D) f ( x) ? x ? 4( x ? 2) 2
(B) f
?1

( x) ?

解析1:f ( x) ? 2 x ? 4( x ? 4) ? y ? 2, f ?1 ( x) : y ? 4, x ? 2.逐一验证,知B正确。 解析2:f ( x) ? 2 x ? 4( x ? 4) ? y ? 2, f ?1 ( x) ? 1 2 x ? 2, x ? 2 2
E J L

2 2 4.过原点且倾斜角为 60? 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为 (A) 3

(B)
A N

2

(C) 6 答案:D

(D)2 3

2 解析:x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ? x 2 ? y ? 2) ? 4, (

A

O

? A(0,2),OA=2,A到直线ON的距离是1,? ON= 3 ? 弦长2 3
5.若 3sin ? ? cos ? ? 0 ,则

10 (A) 3
答案:A

5 (B) 3

1 的值为 cos ? ? sin 2? 2 (C) (D) ?2 3
2

K

F

-1-

解析: ? ? cos ? ? 0 ? cos ? ? 0 ? tan ? ? ? 3sin

1 3

1 cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 10 ? ? ? cos 2 ? ? sin 2? cos 2 ? ? 2sin ? cos ? 1 ? 2 tan ? 3
6.若 (1 ? 2 x) (A)2 答案:C
r 2009

? a0 ? a1 x ? ? ? a2009 x 2009 ( x ? R) ,则
(B)0
2009? r

a a1 a2 ? 2 ? ? ? 2009 的值为 2 2 22009 (C) ?1 (D) ?2
a a1 a2 ? 2 ? ? ? 2009 等于 2 2 22009

解析: ar ? (?1) C2009

?12009?r ? 2r 则 a1 , a2 K ar 都能表示出来,则

2009 (?1) r C2009 ? r ,再利用倒序相加法求得。

7.“ m ? n ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的
2 2

(A)充分而不必要条件 (C)充要条件 答案:C 解析: m ? n ? 0 说明 b ? a ? 0

(B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

8.在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2 PM ,则 PA ? ( PB ? PC ) 等 于 (A) ? 答案:A

??? ?

???? ?

??? ??? ??? ? ? ?

4 9

(B) ?

4 3

(C)

4 3

(D)

4 9

??? ? ???? ? 解析: ? 2 PM ? P是AM 的一个三等分点,延长PM到H,使得MH=MP, PA ??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ? ? ? ? 2 ???? 2 ???? 4 ???? 2 4 PA ? ( PB ? PC ) ? PA ? PH ? (? AM )? AM ? ? ?AM ? ? 3 3 9 9
9.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位 数的个数为 (A)300 (B)216 (C) 180 (D)162 答案:C 解析:分类讨论思想: 第一类:从 1,2,3,4,5 中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数 为
4 C32 A4 ? 72

第二类:取 0,此时 2 和 4 只能取一个,0 还有可能排在首位,组成没有重复数字的四位数的 个数为
1 4 3 C32C2 [ A4 ? A3 ] ? 108

共有,180 个数

-2-

10.若正方体的棱长为 2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

(A)

2 6

(B)

2 3

(C)

3 3

(D)

2 3

答案:B 解析:正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥,该棱锥的高时正方体 高的一半,底面面积是正方体一个面面积的一半, V ? 2 ? ? [ ? 2 ? 2] ?

1 3

1 2

1 2 ? 2? 2 3

?x ? y ? 1 ? 11.若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值, ?2 x ? y ? 2 y ?
则 a 的取值范围是 (A) ( ?1 ,2 ) 答案:B
1 B1 I 4

G1

F1

I1

(B) ( ?4 ,2 )

(C) (?4,0]

3 (D) (?2, 4) 2

解析:根据图像判断,目标函数需要和 x ? y ? 1 , 2 x ? y ? 2 平行, 由图像知函数 a 的取值范围是( ?4 ,2 ) 12.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意 的 x1 , x2 ? (??, 0]( x1 ? x2 ) ,有 ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 . 则当 n ? N 时,有
*

-2

-1

0

1

2

3

4

G

R D1 S H1 C1

(A) f (?n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) (C) (C) f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) 答案:C

(B) f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) (D) f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n)

解析:x1 , x2 ? (??, 0]( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 ? x2 ? x1时,f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x)在(??, 0]为增函数 f ( x)为偶函数 ? f ( x)在(0, ?]为减函数 ? 而n+1>n>n-1>0,? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1)

2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修 ? 选修Ⅱ)(陕西卷)
-3-

第Ⅱ卷 二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分). 13.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a6 ? S3 ? 12 ,则 lim 答案:1

Sn ? n ?? n 2

.

