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第滔滔


第8章
? 重点:

相量法

1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式

下 页

8.1
1. 复数的表示形式

复数
b 代数式

Im F |F|

F ? a ?

jb
(j ?

? 1 为虚数单位)
j?

?
0 a 三角函数式 Re

F ?| F | e
F ?| F | e
F ?| F | e

指数式

j?

?| F | (cos? ? j sin ? ) ? a ? jb
极坐标式
上 页 下 页

j?

?| F | ??

几种表示法的关系:

Im

b

F

F ? a ? jb
F ?| F | e
j?

|F|

?| F | ??
2

?
0 a Re

? | F |? a ? b ? ? b ? θ ? arctan a ?
2



? a ?| F | cos? ? ? b ?| F | sin?

2. 复数运算

①加减运算 —— 采用代数式
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若 则 Im F2

F1=a1+jb1, F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) F1+F2
Im

F1+F2
F2

F1 0 图解法 Re 0

F1 Re

F1-F2

-F2

上 页

下 页

②乘除运算 —— 采用极坐标式 若

F1=|F1| ? 1 ,F2=|F2| ? 2
1 2 1 2

则: F1 ? F2 ? F1 e j? ? F2 e j? ? F1 F2 e j(? ?? ) 模相乘 ? F1 F2 ??1 ? ? 2 角相加
F1 F2 ? ? | F1 | ? θ1 | F2 | ? θ2 |F1| |F2| ? | F1 | e | F2 | e
jθ1 jθ 2

?

| F1 | | F2 |

e

j( θ1?θ 2 )

θ1 ? θ2

模相除 角相减
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例1


5?47 ? 10? ? 25 ? ?
? ?

原式 ? (3.41 ? j3.657 ) ? (9.063 ? j4.226)
? 12.47 ? j0.569 ? 12.48? ? 2.61
?

例2

220 ?35 ?
?

(17 ? j9) (4 ? j6) 20 ? j5

??
? ?

解 原式 ? 180.2 ? j126.2 ?

19.24?27.9 ? 7.211?56.3 20.62?14.04
?
?

? 180.2 ? j126.2 ? 6.728?70.16

? 180.2 ? j126.2 ? 2.238 ? j6.329

? 182.5 ? j132.5 ? 225.5?36

?

上 页

下 页

③旋转因子 复数

ej? =cos? +jsin? =1∠?
Im F? ej?

F? ej?
旋转因子 0

?

F Re

上 页

下 页

特殊旋转因子

? jF

Im
F

??
j π 2

π 2

, π 2 ? jsin
j? π 2

e

? cos

π 2

? ?j

0

Re
? jF

? ??

π 2

,

e

? cos(? ) ? jsin( ? ) ? ? j 2 2

π

?F

π

? ? ?π ,

e

j? π

? cos(? π) ? jsin( ? π) ? ?1

注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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8.2
1. 正弦量
?瞬时值表达式

正弦量
i
T

波形

i(t)=Imcos(w t+y)
正弦量为周期函数
?周期T 和频率f

0

t
f ? 1 T

f(t)=f ( t+kT )

周期T :重复变化一次所需的时间。单位:秒s 频率f :每秒重复变化的次数。单位:赫(兹)Hz
上 页 下 页

?正弦电流电路

激励和响应均为正弦量的电路(正弦稳态电 路)称为正弦电路或交流电路。
?研究正弦电路的意义

1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。

优 ①正弦函数是周期函数,其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数;
②正弦信号容易产生、传送和使用。
上 页 下 页

2.正弦信号是一种基本信号,任何变化规律复杂 的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。

f (t ) ?
结论

?

n

A k cos( k w t ? ? k )

k ?1

对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。

上 页

下 页

2. 正弦量的三要素

i(t)=Imcos(w t+y)

