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数学:第二章《平面向量》综合测试题(北师大版必修4)


1. 若 A(2,-1) ,B(-1,3) ,则 AB 的坐标是 A.(1,2) B.(-3,4) C. (3,-4) (
5 4 C. ( , ? ) k k

( D. 以上都不对 )

)

2.与 a=(4,5)垂直的向量是 A.(-5k,4k) B. (-10,2)

D.(5k,

-4k) ( )

3. △ABC 中, BC =a, AC =b,则 AB 等于 A.a+b 4.化简 B.-(a+b) C.a-b

D.b-a ( D. )

2 2 1 (a-b)- (2a+4b)+ (2a+13b)的结果是 5 15 3

1 1 A. a ? b 5 5

B.0

C.

1 1 a+ b 5 5

1 1 a- b 5 5

5. 已知 |p|= 2 2 ,|q|=3, p 与 q 的夹 角为 ( A.15 ) B. 15

? , 则 以 a=5p+2q,b=p - 3q 为邻边的平行四 边形的一条对 角线长 为 4

C. 16

D.14 ( )

6.已知 A(2,-2),B(4,3),向量 p 的坐标为(2k-1,7)且 p∥ AB ,则 k 的值为 A. ?
9 10

19 10 ???? ???? ???? ???? 7. 已 知 △ ABC 的 三 个 顶 点 , A 、 B 、 C 及 平 面 内 一 点 P 满 足 P A? P B? P C? A B , 则 点 P 与 △ ABC 的 关 系 是

B.

9 10

C. ?

19 10

D.

(

) B. P 在△ABC 的外部 D. P 是 AC 边上的一个三等分点
1 ,则线段 4

A. P 在△ABC 的内部 C. P 是 AB 边上的一个三等分点

8.已知△ABC 的三个顶点,A (1,5),B(-2,4),C(-6,-4),M 是 BC 边上一点,且△ABM 的面积是△ABC 面积的

AM 的长度是
A.5 B. 85
0

( C.
5 2

) D.
85 2

9.设 e1,e2 是夹角为 45 的两个单位向量,且 a=e1+2e2,b=2e1+e2,则|a+b|的值 ( A. 3 2 B.9 C. 18 ? 9 2 D. 3 2 ? 2 ( D.75
0

)

10.若|a|=1,|b|= 2 ,(a-b)⊥a,则 a 与 b 的夹角为 A.30
0

)

B.45

0

C.60

0

11.把一个函数的图象按向量 a=( ( ) A.y=sinx

? ? ,-2)平移后, 得到的图象对应的函数解析式为 y=sin(x+ )-2,则原函数的解析式为 3 6

B.y=cosx
??? ? ??? ?

C.y=sinx+2

D.y= -cosx ( )

12.在△ABC 中, AB =c, BC = a, CA =b,则下列推导中错误的是 A.若 a·b<0,则△ABC 为钝角三角形 C. 若 a·b=b·c,则△ABC 为等腰三角形

B. 若 a·b=0,则△ABC 为直角三角形 D. 若 c·( a+b+c)=0,则△ABC 为等腰三角形 .

13.在△ABC 中,已知 AB ? AC ? 4, 且 AB ? AC ? 8, 则这个三角形的形状是 第 1 页(共 4 页)

14.一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶, 同时河水的流速为 2km / h , 则船实际航行的速度的 大小和方向是 . .

15. 若向量 a ? (3,?2), b ? (?2,1), c ? (7,?4) ,现用 a、b 表示 c,则 c= 16.给出下列命题:①若 a +b =0,则 a=b=0; ②已知 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则
x ? x2 y1 ? y 2 1 AB ? ( 1 , ); 2 2 2
2 2

③已知 a,b,c 是三个非零向量,若 a+b=0,则|a·c|=|b·c| ④已知 ?1 ? 0, ?2 ? 0 ,e1,e2 是一组基底,a=λ 1e1+λ 2e2 则 a 与 e1 不共线,a 与 e2 也不共线; ⑤若 a 与 b 共线,则 a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,17-21 题每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.如图,ABCD 是一个梯形, AB // CD, AB ? 2 CD , M、 N 分别是 DC, AB 的中点,已知 AB ? a, AD ? b,试用 a、 b 表示 DC , BC 和 MN .
???? ?

???? ??? ?

