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等比数列的通项公式


等比数列的 通项公式

复习数列的有关概念1

按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项(或首项)用 a1 表示,

第2项用 a 2 表示,…, 第n项用 an 表示,…, 数列的一般形式可以写成: a1 , a 2 , a3 , …, an ,

…,

简记作:

?an ?

复习数列的有关概念2

如果数列 ?an ? 的第n项 an 与n之间的关 系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做 这个数列的通项公式。

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ??? an?1 ? an 叫做数列 ?an ? 的前n项和。
? S1 (n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)

复习等差数列的有关概念
定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数(指与n无关的数),这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。

an?1 ? an ? d (是与 无关的数或式子) n 当d≠0时,这是 等差数列 ?a ? 的通项公式为 n 关于n的一个一 an ? a1 ? (n ?1)d 次函数。

如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列, a?b 那么A叫做a与b的等差中项。 A? 等差数列 an 的前n项和 2

? ?

Sn ? Sn

n(a1 ? an ) 2 n(n ? 1) ? na ? d 1 2

Sn

n(n ? 1) ? n an ? d 2

当公差d=0时,Sn ? na1 , 当d≠0时, n ? ? d n2 ? (a1 ? d )n , S 2 2 是关于n的二次函数且常数项 为0.

等比数列的有关概念 因为x的正负性不确
定,所以该数列的 观察数列 ( 1) 2,4,8,16,32,64. 公比 q=2 递增数列 增减性等尚不能确 (2) 定。 1,3,9,27,81,243,… 公比 q=3 递增数列

(3) (4)
(5) (6)

1, x, x , x , x ,?( x ? 0)公比 d= x
2 3 4
1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

1 公比 q= 递减数列 2

5,5,5,5,5,5,… 1,-1,1,-1,1,…

公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列

定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等 于同一个常数(指与n无关的数),这个数列就叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。

an?1 ? q(是与n无关的数或式子 , 且q ? 0) an
以上6个数列的公比分别为…

等比数列的通项公式
如果一个数列

a1 , a 2 , a3 , …,an , …,

是等比数列,它的公比是q,那么

a2 ? a1 ? q a3 ? a2 ? q ? a1 ? q 2
a4 ? a3 ? q ? a1 ? q 3 a5 ? a4 ? q ? a1 ? q
4

由此可知,等比数列

???a ?? ?
n 的通项公式为

an ? a1 ? q n ?1

当q=1时,这是 一个常函数。

an ? 0

等比数列的图象1
20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0
● ●

(1)数列:1,2,4,8,16,…






1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

等比数列的图象2
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0 1 2 3


, (2)数列: 8,4,2,1


1 1 1 , , ,? 2 4 8

● ● ●



4

5

6



7

8

9

10

等比数列的图象3
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

(1)数列:4,4,4,4,4,4,4,…

等比数列的图象4
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
● ● ● ● ●

(1)数列:1,-1,1,-1,1,-1,1,…

1

2


3

4


5

6


7

8


9

10


等比中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列: (1)1,±3 9 , (3)-12, ±6 ,-3 (2)-1, ±2 ,-4 (4)1,±1 ,1

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项。

G ? ? ab

等比数列的通项公式例题1
例1 培育水稻新品种,如果第1代得到120粒种子,并且从第1代 起,以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子,到第5 代大约可以得到这种新品种的种子多少粒(保留两个有效数字)? 解:由于每代的种子数是它的 前一代种子数的120倍, 因此,逐代的种子数组成 等比数列,记为

?an ?

其中a1 ? 120, q ? 120, n ? 5
因此 a5 ? 120 ? 120 10 ? 2.5 ?10
5 ?1

an ? a1 ? q n ?1

答:到第5代大约可以得到 这种新品种的种子 2.5 ?101 0 粒.

等比数列的通项公式例题2
例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它 的第1项与第2项. 解: 用 ?an ? 表示题中公比为q的等比数列,由已知条件,有

解得

因此,

16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与8. 3

3 61 8 ? ? ? q ? 1a ? 2a 2 3 3 61 ? q , ? 1a 2 3

a3 ? 12, a4 ? 18 , ?a1q 2 ? 12 即? a1q 3 ? 18 ?

an ? a1 ? q

n ?1

等比数列的通项公式例题3
例3 某种电讯产品自投放市场以来,经过三次降价,单 价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平均每次降价的百 分率大约是多少(精确到1%)? n ?1 an ? a1 ? q 解:设平均每次降价的百分率是x, 那么每次降价后的单价应是降价前的(1-x)倍.
将原单价与三次降价后的单价依次排列,就组成一个依 (1-x)为的公比等比数列 an ,

若原价格 a1 ? 174, a4 ? 58, n ? 4, q ?为a,则降 1? x 因此, 价x后的价 1 格应为.693 1? x ? ?0 3 x ? 1 ? 0.693? 31% a-ax=a(1-x)
由已知条件,有

? ?

答:上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.

.1?4)x ?1( ?4 7 1 ? 8 5

1 3 , ? )x ?(得,后理整 1 3

3

等比数列的通项公式练习1
求下列等比数列的第4,5项: (1) 5,-15,45,…

an ? a1 ? q
5 ?1

n ?1

a4 ? 5? (?3) a4 ? 1.2? 2

4?1

? ?135 a5 ? 5 ? (?3) ,

? 405 .

(2)1.2,2.4,4.8,…
4?1

a5 ? 1.2 ? 25?1 ? 19.2. ? 9.6,
9 2 ?3? ? , a5 ? ? ? ? 32 3 ?4?
5?1

2 1 3 (3) , , ,? 3 2 8
2 ?3? a4 ? ? ? ? 3 ?4?
4 ?1

27 ? , 128
5?1

(4)
a4 ?

2 ,1,

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

2 ,? 2 4?1

1 ? , a5 ? 2

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

2 ? , 4

等比数列的通项公式练习2
已知等比数列 (1) 首项

?an ?
a1

: 能不能是零?

不能!!!
(2)公比q能不能是零?

不能!!!

等比数列的通项公式作业

祝同学们学习愉快,
人人成绩优异!

P 习题十八:,4. 1 2 3, , 57


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