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变量之间的关系


变量之间的关系

考点分析:本章的内容不会太难,以填空选择考核为主,偶有实际问题的解决(即应用题) ! 占 5—10 分值;

表示变量间关系的三大方法: 一. 列表法。 采用数表相结合的形式,运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要 选取能代表自变量的一些数据, 并按从小到大的顺序列出,再分别求出因变量的 对应值。 列表法最大的特点是直观,可以直接从表中找出自变量与因变量的对应 值,但缺点是具有局限性,只能表示因变量的一部分。

例 在全国抗击“非典”的斗争中,黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战,终 于研制出一种治疗非典型肺炎的抗生素。据临床观察:如果成人按规定的剂量注 射这种抗生素,注射药液后每毫升血液中的含药量(微克)与时间(分钟)之间 的关系近似地满足下表: 时间 (分钟) 含药量 (微克) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

0

2

4

6

5.7

5.2

4.8

4.4

4

3.6

3.2

2.8

2.4

2

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)当注射药液 60 分钟后血液中含药量是多少? (3)据临床观察:每毫升血液中含药量不少于 4 微克时,控制“非典”病情是有 效的。 如果病人按规定的剂量注射该药液后,那么这一次注射的药液经过多长时 间后控制病情开始有效?这个有效时间有多长?

二. 关系式法。 关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式,利用关系式,可以根据 任何一个自变量的值求出相应的因变量的值, 也可以根据已知因变量的值求出相 应的自变量的值。

例 已知梯形上底的长是 x,下底的长是 15,高是 8,梯形面积为 y。

1

(1)梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是什么? (2)用表格表示当 x 从 10 变到 20 时(每次增加 1),y 的相应值; (3)当 x 每增加 1 时,y 如何变化?说说你的理由; (4)当 x =0 时,y 等于什么?此时它表示的什么? 三. 图象法。 图象法是用图象来表示两个变量之间的关系,通常用横轴上的点表示自变 量, 用纵轴上的点表示因变量, 用坐标表示每对自变量和因变量的对应值所在位 置。 图象法的特点是形象直观, 可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某 些性质,但是根据图象往往难以得到准确的对应值。 要从图象中获取信息, 必须结合具体情境理解图象上点的意义, 一要看横轴、 纵轴分别表示哪个变量,二要看该点所在的水平方向、竖直方向的位置。

2

路程
2 ○
1 ○

速度
2 ○ 3 ○
1 ○

3 ○

时间

时间

汽车的“路程-时间”图像 1 表示汽车由静止均速向前走 ○ 2 表示汽车停止运动 ○ 3 表示汽车均速往回走,回到起点。 ○

汽车的“速度-时间”图像 1 表示汽车由静止均加速运动 ○ 2 表示汽车保持一定的速度运动 ○ 3 表示汽车均减速运动,最后停止运动! ○

练习一:1 . 汽车速度与行驶时间之间的关系可以用图象来表示,下图中 A、B、C、D 四个 图象,可以分别用一句话来描述: (1)在某段时间里,速度先越来越快,接着越来越慢( ) (2)在某段时间里,汽车速度始终保持不变。 ( ) (3)在某段时间里,汽车速度越来越快。 ( ) (4)在某段时间里,汽车速度越来越慢。 ( )



如图是某天温度变化的情况。

(1) 上午 9 时的温度是多少? 12 时呢? (2) 这一天的最高温度是多少?是在几时达到的?最低温度呢?
3

(3) 这一天的温差是多少?从最低温度到最高温度经过了多长时间? (4) 在什么时间范围内温度在上升?在什么时间范围内温度在下降? (5) 图中 A 点表示的是什么?B 点呢?

一、变量、自变量、因变量 1、在某一变化过程中,不断变化的量叫做变量。 2、如果一个变量 y 随另一个变量 x 的变化而变化,则把 x 叫做自变量,y 叫做 因变量。

二、图像注意: a.认真理解图象的含义,注意选择一个能反映题意的图象; b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义(坐标) ,特别是图像的起 点、拐点、交点。 三、事物变化趋势的描述 对事物变化趋势的描述一般有两种: 1. 随着自变量 x 的逐渐增加(大) ,因变量 y 逐渐增加(大) (或者用函数语言 描述也可:因变量 y 随着自变量 x 的增加(大)而增加(大) ) ; 2. 随着自变量 x 的逐渐增加(大) ,因变量 y 逐渐减小(或者用函数语言描述也 可:因变量 y 随着自变量 x 的增加(大)而减小). 注意:如果在整个过程中事物的变化趋势不一样,可以采用分段描述.例如在什 么范围内随着自变量 x 的逐渐增加(大) ,因变量 y 逐渐增加(大)等等. 四、估计(或者估算) 对事物的估计(或者估算)有三种: 1.利用事物的变化规律进行估计(或者估算).例如:自变量 x 每增加一定量, 因变量 y 的变化情况;平均每次(年)的变化情况(平均每次的变化量=(尾数 -首数)/次数或相差年数)等等; 2.利用图象:首先根据若干个对应组值,作出相应的图象,再在图象上找到 对应的点对应的因变量 y 的值; 3.利用关系式:首先求出关系式,然后直接代入求值即可.