(1)幅值 (振幅、最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率ω 相位变化的速度,反映正弦量变化快慢。

w ? 2π f ? 2π
(3) 初相位y

T

单位: rad/s ,弧度/秒

反映正弦量的计时起点,常用角度表示。
上 页 下 页

注意 同一个正弦量,计时起点不同,初相
位不同。

i

y =0

一般规定:|y |?? 。

0

y y =?/2

wt

y =-?/2

上 页

下 页




已知正弦电流波形如图,w=103rad/s,

1.写出 i(t) 表达式;2.求最大值发生的时间t1

i(t ) ? 100 cos( t ? y ) 10
3

t ? 0 ? 50 ? 100 cosy
y ? ?π 3
y ??
π 3

100 50 0

i

t t1

由于最大值发生在计时起点右侧 π 3 i (t ) ? 100 cos( t ? ) 10 3
当 10 t1 ? π 3 有最大值
3

t1=

π 3 10
3

= .047 ms 1
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3. 同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 相位差 :j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i

规定: |j | ?? (180°)

等于初相位之差

上 页

下 页

?

j >0, u超前i j 角,或i 滞后 u j 角, (u 比 i 先
到达最大值);

?

j <0, i 超前 u j 角,或u 滞后 i j 角, i 比 u 先
到达最大值)。

上 页

下 页

特殊相位关系

j =?? (?180 ) ,反相
o

j = 0, 同相
u i 0 0

u i wt

wt
u

j= ?/2:u 领先 i ?/2

i 0

wt

同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
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计算下列两正弦量的相位差。
(1) i1 (t ) ? 10 cos( 100 π t ? 3π 4) i2 (t ) ? 10 cos( 100 π t ? π 2)

结论

两个正弦量 进行相位比 0 ( 2) ij t? 3π 4cos( π 2π? 5π 4 ? 0 ( ) ? 10 ? (?100 ) t ? 30 ) 1 较时应满足 0 j ? 2 100 π ? 15 i2 (t ) ? 10 sin(π ? 5π t 4 ? 3π) 4 同频率、同 0 i2t(t ? ? 3 cos( ππt? 30 0 )0 ) (3)i (t ) ? ) 10 cos( 100 t ? 105 ) 函数、同符 u1 ( ) 10 cos(100 π t ? 150 100 0 w1 ? w2 2 0 0 j ? ?30 ? (?150 ? 450 ) 号,且在主 u2 (t ) ? 10 cos(200 π t ) ? 120不能比较相位差 0 0 0 j ? 30 ? (?105 ) ? 135 0 值范围比较。 (4) i (t ) ? 5 cos( 100 π t ? 30 )
1

i2 (t ) ? ?3 cos( 100 π t ? 30 )
0

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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变,为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
?周期电流、电压有效值定义

物 理 意 义

直流I

R

交流 i

R

W ? RI T
2

W ?

?

T

0

Ri (t )dt
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2

均方根值

I ?

def

1 T

?

T

0

i (t )d t

2

定义电压有效值:

U ?

def

1 T

?

T

0

u (t )d t

2

? 正弦电流、电压的有效值 设

i(t)=Imcos(w t+? )
上 页 下 页

I ?
?

1 T

?

T

0

I m cos ( w t ? Ψ ) dt
2 2
T

?

T

0

cos ( w t ? Ψ ) dt ? ?
2

1 ? cos 2(w t ? Ψ ) 2

0

dt

?

1 2

T

t
0

?

1 2

T

Im ?
? Im 2 ? 0.707 I m

2I

?

I?

1 T

Im ?
2

T 2

i (t ) ? I m cos(w t ? Ψ ) ?

2 I cos(w t ? Ψ )
上 页 下 页

同理,可得正弦电压有效值与最大值的关系:
U ? 1 2 Um 或 Um ? 2U

若交流电压有效值为 U=220V ,

注意

U=380V 其最大值为 Um?311V Um?537V

① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值,如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此,在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。
上 页 下 页

②测量中,交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。

③区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的 符号。

i , Im , I ,

u , Um , U

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下 页

8.3 相量法的基础
1. 问题的提出
电路方程是微分方程:
LC d uC dt
2

+
-

R

u

iL

L

+

uC

- C

? RC

duC dt

? uC ? u (t )

两个正弦量的相加:如KCL、KVL方程运算:

i1 ?
i2 ?