D

M

C

A

N

B

18.设两个非零向量 e1、e2 不共线.如果 AB =e1+e2, BC ? 2e1+8e2, CD =3(e1-e2) ⑴求证:A、B、D 共线; ⑵试确定实数 k,使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线.

19.已知△ABC 中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC 边上的高为 AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点 D 与向量 AD 的坐标.

20.已知△ABC 的三个顶点为 A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求 AB 边上的中线 CM 的长;⑵在 AB 上取一点 P,使过 P 且平行与

BC 的直线 PQ 把 ?ABC 的面积分成 4:5 两部分,求 P 点的坐标.

21.已知 a、b 是两个非零向量,证明:当 b 与 a+λ b(λ ∈R)垂直时,a+λ b 的模取得最小值.

第 2 页(共 4 页)

22.已知二次函数 f(x) 对任意 x∈R,都有 f (1-x)=f (1+x)成立,设向量 a=(sinx,2), b=(2sinx,

1 ), 2

c=(cos2x,1),d=(1,2)。
(1)分别求 a·b 和 c·d 的取值范围; (2)当 x∈[0,π ]时,求不等式 f(a·b)>f(c·d)的解集。

参考答案
一、1-5BCDBA;6-10DDADB;11-12BD 二、13.等边三角形;14.大小是 4km/h,方向与水流方向的夹角为 60 ; 15.a-2b ; 16.①③④ 三、17.∵| AB |=2| CD |∴ AB ? 2DC ∴ DC ?
??? ? ??? ? ??? ?
0

1 1 1 AB ? a, BC ? b- a , 2 2 2

MN =

1 a-b 4

18.⑴∵ BD ? BC ? CD ? 5e1+5e2= 5 AB , ∴ AB // BD 又有公共点 B,∴A、B、D 共线 ⑵设存在实数 λ 使 ke1+e2=λ (e1+ke2) 19.⑴由 AB ? AC ? 0 可知 AB ? AC 即 AB⊥AC ⑵设 D(x,y),∴ AD ? ( x ? 2, y ? 4), BC ? (5,5), BD ? ( x ? 1, y ? 2) ∵ AD ? BC ∴5(x-2)+5(y-4)=0
? ?x ? ∴? ? ?y ? ? ? 7 2 5 2

∴ k=λ 且 kλ =1

∴k= ? 1

∵ BD // BC

∴5(x+1)-5(y+2)=0

7 5 3 3 ∴D( , ) AD ? ( ,? ) 2 2 2 2

5 3 1 5 26 20.⑴? M ( , ) ? CM ? (? ,? ), | CM |? 2 2 2 2 2

⑵设 P(x,y)?

S?APQ S BPQC

? 2 ??? ? 4 S?APQ 4 | AP | 2 ??? ? ? ? ,? ? ? AP ? AB 5 S?ABC 9 | AB | 3 3

? ( x ? 1, y ? 2) ?

2 4 (3,?1) ? P(3, ) 3 3

21. 当 b 与 a+λ b(λ ∈R)垂直时,b·(a+λ b)=0,∴λ = b ? a 2 = b 2 (? ? | a+λ b |= ? 2 b2 ? 2?a?

a ?b b2

a ?b 2 a ?b ) ? a 2 ? ( 2 )2 b2 b

当λ = -

a ?b 时,| a+λ b |取得最小值. b2

∴当 b 与 a+λ b(λ ∈R)垂直时,a+λ b 的模取得最小值. 22. (1)a·b=2sin x+1 ? 1
2

c·d=2cos2x+1 ? 1
∴f(x)图象关于 x=1 对称

(2)∵f(1-x)=f(1+x)

当二次项系数 m>0 时, f(x)在(1, ?? )内单调递增, 由 f(a·b)>f(c·d) ? a·b > c·d, 即 2sin x+1>2cos x+1
2 2

? 3? 又∵x∈[0,π ] ∴x∈ ( , ) 4 4
第 3 页(共 4 页)

当二次项系数 m<0 时,f(x)在(1, ?? )内单调递减, 由 f(a·b)>f(c·d) ? a·b > c·d, 即 2sin x+1<2cos x+1
2 2

? 3? 又∵x∈[0,π ] ∴x∈ [0, ) ? ( , ? ] 、 4 4
? 3? ? 3? 故当 m>0 时不等式的解集为 ( , ) ;当 m<0 时不等式的解集为 [0, ) ? ( , ? ] 4 4 4 4

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