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2014上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷


2014 上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷
【说明】解答本试卷不得使用计算器
一、填空题(本题满分 60 分,前 4 题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1. 给定正实数 a, b(a ? b) , 两点 ( a ? b , 0), (? a ? b , 0) 到直线
2 2 2 2

x cos ? y sin ?

? ?1的 a b

距离乘积是

__

. ____ . .

2.已知线段 AB、CD 的长分别为 a, b(a ? b ? 0) ,若线段 AB、CD 分别在 x 轴、y 轴上滑 动,且使得 A、B、C、D 四点共圆,则这些圆的圆心轨迹方程是 3.若 x ? (?1,1) 时, f ( x) ? x 2 ? ax ?

a 恒为正值,则实数 a 的取值范围是 2 xn 2 (n ? 1, 2,3,?) ,则 4.数列 { xn } 定义如下: x1 ? , xn ?1 ? 3 2(2n ? 1) xn ? 1
x1 ? x2 ? ? ? x2014 =
2
12


2

5.不等式 log 1 ( x ? 2 x ? 3) ? x ? 2 x ? 16 的解集是 6 . 设 a1 , a2 ,? , a2014 是 正 整 数

. 的 一 个 排 列 , 记 .

1 , 2 , … , 2014

Sk ? a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1, 2,?, 2014 ,则 S1 , S2 , ?, S2014 中奇数个数的最大值是
则所有取出的中间数的和等于 .

7.设 S ? {1, 2,?,11} ,对S的每一个7元子集,将其中的7个数从小到大排列,取出中间数, 8.将90000个五位数10000,10001,……,99999打印在卡片上,每张卡片上打印一个五位 数,有些卡片上所打印的数,如19806倒过来看是90861,有两种不同的读法,会引起混淆, 则不会引起混淆的卡片共有 二、解答题 9. (本题满分14分)在锐角三角形ABC中,已知 ?A ? 75?, AC ? b, AB ? c ,求三角形ABC 的外接正三角形面积的最大值. 张.

1

10. (本题满分14分)设n是给定的大于2的整数.有n个外表上没有区别的袋子,第k个袋中 有k个红球,(n-k)个白球,k=1,2,…,n.把这些袋子混合后,任选一个袋子,并且从中连续取 出三个球(每次取出不放回) ,求第三次取出的是白球的概率.

11. (本题满分 16 分)正实数 x, y, z 满足:
2 ? z ? min{x, y} ?5 ? 4 xz ? 15 ? ? yz ? 1 5 ?



1 2 3 (这里, min{x, y} 表示实数中的较小者. ) ? ? 的最大值. x y z

12. (本题满分16分)求 1, 2,?, n 的排列 a1 , a2 ,? , an 的个数,使得 | ak ? k |?

n ?1 对正整数 2

k ? 1, 2,?, n 成立.

解答参考: 1. b
2

2. x ? y ?
2 2

a 2 ? b2 4

3. 0 ? a ? 2 8. 88060 9.

4.

4028 4029

5. (?5, ?3) ? (1,3)

6. 1511

7. 1980 11. 13

3 2 (b ? c 2 ? 2bc) 3
n ?1 2

n ?1 10. 2n

12. n为奇数时,共有 2

个;n为偶数,共有1个.

2


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