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【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题五 第1讲


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专题五 第1讲

第1讲
【高考考情解读】
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直线与圆

本讲考查重点是直线间的平行和垂直的条件、 与距离有关的问 题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题),此类问题难度属 于中等,一般以填空题的形式出现,有时也会出现解答题,多 考查其几何图形的性质或方程知识.

主干知识梳理

专题五 第1讲

1.直线方程的五种形式
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(1)点斜式:y-y1=k(x-x1)(直线过点 P1(x1,y1),且斜率 为 k,不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线). (2)斜截式:y=kx+b(b 为直线 l 在 y 轴上的截距,且斜率 为 k,不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线). y-y1 x-x1 (3)两点式: = (直线过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2), y2-y1 x2-x1 且 x1≠x2,y1≠y2,不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).

主干知识梳理

专题五 第1讲

x y (4)截距式: b 分别为直线的横、 纵截距, 且 a≠0, a+b=1(a、 b≠0,不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线). (5)一般式:Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0).
本 2.直线的两种位置关系 讲 栏 当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时: 目 开 (1)两直线平行 l1∥l2?k1=k2. 关

(2)两直线垂直 l1⊥l2?k1· k2=-1. 提醒 当一条直线的斜率为 0, 另一条直线的斜率不存在时, 两直线也垂直,此种情形易忽略.

主干知识梳理
3.三种距离公式

专题五 第1讲

(1)A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 两 点 间 的 距 离 : AB = ?x2-x1?2+?y2-y1?2.
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|Ax0+By0+C| (2)点到直线的距离:d= (其中点 P(x0,y0), 2 2 A +B 直线方程为:Ax+By+C=0). |C2-C1| (3)两平行线间的距离: d= 2 2 (其中两平行线方程分 A +B 别为 l1:Ax+By+C1=0.l2:Ax+By+C2=0). 提醒 应用两平行线间距离公式时,注意两平行线方程中 x,y 的系数应对应相等.

主干知识梳理

专题五 第1讲

4.圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
本 5.直线与圆、圆与圆的位置关系 讲 栏 (1)直线与圆的位置关系:相交、相切、相离,代数判断法与几 目 开 何判断法. 关

(2)圆与圆的位置关系:相交、相切、相离,代数判断法与几何 判断法.

热点分类突破

专题五 第1讲

考点一
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直线的方程及应用

例 1 (1)过点(5,2),且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是________________. (2)若直线 l1:x+ay+6=0 与 l2:(a-2)x+3y+2a=0 平行, 则 l1 与 l2 间的距离为________.

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解析

专题五 第1讲

(1)当直线过原点时方程为2x-5y=0,不过原点时, x y 可设出其截距式为 + =1,再由过点(5,2) a 2a
即可解出2x+y-12=0.
1 2 本 讲 2 知 3 = a ( a - 2) 且 2 a ≠ 6( a - 2) , 2 a ≠18, 栏 目 开 求得a=-1, 关

(2)由l ∥l ,

2 所以l1:x-y+6=0,l2:x-y+3=0,

8 2 两条平行直线l1与l2间的距离为d= 2 2= 3 . 1 +?-1? 8 2 答案 (1)2x+y-12=0或2x-5y=0 (2) 3

? 2? ?6- ? 3? ?

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专题五 第1讲

(1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点 式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程不能表示
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过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线. (2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两 条直线平行或垂直的充要条件,即“斜率相等”或“互为负 倒数”.若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方 法去研究.

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专题五 第1讲

(1)直线 l1:kx+(1-k)y-3=0 和 l2:(k-1)x+(2k +3)y-2=0 互相垂直,则 k=________. (2)过点(1,0)且倾斜角是直线 x-2y-1=0 的倾斜角的两倍的 直线方程是________________.
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解析 (1)∵l1⊥l2,∴k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0, 解得 k1=-3,k2=1.∴k=-3 或 1.
(2)设直线 x-2y-1=0 的倾斜角为 α, 则所求直线的倾斜角为 2α. 1 由已知得 tan α= , 2 1 2× 2 2tan α 4 则 tan 2α= = , 2 = 1 3 1-tan α 2 1-? ? 2

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专题五 第1讲

4 所以所求直线方程为 y-0= (x-1), 3
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即 4x-3y-4=0.
答案 (1)-3 或 1
(2)4x-3y-4=0

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考点二 例2 圆的方程及应用

专题五 第1讲

(1)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上.直线l: 2 ,则过圆心且与直线l垂

y=x-1被圆C所截得的弦长为2
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直的直线的方程为________________. (2)已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2 +kx=0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如 果M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值 是________.

