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高中物理竞赛讲义第04部分 曲线运动 万有引力


第四部分

曲线运动

万有引力

第一讲 基本知识介绍
一、曲线运动 1、概念、性质 2、参量特征 二、曲线运动的研究方法——运动的分解与合成 1、法则与对象 2、两种分解的思路 a、固定坐标分解(适用于匀变速曲线运动) 建立坐标的一般模式——沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标;提高思想——根据解题需 要

建直角坐标或非直角坐标。 b、自然坐标分解(适用于变加速曲线运动) 基本常识:在考查点沿轨迹建立切向τ 、法向 n 坐标,所有运动学矢量均沿这两个方向分解。

? ? F? ? ma? v2 动力学方程 ? ,其中 a ? 改变速度的大小(速率) , a n 改变速度的方向。且 a n = m , ? ?? Fn ? man
其中ρ 表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只涉及法向动力学方程。 三、两种典型的曲线运动 1、抛体运动(类抛体运动) 关于抛体运动的分析,和新课教材“平跑运动”的分析基本相同。在坐标的选择方面,有灵活处 理的余地。 2、圆周运动 匀速圆周运动的处理:运动学参量 v、ω 、n、a、f、T 之间的关系,向心力的寻求于合成;临界问 题的理解。 变速圆周运动:使用自然坐标分析法,一般只考查法向方程。 四、万有引力定律 1、定律内容 2、条件 a、基本条件 b、拓展条件: 球体(密度呈球对称分布)外部空间的拓展----对球体外一点 A 的吸引等效于位于球心的质量为球 的质量的质点对质点 A 的吸引; 球体(密度呈球对称分布)内部空间的拓展“剥皮法则”-----对球内任一距球心为 r 的一质点 A 的 吸引力等效于质量与半径为 r 的球的质量相等且位于球心的质点对质点 A 的吸引; 球壳(密度呈球对称分布)外部空间的拓展----对球壳外一点 A 的吸引等效于位于球心的质量为球 壳的质量的质点对质点 A 的吸引; 球体(密度呈球对称分布)内部空间的拓展-----对球壳内任一位置上任一质点 A 的吸引力都为零; 并且根据以为所述,由牛顿第三定律,也可求得一质点对球或对球壳的吸引力。 c、不规则物体间的万有引力计算——分割与矢量叠加 3、万有引力做功也具有只与初末位置有关而与路径无关的特征。因而相互作用的物体间有引力势 能。在任一惯性系中,若规定相距无穷远时系统的万有引力势能为零,可以证明,当两物体相距为 r 时
1

系统的万有引力势能为 EP = -G

m1m 2 r

五、开普勒三定律 天体运动的本来模式与近似模式的差距,近似处理的依据。 六、宇宙速度、天体运动 1、第一宇宙速度的常规求法 2、从能量角度求第二、第三宇宙速度 万有引力势能 EP = -G

m1m 2 r

3、解天体运动的本来模式时,应了解椭圆的数学常识

第二讲 重要模型与专题
一、小船渡河 物理情形:在宽度为 d 的河中,水流速度 v2 恒定。岸边有一艘小船,保持相对河水恒定的速率 v1 渡 河,但船头的方向可以选择。试求小船渡河的最短时间和最小位移。 模型分析:小船渡河的实际运动(相对河岸的运动)由船相对水流速度 v1 和水相对河岸的速度 v2 合 成。可以设船头与河岸上游夹角为θ (即 v1 的方向) ,速度矢量合成如图 1 (学生活动)用余弦定理可求 v 合的大小
2 2 v 合= v 1 ? v 2 ? 2 v1 v 2 cos ?

(学生活动)用正弦定理可求 v 合的方向。令 v 合与河岸下游夹角为α,则 α = arcsin

v1 sin ?
2 v1 ? v2 2 ? 2 v 1 v 2 cos ?

1、求渡河的时间与最短时间 由于合运动合分运动具有等时性,故渡河时间既可以根据合运动求,也可以根据分运动去求。针对 这一思想,有以下两种解法 解法一: t =

S合 v合

其中 v 合可用正弦定理表达, 故有 t =

d / sin ? d = v 1 sin ? v1 sin ? sin ?