2 I1 cos(w t ? y 1 )
2 I 2 cos(w t ? y 2 )
上 页 下 页

8.3 相量法的基础
1. 问题的提出
电路方程是微分方程:
LC d uC dt
2

+
-

R

u

iL

L

+

uC

- C

? RC

duC dt

? uC ? u (t )

两个正弦量的相加:如KCL、KVL方程运算:

i1 ?
i2 ?

2 I1 cos(w t ? y 1 )
2 I 2 cos(w t ? y 2 )
上 页 下 页

iu, i 1
角频率 有效值 初相位

i2
i1 iw 2 I2

i1+i2 ?i3
i3

w
I1 0

w
3

wI t

?1

?2

?3

结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量,
所以,只需确定初相位和有效值。因此采用 正弦量 复数 变换的思想

上 页

下 页

3. 正弦量的相量表示
造一个复函数
?

无物理意义

F (t ) ?

2 Ie

j(w t ?Ψ )

2 Icos(wt ? Ψ ) ? j 2 Isin( wt ? Ψ )

对 F(t) 取实部 Re[ F (t )] ?

2 Icos(w t ? Ψ ) ? i (t )
是一个正弦量 有物理意义
j( w t ?Ψ )

结论 任意一个正弦时间函数都
有唯一与其对应的复数函数。

i?

2 Icos(w t ? Ψ ) ? F (t ) ?

2 Ie

上 页

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F(t) 还可以写成

复常数
jy

F (t ) ? 2 Ie e ? F(t) 包含了三要素:I、 ? 、w, 复常数包含了两个要素:I , ? 。

jwt

?e jwt 2I
正弦量对 应的相量

i (t ) ?
注意

2 I cos( w t ? Ψ ) ? I ? I ? Ψ
相量的模表示正弦量的有效值

?

相量的幅角表示正弦量的初相位
上 页 下 页

同样可以建立正弦电压与相量的对应关系:
u (t ) ? 2U cos(w t ? θ ) ? U ? U?θ
i ? 141.4 cos(314t ? 30 )A
o
?

例1 已知

u ? 311.1cos(314t ? 60 )V
o

试用相量表示i, u . 解
I ? 100?30 A,
o
?

?

U ? 220? ? 60 V
o
?

?

例2


已知 I ? 50?15 A, f ? 50Hz .

试写出电流的瞬时值表达式。
i ? 50 2cos( 314t ? 15 ) A
?

上 页

下 页

? 相量图

在复平面上用向量表示相量的图

i (t ) ?

? 2 Icos( ω t ? Ψ ) ? I ? I?Ψ

u (t ) ?

? 2Ucos(w t ? θ ) ? U ? U?θ
+j
?

U
?

?

?

I
+1

上 页

下 页

4. 相量法的应用
①同频率正弦量的加减
u1 (t ) ? u2 (t ) ? 2 U1 cos(w t ? Ψ 1) ? Re( 2 U 1 e
?
?

?

jw t

) )
jwt
?

2 U 2 cos(w t ? Ψ 2) ? Re( 2 U 2 e
jwt
? ?

jw t

u (t ) ? u1 (t ) ? u2 (t ) ? Re( 2 U 1 e ? Re( 2 U 1 e
jwt

) ? Re( 2 U 2 e
?

)
jwt

?

?

2U 2 e

jwt

) ? Re( 2 (U 1 ? U 2 )e

)

相量关系为:

? ? ? U ? U1 ? U 2

? U

结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量
的加减运算。
上 页 下 页

i1 ? i2 = i3
? ? ? I1 ? I 2 ? I 3



u1 (t ) ? 6 2cos(314t ? 30 ) V
?

o ? U1 ? 6?30 V o ? U 2 ? 4?60 V

u2 (t ) ? 4 2cos(314t ? 60 ) V
o

? ? U ? U ? 6?30? ? 4?60? ? ? U 1 2
? 5.19 ? j3 ? 2 ? j3.46 ? 7.19 ? j6.46

? 9.64?41.9 V
o

? u (t ) ? u1 (t ) ? u2 (t ) ? 9.64 2cos( 314t ? 41.9 ) V
o

上 页

下 页

借助相量图计算
o ? U1 ? 6?30 V o ? U 2 ? 4?60 V

+j
? U2
60
?