解析 (1)设圆心坐标为(x0,0)(x0>0),由于圆过点(1,0), |x0-1| 则半径 r=|x0-1|.圆心到直线 l 的距离为 d= . 2

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由弦长为 2

专题五 第1讲

?|x -1|? 0 ?2 2 2 2可知? ? ? =(x0-1) -2,整理得(x0-1) =4. 2 ? ?

∴x0-1=± 2,∴x0=3 或 x0=-1(舍去).
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因此圆心为(3,0),由此可求得过圆心且与直线 y=x-1 垂直的 直线方程为 y=-(x-3),即 x+y-3=0.
k (2)依题意得圆 x +y +kx=0 的圆心(-2,0)位于直线 x-y-1 k =0 上,于是有- -1=0,即 k=-2, 2
2 2

因此圆心坐标是(1,0),半径是 1. x y 由题意可得 AB=2 2,直线 AB 的方程是 + =1, -2 2

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专题五 第1讲

|1-0+2| 即 x-y+2=0,圆心(1,0)到直线 AB 的距离等于 = 2 3 2 3 2 ,点 P 到直线 AB 的距离的最大值是 +1, 本 2 2
讲 栏 3 2+2 1 目 △PAB 面积的最大值为 ×2 2× =3+ 2. 2 2 开 关

答案 (1)x+y-3=0

(2)3+ 2

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专题五 第1讲

圆的标准方程直接表示出了圆心和半径,而圆的 一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系,在求解圆
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的方程时,要根据所给条件选取适当的方程形式.解决与圆 有关的问题一般有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性 质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和 方程;(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条 件求得各系数.

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专题五 第1讲

(1)已知圆C:x2+(y-3)2=4,过点A(-1,0)的直线 l与圆C相交于P、Q两点,若PQ=2 ________________. (2)已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,
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3

,则直线l的方程为

直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且AB=6,则圆C 的方程为________.

解析 (1)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-1 符合题意;
当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),线段 PQ 的中点为 M,

由于 PQ=2 3,易得 CM=1.

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|-3+k| 4 又 CM= 2 =1,解得 k= , 3 k +1 4 此时直线 l 的方程为 y= (x+1). 3 故所求直线 l 的方程为 x=-1 或 4x-3y+4=0.
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专题五 第1讲

(2)设所求圆的半径是 r,依题意得, 抛物线 y2=4x 的焦点坐标是(1,0),
则圆 C 的圆心坐标是(0,1), 圆心到直线 4x-3y-2=0 的距离 d |4×0-3×1-2| AB 2 2 2 = 2 2 =1,则 r =d +( 2 ) =10, 4 +?-3?
故圆 C 的方程是 x2+(y-1)2=10.
答案 (1)x=-1 或 4x-3y+4=0

(2)x2+(y-1)2=10

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考点三 例3 直线与圆、圆与圆的位置关系 (2013· 江苏)如图, 在平面直角坐标系 xOy

专题五 第1讲

中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的 半径为 1,圆心在 l 上.
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(1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上, 过点 A 作 圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
解 (1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点, 解得点 C(3,2), 于是切线的斜率必存在. 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3,

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|3k+1| 3 由题意, 2 =1,解得 k=0 或- , 4 k +1

专题五 第1讲

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0.
(2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,
本 所以圆 C 的方程为(x-a)2+[ y-2(a-2)] 2=1. 讲 栏 目 设点 M(x,y),因为 MA=2MO, 开 2 2 2 2 2 2 所以 x + ? y - 3 ? = 2 x + y ,化简得 x + y +2y-3=0, 关

即 x2+(y+1)2=4, 所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上.
由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点, 则 2-1≤CD≤2+1,

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专题五 第1讲

即 1≤ a2+?2a-3?2≤3.
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由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R; 12 由 5a -12a≤0,得 0≤a≤ . 5
2

所以点 C 的横坐标 a

? 12? 的取值范围为?0, 5 ?. ? ?

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专题五 第1讲

(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意 数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算 量. 研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半
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径的比较实现, 两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半 径差与和的比较. (2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到 切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式, 所以求切线方程 时主要选择点斜式. 通过过圆外一点的圆的切线条数可以判断 此点和圆的位置关系. 过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆 外点距离利用勾股定理处理.