?a6 ? 12 ?a1 ? 5d ? 12 ?a1 ? 2 S S n ?1 n ?1 解析: ?? ?? ? S n ? n(n ? 1) ? n ? ? lim n ? lim ?1 ? 2 n ?? n 2 n ?? n n n ?d ? 2 ?a1 ? d ? 12 ? s3 ? 12
14.某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组的有 6 人, 同时参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有 人。 答案:8 O1 15.如图球 O 的半径为 2,圆 O1 是一小圆, O1O ? 是圆 O1 上两点,若 A,B 两点间的球面距离为 答案:

2 ,A、B
.

A O

B

? 2
n ?1

2? ,则 ?AO1 B = 3

16. 设曲线 y ? x

(n ? N * ) 在点 (1, 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,令 an ? lg xn , 1)
.

则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的值为 答案:-2

解析:点(1,1)在函数y ? x n ?1 (n ? N * )的图像上, ? (1,1)为切点, y ? x n ?1的导函数为y ' ? (n ? 1) x n ? y ' |x ?1 ? n ? 1 ? 切线是:y ? 1 ? (n ? 1)( x ? 1) 令y=0得切点的横坐标:xn ? n n ?1 1 2 98 99 1 a1 ? a2 ? ... ? a99 ? lg x1 x2 ...x99 ? lg ? ? ? ? ... ? lg ? ?2 2 3 99 100 100

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 点中,相邻两个交点之间的距离为

?
2

)的图象与 x 轴的交

2? ? ,且图象上一个最低点为 M ( , ?2) . 3 2 ? ? (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [ , ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2

-4-

2? , ?2) 得 A=2. 3 2? 2? ? T ? 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , ? ? ? ?2 T ? 2 2 2 2? A1 由 点 在 2 图) 像 上 的 M( ? , 3 2? 4? 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2,即sin( ? ? ) ? ?1 B1 3 3 4? ? 11? 故 ? ? ? 2k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 3 2 6
17、解(1)由最低点为 M ( 又 ? ? (0,

C1

, 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? (2)? x ? [ , ],      2 x ? ? [ , ? ] 12 2 6 3 6 ? ? ? ? 7? 当 2 x ? = ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 2;当 2 x ? ? 6 2 6 6 6
即x?

?

),?? ?

?

?

A

C

B

?

2

时, f ( x) 取得最小值-1,故 f ( x) 的值域为[-1,2]

18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AB=1 , A1 C1

AC ? AA1 ? 3 ,∠ABC=60 0 .
(Ⅰ)证明: AB ? AC ; 1 (Ⅱ)求二面角 A— AC —B 的大小。 1

B1

A

C

B 18.(本小题满分 12 分) 解答一(1)证: ? 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,

? AB ? AA1
? 在 ?ABC 中 , A B? 1 , A C 3 ,? A B C 0 , 由 正 弦 定 理 ? 60

?ACB ? 300 ??BAC ? 900 即AB ? AC
AB ? 平面ACC1 A1 ,又 A1C ? 平面 ACC1 A1 即AB ? A1C

-5-

(2)解如图,作 AD ? A1C 交 AC 于点 D 点,连结 BD, 1 由三垂线定理知 BD ? AC 1

??ADB 为二面角 A ? AC1 ? B 的平面角
在 Rt ?AA1C中,AD ?

AA1 ? AC 3? 3 6 ? ? A1C 2 6

Rt ?BAD中,tanADB= ??ADB=arctan

AB 6 ? AD 3

6 6 , 即二面角A ? AC1 ? B的大小为arctan 3 3

解答二(1)证? 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,

? AB ? AA1,AC ? AA1

Rt ?ABC , AB ? 1, AC ? 3, ?ABC ? 600 ,
由正弦定理 ?ACB ? 30
0

??BAC ? 900 即AB ? AC
如图,建立空间直角坐标系,

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0)C (0, 3, 0), A1 (0, 0, 3) ??? ? ???? ? AB ? (1, 0, 0), A1C ? (0, 3, 3) ??? ???? ? ? AB ? A1C ? 1*0 ? 0* 3 ? 0*(? 3) ? 0



? AB ? A1C
(2) 解,如图可取 m ? AB ? (1, 0, 0) 为平面 AA1C 的法向量 设平面 A1 BC 的法向量为 n ? (l , m, n) ,

??? ?