解法二: t =

S1 d / sin ? = v1 v1

=

d v1 sin ?
此外, 结合静力学正交分解的思

2

想,我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐标 x、y,然后先将 v1 分解(v2 无需分解) ,再合成,如图 2 所示。而且不难看出,合运动在 x、y 方向的分量 vx 和 vy 与 v1 在 x、y 方向的分量 v1x、v1y 以及 v2 具有 以下关系 vy = v1y vx = v2 - v1x 由于合运动沿 y 方向的分量 Sy ≡ d ,故有 解法三: t =

Sy vy

=

d d = v1 sin ? v 1y
d v1

t (θ )函数既已得出,我们不难得出结论 当θ = 90°时,渡河时间的最小值 tmin =

(从“解法三”我们最容易理解 t 为什么与 v2 无关,故 tmin 也与 v2 无关。这个结论是意味深长的。 ) 2、求渡河的位移和最小位移 在上面的讨论中,小船的位移事实上已经得出,即 S合
2 d v1 ? v2 d d 2 ? 2 v 1 v 2 con? = = = v1 sin ? v1 sin ? sin ? v合

但 S 合(θ )函数比较复杂,寻求 S 合的极小值并非易事。因此,我们可以从其它方面作一些努力。 将 S 合沿 x、y 方向分解成 Sx 和 Sy ,因为 Sy ≡ d ,要 S 合极小,只要 Sx 极小就行了。而 Sx(θ ) 函数可以这样求—— 解法一: Sx = vxt =(v2 - v1x)

Sy vy

=(v2 – v1cosθ )

d v1 sin ?

为求极值,令 cosθ = p ,则 sinθ =

1 ? p 2 ,再将上式两边平方、整理,得到

2 2 2 2 2 2 2 2 v1 (S2 x ? d )p ? 2v1 v 2 d p ? d v 2 ? Sx v1 ? 0

这是一个关于 p 的一元二次方程,要 p 有解,须满足Δ ≥0 ,即
2 2 4 2 2 2 2 2 2 4v1 v 2 d ≥ 4v1 (S2 x ? d )(d v 2 ? Sx v1 )

整理得 S x v1 ≥ d (v 2 ? v1 )
2 2 2 2 2

所以,Sxmin=

v d 2 v2 ,代入 Sx(θ )函数可知,此时 cosθ = 1 2 ? v1 v1 v2
2 S2 x min ? S y =

最后,Smin=

v2 d v1

此过程仍然比较繁复,且数学味太浓。结论得出后,我们还不难发现一个问题:当 v2<v1 时,Smin <d ,这显然与事实不符。 (造成这个局面的原因是:在以上的运算过程中,方程两边的平方和开方过 程中必然出现了增根或遗根的现象)所以,此法给人一种玄乎的感觉。

3

解法二:纯物理解——矢量三角形的动态分析 从图 2 可知,Sy 恒定,Sx 越小,必有 S 合矢量与下游河岸的夹角越大,亦即 v 合矢量与下游河岸的夹 角越大(但不得大于 90°) 。 我们可以通过 v1 与 v2 合成 v 合矢量图探讨 v 合与下游河岸夹角的最大可能。 先进行平行四边形到三角形的变换,如图 3 所示。 当θ 变化时,v 合矢量的大小和方向随之变化,具体情况如图 4 所示。 从图 4 不难看出,只有当 v 合和虚线半圆周相切时,v 合与 v2(下游)的夹角才会最大。此时,v 合⊥ v1 ,v1、v2 和 v 合构成一个直角三角形,α
max