? U
? U1
30 41.9
?

+j
? U1

? U

? U2
60
?
?

?
?

+1

30 41.9

+1 首尾相接
上 页 下 页

②正弦量的微分、积分运算

i?

? 2 I cos(w t ? y i ) ? I ? I?y i
di dt ? d dt Re

微分运算 积分运算

?

?e jw t ? Re 2I

?

?

? ? jw e jw t 2I

?

? idt ? ? Re

?
2

? 2 Ie

jw t

?

? ? I jw t ? dt ? Re? 2 e ? jw ? ?

di dt

? ? jw I ? w I y i ? π

? idt ?

? I jw

?

I

w

yi ? π

2

上 页

下 页



i(t) + R L u(t) C -

i (t ) ?

2 I cos(w t ? y i )

u (t ) ? Ri ? L

di dt

?

? idt C
? I jwC

1

? ? ? 用相量运算: U ? R I ? jwLI ?

相量法的优点

①把时域问题变为复数问题; ②把微积分方程的运算变为复数方程运算; ③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
上 页 下 页

注意 ① 正弦量
时域 正弦波形图

相量 频域
相量图

②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变 线性电路。 不 适 w1 用 w 非 线 线 w2 线性 性 性

③相量法用来分析正弦稳态电路。
上 页 下 页

8.4
i(t) + uR(t) ?

电路定理的相量形式
时域形式: i (t ) ?

1. 电阻元件VCR的相量形式
2 I cos(wt ? Ψ i )
2 RI cos(wt ? Ψ i ) UR ?
? U R ? RI?Ψ i
u

R

uR (t ) ? Ri (t ) ?
? 相量形式: I ? I?Ψ i

I

+
?

UR

R 相量关系:

? ? UR ? R I

-

相量模型

UR=RI 有效值关系 ?u=?i 相位关系
上 页 下 页

波形图及相量图 pR uR

? UR

? I

URI
0

i
wt

?u=?i

同 相 位

pR ? uR i ? 2U R 2 I cos (ω t ? Ψ i ) 瞬时功率
2

? U R I [1 ? cos 2(ω t ? Ψ i )]
瞬时功率以2w交变,始终大于零,表 明电阻始终吸收功率
上 页 下 页

2. 电感元件VCR的相量形式
i(t) 时域形式: L uL (t ) ? L
i (t ) ? 2 I cos(w t ? ψi )

+ uL(t) ? I
+
?

? ? 2wL I sin(w t ? Ψ i ) dt π ? 2w L I cos(w t ? Ψ i ? ) 2 相量形式: ? ? I ? I?Ψ U ? w LI Ψ ? π 2
i L i

di (t )

UL

-

jw L ? ? ? 相量关系: U ? jwL I ? jX I L L
有效值关系: U=w L I

相量模型

相位关系:?u=?i +90°
上 页 下 页

感抗和感纳

XL=wL=2?fL,称为感抗,单位为? (欧姆) BL=1/w L =1/2?fL, 称为感纳,单位为 S
感抗的性质 XL ①表示限制电流的能力; ②感抗和频率成正比。
w ?0 (直流) X L ? 0, 短路; , w ? ?, X L ? ?, 开路;

w
相量表达式

? ? ? U ? jX L I ? jwLI ,
? I ? ? ? ? j 1 U ? ? jB U ? ? U L jwL wL
上 页 下 页

1

波形图及相量图 uL 0 pL i 2? w t
? UL

电压超前 电流900

? I

?i

功率

pL ? uLi ? U Lm I m cos(wt ? Ψ i ) sin(w t ? Ψ i ) ? U L I sin 2(w t ? Ψ i )