( , 0) 则 BC ? n ? 0, A1C ? n ? 0, 又BC ? ? 1 3,

??? ?

????

??? ?

??l ? 3m ? 0 ? ?? ? l ? 3m, n ? m 3m ? 3n ? 0 ? ?
不妨取 m ? 1, 则n ? ( 3,1,1)

-6-

cos ? m, n ??

m?n 3 ?1 ? 1? 0 ? 1? 0 15 ? ? m?n 5 ( 3)2 ? 12 ? 12 ? 12 ? 02 ? 02
15 5

? 二面角A ? A1C ? BD的大小为arccos
19.(本小题满分 12 分)

某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ? 表示, 椐统计, 随机变量 ? 的概率分布如下:

?
p (Ⅰ)求 a 的值和 ? 的数学期望;

0 0.1

1 0.3

2 2a

3 a

(Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消 费者投诉 2 次的概率。 19 题,解(1)由概率分布的性质有 0.1+0.3+2a+a=1,解答 a=0.2

?? 的概率分布为

?
P

0 0.1

1 0.3

2 0.4

3 0.2

? E? ? 0*0.1 ? 1*0.3 ? 2*0.4 ? 3*0.2 ? 1.7
(2)设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”事件 A1 表示“两个月内有一个月被投诉 2 次, 另外一个月被投诉 0 次” ;事件 A2 表示“两个月内每月均被投诉 12 次” 则由事件的独立性得
1 P ( A1 ) ? C2 P (? ? 0) ? 2*0.4*0.1 ? 0.08

P ( A2 ) ? [ P (? ? 1)]2 ? 0.32 ? 0.09 ? P ( A) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? 0.08 ? 0.09 ? 0.17
故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

1? x , x ? 0 ,其中 a ? 0 1? x

? ? ? 若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; ? ?? ? 求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅲ)若 f ( x) 的最小值为 1,求 a 的取值范围。
-7-

20. 解(Ⅰ) f '( x) ?

a 2 ax 2 ? a ? 2 ? ? , ax ? 1 (1 ? x) 2 (ax ? 1)(1 ? x) 2
2

∵ f ( x) 在 x=1 处取得极值,∴ f '(1) ? 0,即a? ? a ? 2 ? 0, 解得 a ? 1. 1 (Ⅱ) f '( x) ? ∵ x ? 0, a ? 0,

ax 2 ? a ? 2 , (ax ? 1)(1 ? x) 2
∴ ax ? 1 ? 0.

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '( x) ? 0, ∴ f ( x) 的单调增区间为 (0, ??). ②当 0 ? a ? 2 时, 由 f '( x) ? 0解得x ?

2?a 2?a ,由f '( x) ? 0解得x ? , a a 2-a 2-a ), 单调增区间为( , ?). ? a a

∴ f ( x)的单调减区间为(0,

(Ⅲ)当 a ? 2 时,由(Ⅱ)①知, f ( x)的最小值为f (0) ? 1; 当 0 ? a ? 2 时,由(Ⅱ)②知, f ( x) 在 x ?

2?a 2?a ) ? f (0) ? 1, 处取得最小值 f ( a a

综上可知,若 f ( x) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??).

21. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C 的方程为

y 2 x2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 e ? ,顶点到渐近线的距 2 2 a b

离为

2 5 。 5

(I)求双曲线 C 的方程; (II)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐 近线上,且分别位于第一、二象限,若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2] , 求 ?AOB 面积的取值范围

??? ?

??? ?

1 3

-8-

21. (本小题满分 14 分) 已知双曲线 C 的方程为

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), a 2 b2

离心率 e ?

5 2 5 , 顶点到渐近线的距离为 . 2 5

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上,且分别位于第 一,二象限.若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2], 求△AOB 面积的取值范围. 解答一(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点 (O, a) 到渐近线 ax ? by ? 0的距离为

??? ?

??? ?

1 3

2 5 , 5



ab a ?b
2 2

?

2 5 ab 2 5 ,即 ? , 5 c 5

? ab 2 5 ?a ? 2, , ? ? 5 ? ?c ?c ?b ? 1, y2 5 ? ? x 2 ? 1. 由? ? 得 ∴双曲线 C 的方程为 , ? 4 2 ?a 2 2 2 ?c ? 5, ?c ? a ? b ? ? ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y ? ?2 x. 设 A(m, 2m), B(?n, 2n), m ? 0, n ? 0.