= arcsin

v1 v2

并且,此时:θ = arccos

v1 v2
1 可以求出:S 合 min =

有了α

max 的值,结合图

v2 d v1

最后解决 v2<v1 时结果不切实际的问题。从图 4 可以看出,当 v2<v1 时,v 合不可能和虚线半圆周相 切(或α
max

= arcsin

v1 无解) ,结合实际情况,α v2

max 取

90°

即:v2<v1 时,S 合 min = d ,此时,θ = arccos

v2 v1

结论:若 v1<v2 ,θ = arccos

v1 v 时,S 合 min = 2 d v2 v1 v2 时,S 合 min = d v1

若 v2<v1 ,θ = arccos

二、滑轮小船 物理情形:如图 5 所示,岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船,设小船始 终不离开水面, 且绳足够 长, 求汽车速度 v1 和小船 速度 v2 的大小关系。 模型分析:由于绳不
4

可伸长,滑轮右边绳子缩短的速率即是汽车速度的大小 v1 ,考查绳与船相连的端点运动情况,v1 和 v2 必有一个运动的合成与分解的问题。 (学生活动)如果 v1 恒定不变,v2 会恒定吗?若恒定,说明理由;若变化,定性判断变化趋势。 结合学生的想法,介绍极限外推的思想:当船离岸无穷远时,绳与水的夹角趋于零,v2→v1 。当船 比较靠岸时,可作图比较船的移动距离、绳子的缩短长度,得到 v2>v1 。故“船速增大”才是正确结论。 故只能引入瞬时方位角θ ,看 v1 和 v2 的瞬时关系。 (学生活动)v1 和 v2 定量关系若何?是否可以考虑用运动的分解与合成的知识解答? 针对如图 6 所示的两种典型方案,初步评说——甲图中 v2 = v1cosθ ,船越靠岸,θ 越大,v2 越小, 和前面的定性结论冲突,必然是错误的。 错误的根源分析:和试验修订本教材中“飞机起飞”的运动分析进行了不恰当地联系。仔细比较这 两个运动的差别,并联系“小船 渡河”的运动合成等事例,总结 出这样的规律—— 合运动是显性的、轨迹实在 的运动,分运动是隐性的、需要 分析而具有人为特征(无唯一 性)的运动。 解法一:在图 6(乙)中, 当我们挖掘、 分析了滑轮绳子端 点的运动后,不难得出:船的沿 水面运动是 v2 合运动,端点参与绳子的缩短运动 v1 和随绳子的转动 v 转 ,从而肯定乙方案是正确的。 即:v2 = v1 / cosθ 解法二: 微元法。 从考查位置开始取一个极短过程, 将绳的运动和船的运动在图 7(甲)中标示出来, AB 是绳的初 识 位 置 , AC 是绳的末位 置,在 AB 上 取 AD = AC 得 D 点, 并连 接 CD。显然, 图中 BC 是船 的位移大小, DB 是绳子的 缩短长度。由 于过程极短,等腰三角形 ACD 的顶角∠A→0,则底角∠ACD→90°,△CDB 趋于直角三角形。将此三 角放大成图 7(乙) ,得出:S2 = S1 / cosθ 。 鉴于过程极短,绳的缩短运动和船的运动都可以认为是匀速的,即:S2 = v2 t ,S1 = v1 t 。 所以:v2 = v1 / cosθ 三、斜抛运动的最大射程 物理情形:不计空气阻力,将小球斜向上抛出,初速度大小恒为 v0 ,方向可以选择,试求小球落回 原高度的最大水平位移(射程) 。 模型分析:斜抛运动的常规分析和平抛运动完全相同。 设初速度方向与水平面夹θ 角,建立水平、竖直的 x、y 轴,将运动学参量沿 x、y 分解。针对抛出
5

到落回原高度的过程 0 = Sy = v0y t + Sx = v0x t 解以上两式易得:Sx =
2 v0 sin2θ g

1 (-g)t2 2

2 v0 结论:当抛射角θ = 45°时,最大射程 Sxmax = g

(学生活动)若 v0 、θ确定,试用两种方法求小球到达的最大高度。 运动学求解——考查竖直分运动即可;能量求解——注意小球在最高点应具备的速度 v0x ,然后对 抛出到最高点的过程用动能定理或机械能守恒。结论:Hm =
2 v0 sin 2 ? 。 2g