瞬时功率以2w交变,有正有负,一周期内刚 好互相抵消,表明电感只储能不耗能。
上 页 下 页

3. 电容元件VCR的相量形式
iC(t)
+ u(t) ? IC

时域形式: u (t ) ?
iC (t ) ? C du (t )

2U cos(wt ? Ψ u )

C

dt π ? 2wCU cos(w t ? Ψ u ? ) 2 相量形式:

? ? 2wCU sin(w t ? Ψ u )

1 jωC

? ? U ? U?Ψ u I C ? wCU Ψ u ? π 2

+ ? U -

1 ? 相量关系: ? ? U ? ?j I ? ? jX C I wC

相量模型

有效值关系: IC=w CU 相位关系: ?i=?u+90°
返 回 上 页 下 页

容抗与容纳

XC=1/w C, 称为容抗,单位为 ?(欧姆) B C = w C, 称为容纳,单位为 S
|XC| 容抗和频率成反比

w?0, |XC|?? 直流开路(隔直) w ?? ,|XC|?0 高频短路
w
? ? ? jX I ? ? j 1 I ? ? U C wC ? ? ? I ? jB U ? jwCU
C

相量表达式

上 页

下 页

波形图及相量图

电流超前 电压900

iC

pC u

? IC
?u

? U

0

2?

wt

功率 pC ? uiC ? 2UIC cos(ω t ? Ψ u ) sin( ω t ? Ψ u )
? UIC sin 2(ω t ? Ψ u )

瞬时功率以2w交变,有正有负,一周期 内刚好互相抵消,表明电容只储能不耗能。
上 页 下 页

4. 基尔霍夫定律的相量形式
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式 来进行计算。因此,在正弦电流电路中,KCL和 KVL可用相应的相量形式表示:

? i(t ) ? 0

? i(t ) ? ? Re
? ?I ? 0 ? ?U ?0

jw t ? ? 2 ?I1 ? I 2 ? ?? e ? 0

? u (t ) ? 0

表明 流入某一结点的所有正弦电流用相量表示
时仍满足KCL;而任一回路所有支路正弦电压用 相量表示时仍满足KVL。
上 页 下 页

例1 试判断下列表达式的正、误。
1. U ? w Li u I
2. i ? 5 cosw t ? 5?0
0

? 1 UC 5. ? jw C ? ? IC jwC

? ? 3. I m ? jw CU m Um

? ? 6. U L ? jw LI L

? UL Um ? 4. X L ? ? I I
L

L 7. u ? C

di dt

m

上 页

下 页

例2
i +

已知 u(t ) ? 120 2 cos( 5t ), 求 : i (t )

15?
4H

0.02F

_ u

相量模型

? I +
_
? U

-j10?

15?

? I1

? I2

j20? ? I
3



? ? 120?00 U
jX L ? j4 ? 5 ? j20?

? jX C ? ? j

1 5 ? 0.02

? ? j10?

上 页

下 页

? ? ? ? I ? IR ? IL ? IC ?

? U R

?

? U jX L

?

? U ? jX C

? 1 1 1 ? ? ? 120? ? ? ? ? 15 j 20 j10 ? ? ? 8 ? j 6 ? j12 ? 8 ? j 6 ? 10?36.9 A
0

i(t ) ? 10 2 cos( 5t ? 36.9 )A
0

? I +
_
? U

-j10? 15?

? I1

? I2

j20? ? I
3

上 页

下 页

例3

已知 i (t ) ? 5 2 cos(10 t ? 15 ), 求 : uS (t )
6 0

i
+ 5? uS 0.2?F _ 解
0 ? I ? 5?15

? I

相量模型

+ _
? U

5?

-j5?
? ? I ,U R

? jX C ? ? j

1 10 ? 0.2 ? 10
6 ?6

? ? j5?

? ? U ? U ? 5?150 ?5 ? j5? ? ? US R C ? 5?15 ? 5 2? ? 45 ? 25 2? ? 30 V
0 0 0

? UC ? US
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