由 AP ? ? PB 得 P 点的坐标为 (

??? ?

??? ?

m ? ? n 2(m ? ? n) , ), 1? ? 1? ?

将 P 点坐标代入

y2 (1 ? ? n) 2 ? x 2 ? 1, 化简得 mn ? . 4 4?

设∠AOB ? 2? ,? tan( 又

?

1 1 4 ? ? ) ? 2,? tan ? ? ,sin ? ? ,sin 2? ? . 2 2 2 5

? | OA |? 5m4 | OB |? 5n?

? S? AOB ?

1 1 1 | OA |? OB |? 2? ? 2mn ? (? ? ) ? 1. | sin 2 2 ?

-9-

1 1 1 S (? ) ? (? ? ) ? 1, ? ? [ , 2], 记 2 ? 3

8 9 , S (2) ? , 3 4 1 8 当 ? ? 1 时,△AOB 的面积取得最小值 2,当 ? ? 时,△AOB 的面积取得最大值 ∴△AOB 面 3 3. 8 积的取值范围是 [2, ]. 3
由 S '(? ) ? 0得? ? 1, 又S(1)=2,S( ) ? 解答二(Ⅰ)同解答一 (Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 | k |? 2, m ? 0.

1 3

由{

y ? kx ? m y ? 2x y ? kx ? m y ? ?2 x

得 A 点的坐标为 (

m 2m , ), 2?k 2?k ? m 2m , ). 2?k 2?k

由{

得 B 点的坐标为 (

由 AP ? ? PB 得 P 点的坐标为 (

??? ?

??? ?

m 1 ? 2m 1 ? ( ? ), ( ? )), 1? ? 2 ? k 2 ? k 1? ? 2 ? k 2 ? k

将 P 点坐标代入

y2 4m 2 (1 ? ? )2 ? x 2 ? 1得 ? . 4 4 ? k2 ?

设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点,则 Q 点的坐标为(0,m).

S? AOB ? S? AOQ ? S? BOQ ?
=

1 1 1 | OQ |? XA | ? | OQ |? x8 |? m? xA ? xB) | | ( 2 2 2

1 m m 1 4m 2 1 1 m( ? )? ? ? (? ? ) ? 1. 2 2 2?k 2?k 2 4?k 2 ?

以下同解答一. 22. (本小题满分 12 分) 已知数列 ? xn } 满足, x1=

1 1 xn+1= , n ? N*. 2’ 1 ? xn

? ? ? 猜想数列 { xn } 的单调性,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明: | xn ?1 -xn|≤ ( )

1 2 6 5

n ?1



- 10 -

22 题 证(1)由 x1 ?

1 1 2 5 13 及xn+1 ? 得x2 ? ? x4 ? ,x4 ? 2 1 ? xn 3 8 21

由 x2 ? x4 ? x6 猜想:数列 ? x2n ? 是递减数列 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,已证命题成立 易知 x2 k ? 0 ,那么 x2 k ? 2 ? x2 k ? 4 ? (2)假设当 n=k 时命题成立,即 x2 k ? x2 k ? 2

x2 k ?3 ? x2 k ?1 1 1 ? ? 1 ? x2 k ?1 1 ? x2 k ?3 (1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ?3 )

=

x2 k ? x2 k ? 2 ?0 (1 ? x2 k )(1 ? x2 k ?1 )(1 ? x2 k ? 2 )(1 ? x2 k ?3 )

即 x2( k ?1) ? x2( k ?1) ? 2 也就是说,当 n=k+1 时命题也成立,结合(1)和(2)知,命题成立 (2)当 n=1 时, xn ?1 ? xn ? x2 ? x1 ?

1 ,结论成立 6
1 1 ? 1 ? xn ?1 2

当 n ? 2 时,易知 0 ? xn ?1 ? 1,?1 ? xn ?1 ? 2, xn ?

? (1 ? xn )(1 ? xn ?1 ) ? (1 ?

1 5 )(1 ? xn ?1 ) ? 2 ? xn ?1 ? 1 ? xn ?1 2

? xn ?1 ? xn ?

xn ? xn ?1 1 1 ? ? 1 ? xn 1 ? xn ?1 (1 ? xn )(1 ? xn ?1 )

?

2 2 2 xn ? xn ?1 ? ) xn ?1 ? xn ? 2 ? ? ? ) x2 ? x1 ( 2 ( n-1 5 5 5 1 2 n-1 ? ( ) 6 5

- 11 -


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