四、物体脱离圆弧的讨论 物理情形:如图 8 所示,长为 L 的细绳一端固定,另一端系一小球。当小球在最低点时,给球一个 vo = 2 gL 的水平初速,试求所能到达的最大高度。 模型分析:用自然坐标分析变速圆周运动的典型事例。 能量关系的运用,也是对常规知识的复习。 (学生活动)小球能否形成的往复的摆动?小球能否 到达圆弧的最高点 C ? 通过能量关系和圆周运动动力学知识的复习,得出: 小球运动超过 B 点、但不能到达 C 点(vC ≥ gL ) ,即 小球必然在 BC 之间的某点脱离圆弧。 (学生活动)小球会不会在 BC 之间的某点脱离圆弧后 作自由落体运动? 尽管对于本问题,能量分析是可行的(BC 之间不可能 出现动能为零的点, 则小球脱离圆弧的初速度 vD 不可能为 零) ,但用动力学的工具分析,是本模型的重点—— 在 BC 阶段,只要小球还在圆弧上,其受力分析必如图 9 所示。沿轨迹的切向、法向分别建τ 、n 坐 标,然后将重力 G 沿τ 、n 分解为 Gτ 和 Gn 分量,T 为绳子张力。法向动力学方程为 T + Gn = Σ Fn = man = m

v2 r

由于 T≥0 ,Gn>0 ,故 v≠0 。 (学生活动:若换一个 v0 值,在 AB 阶段,v = 0 是可能出现的;若将绳子换成轻杆,在 BC 阶段 v = 0 也是 可能出现的。 ) 下面先解脱离点的具体位置。设脱离点为 D,对应方位角为θ ,如图 8 所示。由于在 D 点之后绳子就要弯曲,则此时绳子的张力 T 为零,而此 时仍然在作圆周运动,故动力学方程仍满足

6

Gn = Gsinθ = m

v2 r



在再针对 A→D 过程,小球机械能守恒,即(选 A 所在的平面为参考平面) :

1 1 2 m v0 + 0 = mg ( L + Lsinθ ) + m v 2 D 2 2
代入 v0 值解①、②两式得:θ = arcsin



2 , (同时得到:vD = 3

2 gL )小球脱离 D 点后将以 vD 为 3

初速度作斜向上抛运动。它所能到达的最高点(相对 A)可以用两种方法求得。 解法一:运动学途径。 先求小球斜抛的最大高度,hm = 代入θ 和 vD 的值得:hm =

( v D cos?) 2 v 2 (1 ? sin 2 ?) = D 2g 2g

5 L 27 50 L 27
2 3

小球相对 A 的总高度:Hm = L + Lsinθ + hm = 解法二:能量途径

小球在斜抛的最高点仍具有 vD 的水平分量,即 vDsinθ = 能守恒定律(设 A 所在的平面为参考平面) ,有

2 gL 。对 A→最高点的过程用机械 3

1 1 2 m(v D sin ?) 2 + mg Hm m v0 +0= 2 2 50 容易得到:Hm = L 27
五、万有引力的计算 物理情形:如图 9 所示,半径为 R 的均 质球质量为 M,球心在 O 点,现在被内切 的挖去了一个半径为 R/2 的球形空腔(球心 在 O′) 。在 O、O′的连线上距离 O 点为 d 的地方放有一个很小的、质量为 m 的物体, 试求这两个物体之间的万有引力。 模型分析: 无论是 “基本条件” 还是 “拓 展条件” ,本模型都很难直接符合,因此必 须使用一些特殊的处理方法。本模型除了照 应万有引力的拓展条件之外,着重介绍“填 补法”的应用。 空腔里现在虽然空无一物,但可以看成 是两个半径为 R/2 的球的叠加:一个的质量 为+M/8 ,一个的质量为-M/8 。然后,前者正好填补空腔——和被挖除后剩下的部分构成一个完整的 均质球 A ;注意后者,虽然是一个比较特殊的物体(质量为负值) ,但仍然是一个均质的球体,命名为 B 。
7