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专题五 第1讲

(1)(2013· 江西改编)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取 最大值时,直线 l 的斜率等于________.
本 2 2 (2)(2013· 重庆改编 ) 已知圆 C : ( x - 2) + ( y - 3) =1,圆 C2:(x 1 讲 栏 2 2 - 3) + ( y - 4) =9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 目 开 关 轴上的动点,则 PM+PN 的最小值为________.

(3)(2013· 山东改编)过点 P(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线, 切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为________,△PAB 的外 接圆方程为________________________.

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解析 1 (1)∵S△AOB= OA· OB· sin∠AOB 2

专题五 第1讲

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1 1 =2sin∠AOB≤2. π 当∠AOB=2时,S△AOB 面积最大. 2 此时 O 到 AB 的距离 d= 2 . 设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0),
即 kx-y- 2k=0. | 2k| 2 3 由 d= 2 = 2 得 k=- 3 . k +1 3 (也可 k=-tan∠OPH=- 3 ).

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专题五 第1讲

(2)设 P(x,0),设 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C1′(2,-3),
那么 PC1+PC2=PC1′+PC2≥C1′C2= ?2-3?2+?-3-4?2 =5 2.
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而 PM+PN=PC1+PC2-4≥5 2-4. (3)易知点 P(3,1)与圆心 C 连线和 AB 垂 直,圆心为点(1,0), 1-0 1 点 P(3,1)与圆心连线斜率 k= = , 3-1 2

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专题五 第1讲

故直线 AB 斜率 kAB=-2,结合图形易知 A 点坐标为(1,1),
由点斜式得直线 AB 的方程为 y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0.
本 讲 直径. 栏 12 5 目 2 开 ∴△PAB 的外接圆方程为(x-2) +(y-2) =4. 关

又由 CA⊥PA,CB⊥PB 知,A、P、B、C 四点共圆,且 CP 为其

答案

3 (1)- 3

(2)5 2-4
12 5 (x-2) +(y-2) =4
2

(3)2x+y-3=0

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专题五 第1讲

1.由于直线方程有多种形式,各种形式适用的条件、范围不 同,在具体求直线方程时,由所给的条件和采用的直线方
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程形式所限, 可能会产生遗漏的情况, 尤其在选择点斜式、 斜截式时要注意斜率不存在的情况. 2.确定圆的方程时,常用到圆的几个性质: (1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长, 弦心距,圆半径); (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (3)圆心在任一弦的中垂线上;

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专题五 第1讲

(4)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线; (5)圆的对称性:圆关于圆心成中心对称,关于任意一条过
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圆心的直线成轴对称. 3.直线与圆中常见的最值问题 圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到 点的距离问题;圆上的点与直线上点的距离的最值问题, 可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与另一圆上 点的距离的最值问题, 可以转化为圆心到圆心的距离问题.

热点分类突破

专题五 第1讲

4.过两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+
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E2y+F2=0 的交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+ λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0. 5.两圆相交,将两圆方程联立消去二次项,得到一个二元一 次方程即为两圆公共弦所在的直线方程.

押题精练

专题五 第1讲

1.若圆 x2+y2=r2(r>0)上有且只有两个点到直线 x-y-2=0
( 2-1, 2+1) . 的距离为 1,则实数 r 的取值范围是________________
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解析 注意到与直线 x-y-2=0 平行且距离为 1 的直线方程 分别是 x-y-2+ 2=0、x-y-2- 2=0, 要使圆上有且只有两个点到直线 x-y-2=0 的距离为 1,
需满足在两条直线 x-y-2+ 2=0、x-y-2- 2=0 中, 一条与该圆相交且另一条与该圆相离, | 2-2| |-2- 2| 所以 <r< ,即 2-1<r< 2+1. 2 2

押题精练

专题五 第1讲

2.过点 O(0,0)作直线与圆 C:(x-4 5)2+(y-8)2=169 相交, 在弦长均为整数的所有直线中,等可能地任取一条直线,
9 则弦长不超过 14 的概率为________ . 32

解析 已知圆 C 的半径为 13,C(4 5,8),
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∵CO= ?4 5?2+82=12<13,
∴O 点在圆 C 的内部,且圆心到直线的距离 d∈[ 0,12] ,

∴直线截圆所得的弦长 AB=2 r2-d2∈[ 10,26] ,

其中最短和最长的弦各有一条, 长为 11 到 25 的整数的弦各有 两条,共有 32 条, 其中弦长不超过 14 的有 1+8=9(条), 9 ∴所求概率 P=32.


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