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专题30 空间角、空间距离


专题 30 空间角、空间距离
姓名:
一、选择题 1 .在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,面对角线 A1C1 与体对角线 B1 D 所成角等于

分数:

D1 C1 A1



A. 30 ? 成的角的余弦值是 A. C.

B. 45 ?

C. 60 ?

D. 90 ?

E 是 AD 的中点,则异面直线 C1E 与 BC 所 2 .在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,


D

B1


C

10 5
1 3

10 10 2 2 D. 3
B.

A

D1 G D

B

C1

F A1 D B1 H D B C

3 .如图, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E、F、G、H 分别是 AA1、A1D1、

A1B1、BB1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( A.30° C.60° B.45° D.120°


E D A D

4 .如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 2 , AA 1

? 1,
D1

则 BC1 与平面 BB1 D1 D 所成角的正弦值为


A1 D


B1

C1

A.

10 5 2 5 5

B.

15 5 6 3

C

C.

D.

A

B

5 .在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E、F 分别是 A1D1、C1D1 的中点,则异面直线 AB1

A B ( A1 E C ) C1 F

D

与 EF 所成的角的大小为 A.60° B.90° C.45° D.30° B1

D1

6 .在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M , N 分别为 D1C1 和 AB 的中点,则 A1 B1 与平面 A1 NCM 所成的角为

A.

?
4

B.

?
3

C. arctan 2

D. arctan 2

7 .正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,二面角 A1—BC1—D1 的正切值为





A.

1 2

B.

2 2

C.1

D. 2

8 .长方体 ABCD—A1B1C1D1中,E、F 分别为 C1B1,D1B1的中点,且AB=BC,AA1=2AB,
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则 CE 与 BF 所成角的余弦值是 A.

( C.



10 10

B.

3 10 10

34 34

D.

5 34 34

9 .已知直线 a,b 的方向向量分别为向量a和向量b ,平面 α 的法向量为向量 c ,若 a ? b ,且向量 a 与向

量 c 成 60 角,则直线 b 与平面 α 所成角的度数为( A. 60
?

?



D1
B. 30
?

C. 90

?

C1 B1

D.不确定

A1

10.如图,正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1

? 2 AB ,则异面直线 A1B 与 AD1 所成
D (


角的余弦值为

C

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

A

B

2 AB , E 为 AA1 重点,则异面直线 BE 与 CD1 所形成角的余弦 11.已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1=
值为 ( A. ) B.

10 10

1 5

C.

3 10 10

D.

3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5


E 是棱 A1B1 的中点,则 A1B 与 D1E 所成角的余弦值为 ( 12.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
A.

5 10

B.

10 10

C.

5 5

D.

10 5

13. 如图, 正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, E、 H、 G 分别为棱 A 1 B1 、CC1 、B1C1

的中点,则异面直线 AE 和 GH 所成角的余弦值为( A. 2 5 B. 3 5 ) C. 10 5

) D. 5 5

14.右图是一个正方体的表面展开图,A.B.C 均为棱的中点,D 是顶点,则在正方体中,异面直线 AB

和 CD 的夹角的余弦值为( A. B. C. D.
2 5 3 5
10 5

B A

C D

5 5

15.将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,若 点 P 满足

1 1 BP = BA - BC ? BD ,则| BP | 2 的值为 2 2
第 2 页 共 4 页





A.

3 2

B.2

C.

10 ? 2 4

D.

9 4

二、填空题

???? ???? 16.在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,向量 BA1 与向量 AC 所成的角为
17.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是 DD1 的中点,O 是底面正方形



ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 成角的大小 等于______________.
18.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AA1=AB=4,AD=2,E、F、G
A1 D
1

C1 B1 E G

分别是 DD1、AB.CC1 的中点则直线 A1E,FG 所夹的角的余弦 值为
D A

C F B

,D 在棱 BB1 上, 19. 如图, 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 已知 AB ? 1

且 BD ? 1 ,若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ? , 则 sin ? ? .

20.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为 DD1 的中点, O 为底面 ABCD 的中心, P 为棱 A1 B1 上任意

一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角是
21 .若 AB 与 CD 是异面直线,向量 AB ?

??? ?

? ? ??? ? ? ??? ? ??? a , e 是与 CD 同向的单位向量,则 AB 在 CD 上的射影长
D1 A1 B1 C1



; (用 a, e 表示) ABCD-A1B1C1D1 中 , AB=AD=AA1=1 , . , BC ? 4 O? C 4
A

? ?

22 . 已 知 平 行 六 面 体

∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60? ,则| AC1 |=
23 . 空 间 四 边 形 OABC 中 ,

D

C B

O B? 6 ,



?AOB ? ?AOC ?

?
3

,则 cos < OA, BC >的值是

??? ? ??? ?

24.在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 3 , BC ? 2 , AA 1

? 1 ,一只蚂蚁从点 A 出发,沿长方体表面爬到 C1

点,其最短路线长为_________? 25 . 如图 , 在长方形 ABCD 中 , AB ? 2 , BC ? 1 , E 为 DC 的中点 , F 为线 段 EC ( 端点除外 ) 上一 动 点 . 现 将 ?AFD 沿 AF 折 起 , 使 平 面 ABD ? 平 面 ABC . 在 平面 ABD 内过点 D 作 DK ? AB , K 为垂足.设 AK ? t ,则 t 的取值范围是_____________.
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三、解答题 26.如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AB=1, AC ?

A1

C1

AA1 ? 3 ,∠ABC=60 0 .
B1

(Ⅰ)证明: AB ? AC ; 1 (Ⅱ)求二面角 A— AC 1 —B 的大小?

A

C

B
27.已知 a,b 是异面直线,A.C∈a,B.D∈b,AB⊥a,AB⊥b,AB=d,AC=m,BD=n,a、

b 所成角为 ? ,求 CD.
28. 如图, 平面 PAD⊥平面 ABCD, ABCD 为正方形, ∠PAD=90 , 且 PA=AD=2,
0

E、F、G 分别是线段 PA.PD.CD 的中点。 (1)求证:PB∥平面 EFG; (2)求异面直线 EG 与 BD 所成的角;

29 . 已 知 四 棱 锥 S ? A B C D 的 底 面 A B C D是 直 角 梯 形 , AD ∥ BC ,

S

∠ ABC =90 ? ,

SA ⊥ 平 面 A B C D, SA ? AB ? BC ? 2 AD , 点 E 在 棱 SC 上 , 且
AE ⊥ SD ,
(Ⅰ)试确定点 E 的位置; (Ⅱ)求二面角 S ? BE ? D 的正弦值。
30.如图,在 Rt ?ABC 中, AB ? BC ? 4 ,点 E 、

E

A
D
B
A

C
P

F 分别在线段 AB 、 AC 上,且 EF // BC , 将 ?AEF 沿 EF 折起到 ?PEF 的位置 , 使
? 得二面角 P ? EF ? B 的大小为 60 .

E

F

(Ⅰ)求证: EF ? PB ; (Ⅱ)当点 E 为线段 AB 的中点时,求 PC 与 平面 BCFE 所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥 P ? EFCB 体积的最大值.

E B
B C

F C

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