既然 A、B 两物均为均质球体,他们各自和右边小物体之间的万有引力,就可以使用“拓展条件” 中的定势来计算了。只是有一点需要说明,B 物的质量既然负值,它和 m 之间的万有“引力”在方向上 不再表现为吸引,而应为排斥——成了“万有斥力”了。具体过程如下 FAm = G

Mm d2

M ?m Mm 8 FBm = G = -G 2 R R? ? 8(d ? ) 2 ?d ? ? 2 2? ? ?
最后,两物之间的万有引力 F = FAm + FBm = G

Mm -G d2

Mm R 8(d ? ) 2 2

需要指出的是,在一部分同学的心目中,可能还会存在另一种解题思路,那就是先通过力矩平衡求 被挖除物体的重心(仍然要用到“填补法” 、负质量物体的重力反向等) ,它将在 O、O′的连线上距离 O 点左侧 R/14 处,然后“一步到位”地求被挖除物与 m 的万有引力

M ?m 7 F=G R (d ? ) 2 14
然而,这种求法违背了万有引力定律适用的条件,是一种错误的思路。 六、天体运动的计算 物理情形:地球和太阳的质量分别为 m 和 M ,地球绕太阳作椭圆运动,轨道的半长轴为 a ,半短 轴为 b ,如图 11 所示。试求地球在椭圆顶点 A、B、C 三点的运动速度,以及轨迹在 A、C 两点的曲率 半径。 模型分析:求解天体运动的本来模式,常常要用到开 普勒定律(定量) 、机械能守恒(万有引力势能) 、椭圆的 数学常识等等,相对高考要求有很大的不同。 地球轨道的离心率很小(其值

c ≈ 0.0167 ,其中 c a

为半焦距) ,这是我们常常能将它近似为圆的原因。为了 方便说明问题,在图 11 中,我们将离心率夸大了。 针对地球从 A 点运动到 B 点的过程,机械能守恒

Mm 1 Mm 1 2 2 m v A +(- G )= m v B +(- G ) 2 a ?c 2 a?c
比较 A、B 两点,应用开普勒第二定律,有:vA(a-c)= vB(a + c) 结合椭圆的基本关系:c =

a 2 ? b2
GM , a a ? a 2 ? b2 vB = b GM a

a ? a 2 ? b2 解以上三式可得:vA = b

再针对地球从 A 到 C 的过程,应用机械能守恒定律,有

8

1 Mm 1 Mm 2 m v2 )= m vC +(- G ) A +(- G 2 a ?c 2 a
代入 vA 值可解得:vC =

GM a

为求 A、C 两点的曲率半径,在 A、C 两点建自然坐标,然后应用动力学(法向)方程。 在 A 点,F 万 = Σ Fn = m an ,设轨迹在 A 点的曲率半径为ρ
A

v2 Mm ,即:G =m A 2 ?A ( a ? c)

b2 代入 vA 值可解得:ρ A = a
在 C 点,方程复杂一些,须将万有引力在τ 、n 方向分解, 如图 12 所示。
2 vC 然后,F 万 n =Σ Fn = m an ,即:F 万 cosθ = m ?C 2 Mm b vC · = m a2 a ?C

即:G

代入 vC 值可解得:ρ

C=

a2 b

值得注意的是,如果针对 A、C 两点用开普勒第二定律,由于 C 点处的矢径 r 和瞬时速度 vC 不垂直, 方程不能写作 vA(a-c)= vC a 。 正确的做法是: 将 vC 分解出垂直于矢径的分量 (分解方式可参看图 12, 但分解的平行四边形未画出) vC cosθ ,再用 vA(a-c)=(vC cosθ )a ,化简之后的形式成为 vA(a-c)= vC b 要理解这个关系,有一定的难度,所以建议最好不要对 A、C 两点用开普勒第二定律

第三讲 典型例题解析
教材范本:龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》 ,知识出版社,2002 年 8 月第一版。 例题选讲针对“教材”第五、第六章的部分例题和习题。

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