4

5

第六章 变量之间的关系 练习题
一、选择题

1、 表格列出了一项实验的统计数据, 表示皮球从高度 d 落下时弹跳高度 b 与下落高 d 的 关系,试问下面的哪个式子能表示这种关系(单位 cm ) ( )

A、b ? d 2
C 、 b ? d ? 25

B 、 b ? 2d

d
b

50 25

80 40

100 50

150 75

D、b ?

d 2

2、弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度 y(cm) 与所挂的物体的重量 x(kg) 间有下面的关系: x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是( ) A. x 与 y 都是变量,且 x 是自变量,y 是因变量 B. 弹簧不挂重物时的长度为 0cm C. 物体质量每增加 1kg,弹簧长度 y 增加 0.5cm D. 所挂物体质量为 7kg 时,弹簧长 度为 13.5cm 3、在关系式 y=3x+5 中,下列说法:①x 是自变量,y 是因变量;②x 的数值可以任意 选择;③y 是变量,它的值与 x 无关;④用关系式表示的不能用图象表示;⑤y 与 x 的 关系还可以用列表法和图象法表示,其中说法正确的是( ) A、①②⑤ B、①②④ C、①③⑤ D、①④⑤
6

4、张大伯出去散步,从家走了 20 min ,到了一个离家 900m 的阅报亭,看了 10 min 报 纸后,用了 15 min 返回到家,如图 1 图象中能表示张大伯离家时间与距离之间关系的 是( )
距离?m ? 900

距离?m ?
900

0

10 20 30 40 50 时间 ?min?

0

A
距离?m ? 900

10 20 30 40 50 时间 ?min?

B
距离?m ? 900

0

10 20 30 40 50 时间 ?min?

0

10 20 30 40 50 时间 ?min?

C 图1

D

二、填空题 1、表示函数之间的关系常常用 三种方法. 2、重庆市家庭电话月租费为 25 元,市内通话费平均每次为 0.2 元.若莹莹家上个月共打

出市内电话 a 次,那么上个月莹莹家应付费 y 与 a 之间的关系为 你家上个月共打出市内电话 100 次,那么你家应付费 元. 3、某城市大剧院地面的一部分为扇形,观众席的座位按下列方式设置: 1 2 3 4 排 数 ? 50 53 56 59 座位数 ? 上述问题中,第五排、第六排分别有 个、 个座位;第 n 排有 4.如图,都 是由边长为 1 的正方体叠成的图形.
[来源:学。科。网]

,若

个座位.

(1)

(2)

(3)

(4)

例如第(1)个图形的表面积为 6 个平方单位,第(2)个图形的表面积为 18 个平方 单位,第(3)个图形的表面积是 36 个平方单位, 。依此规律。则第(5)个图形的表面 积 个平方单位. 5.下面是用棋子摆成的“上”字型图案:

第一个“上”字

第二个“上”字 第 5 题图

第三个“上”字

7

按照以上规律继续摆下去 , 通过观察, 可以发现: (1) 第五个 “上” 字需用 棋子; (2)第 n 个“上”字需用 枚棋子. 三、简答题



1、下面的统计图反映了某 中国移动用户 5 月份手机的使用情况,该用户的通话 对象分为三类:市内电话,本地中国移动用户,本地中国联通用户. (1)该用户 5 月份通话的总次数为 次. (2)已知该用户手机的通话均按 0.6 元/分钟计费,求该用户 5 月份的话费(通 话时间不满 1 分钟按 1 分钟计算。例如,某次实际通话时间为 1 分 23 秒,按通 话时间 2 分钟计费,话费为 1.2 元) ; (3)当地中国移 动公司推出了名为“越打越便宜”的优惠业务,优惠方式为: 若与其它中国移动用户通话,第 1 分钟为 0.4 元,第 2 分钟为 0.3 元。第 3 分钟 起就降为每分钟 0.2 元,每月另收取基本费 10 元,其余通话计费方式不变。如 果使用了该业务,则该用户 5 月份的话费会是多少?
通话次数
市话 26 移动

联通 15 14

9

7 4 5 2 1 2 1 4

1

2

3

通话时间 (分钟)

2.某公司有 2 位股东,20 名工人. 从 2006 年至 2008 年,公司每年股东的总利 润和每年工人的工资总额如图 2 所示.

第 1 题图

图 2 (1)填写下表:

年 份 工人的平均工资/元 股东的平均利润/元

2006 年 5 000 25 000

2007 年

2008 年

(2)假设在以后的若干年中,每年工人的工资和股东的利润都按上图中的速度增长, 那么到哪一年,股东的平均利润是工人的平均工资的 8 倍?
8

3、某中学校长决定带领市级“三好学生”去北 京旅游,甲旅行社承诺: “如果 校长买全票 一张,则学生可享受半价优惠 ” ;乙旅行社承诺: “包括校长在内所 有人按全票的 6 折优惠” .若全票价为 240 元 (1)设学生数为 x,甲、乙旅行社收费分别为 y甲 (元)和 y乙 (元) ,分别写出 两个旅行社收费的表达式. (2)哪家旅行社收费更优惠?

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