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抛物线重点题型整理


抛物线 一.抛物线的定义 1.若 是定直线 外的一定点,则过 C.双曲线一支 的距离比它到直线 B. C. 与 相切圆的 圆心轨迹是( D.抛物线 的距离小 1,则 D. ( ) 点的轨迹方程是( ) )

A.圆 1.若点 A.

B.椭圆 到点

3 若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小 2,则点 P 的轨迹方程为 A.x2=12y B.y2=12x C.x2=4y D. x2=6y 4. 已知点 点的坐标为( , ) . 是抛物线 的焦点, 点 在抛物线上移动时,

取得最小值时

A. ( 0,0)

B.

C. (

D. (2,2) )的焦点的距离是 5,则 =_________.

5.已知点(-2,3)与抛物线 6.在抛物线 7 .已知抛物线 =________. 8.抛物线 的焦点弦的端点为 上有一点 (

,它到焦点的距离是 20,则 )上一点 到焦点

点的坐标是_________. 的距离等于 ,则 =_______ ,



,且

,则

=_______.

9.过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那么|AB|= ( ) A.8 B.10 C.6 D.4 10.在抛物线 二.抛物线的几何性质 1.抛物线 的准线方程是( ) 上有一点 ,它到焦点的距离是 20,则 点的坐标是_________.

A. 2.焦点在直线

B.

C.

D.

的抛物线的标准方程是________________.

3.抛物线

的焦点坐标是(



A. 4.抛物线 A.2.5 5.抛物线

B.

C. )

D.

的焦点到准线的距离是( B.5 C.7.5 的焦点位于( D.10 )

A. 6.抛物线

轴的负半轴上 (

B.

轴的正半轴上 )

C.

轴的负半轴上

D.

轴的正半轴上

)的焦点坐标为(

A. 7.抛物线

B.

C. 的焦点坐标是(

D. ) .

时为



时为

A. 三.求抛物线方程

B.

C.

D.

1.已知原点为顶点, A.

轴为对称轴的抛物线的焦点在直线 B. C. D.

上,则此抛物线的方程是(



2.抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上点(-5,m )到焦点距离是 6,则抛物线的方程是 ( ) A. y 2=-2x B. y 2=-4x C. y 2=2x D. y 2=-4x 或 y 2=-36x 3.与椭圆 A. B. 有相同的焦点,且顶点在原点的抛物线方程是( C. D. )

4.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于 5,求抛物 线的方程和 m 的值.

5.求顶点在原点,以

轴为对称轴,其上各点与直线

的最短距离为 1 的抛物线方程.

6.平面内过点 A(-2,0) ,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 ( 2 A. y =-2x B. y 2=-4x C.y 2=-8x D.y 2=-16x



7.已知动圆 M 与直线 y =2 相切,且与定圆 C: x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.(12 分)
1 x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 (0,3a) ,求线段 AB 中点 M 的轨迹的方 2

8.动 直线 y =a,与抛物线 y 2 ? 程.

9.已知点 方程.

和抛物线

上的动点

,点

分线段



,求点

的轨迹

四.直线与抛物线的关系 1.过(0,1)作直线,使 它与抛物线 仅有一个公共点,这样的直线有( )条

A.1 2.设抛物线 而

B.2 (

C.3

D.4 )与直线 、 、 ( )有两个公共点,其横坐标分别是 关系是( ) 、 ,

是直线与

轴交点的横坐标,则

A.

B.

C.

D. ( )

3.抛物线 y ? x 2 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短的点的坐标是 A. (1,1)

1 1 3 9 B. ( , ) C. ( , ) D. (2,4) 2 4 2 4 4.过点 M(2,4)作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 ( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条 5.过抛物线 y =ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q,则

1 1 ? 等于 p q

( B.
1 2a


4 a

A.2a 6.在抛物线

C.4a

D.

内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是________.

π 7 过抛物线 y2=x 的焦点 F 的直线 l 的倾斜角 θ≥4,直线 l 交抛物线于 A,B 两点,且点 A 在 x 轴上方,则|FA| 的取值范围是( ) 1 2 1 A(4,1+ 2 ] B. (4,1] 1 C .[ 4,+∞) 1 D.[2,+∞)

→ → → 8.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2,y1>0,y2<0)在抛物线上,且存在实数 λ,使AF+λBF= 0 , → 25 |AB|= 4 .求直线 AB 的方程;

答案: 抛物线 一.抛物线的定义 1.D 2.C 3 .A 4.D 5.4; 6. (18,12)或(18,-12) ;7. , ;

8.4 9. A 10. (18,12)或(18,-12) ; 二.抛物线的几何性质 1.D 2. 或 3.B 4. B 5.C 6.C 7.B

三.求抛物线方程 1.D 2. B 3.B 4. [解析]:设抛物线方程为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) ,则焦点 F( ?
p ,0 ) ,由题意可得 2

?m 2 ? 6 p ? m ? ?2 6 , 故所求的抛物线方程为 x 2 ? ?8 y , m的值为? 2 6 ? ,解之得 ?m ? 2 6 或 ? ? ? 2 p 2 ?p ? 4 ?p ? 4 ? m ? (3 ? ) ? 5 2 ?

5.依题设可设抛物线方程为 此抛物线上各点与直线 1 的直线 相切.



) 下方而且距离为

的最短距离为 1,此抛物线在直线







所求抛物线方程为: 6. C 7.[解析]:设动圆圆心为 M(x,y) ,半径为 r,则由题意可得 M 到 C(0,-3)的距离与到直线 y=3 的距 离相等,由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以 C(0,-3)为焦点,以 y=3 为准线的一条抛物 线,其方程为 x 2 ? ?12y .
?x ? a2 8. [解析]:设 M 的坐标为(x,y) ,A( 2 a , a ) ,又 B (0,3a) 得 ? ? y ? 2a
2

y2 消去 a ,得轨迹方程为 x ? ,即 y 2 ? 4x 4

y O A' A x B

9.设 即

, ,

, ,而点 ,即所求点

, 在抛物线 的轨迹方程为 上,



四.直线与抛物线的关系 1.C 2.C 3. A 4. C 5. C 6. ;7. A

→ → → 8 解:抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1 ,∵AF+λBF= 0 ,∴A,B,F 三点共线. → 由抛物线的定义,得|AB|= x1+x2+2. · y1-y2 设直线 AB:y=k(x-1),而 k=x -x ,x1>x2,y1>0,y2<0,∴k>0
1 2

2(k2+2) ? ? 2(k2+2) 25 x1+x2= k2 → 2 2 2 2 得 k x -2(k +2)x+k =0,∴? ,|AB|=x1+x2+2= k2 +2= 4 | ? ?x1x2=1 16 4 4 ∴k2= 9 · 从而 k=3,故直线 AB 的方程为 y=3(x-1),即 4x-3y-4=0·
?y=k(x-1) 由?y2=4x ?


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