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12-13学年高中数学 1.2.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1课件 新人教A版选修2-2


? 1.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则

? 1.熟记基本初等函数的导数公式,理解 导数的四则运算法则. ? 2.能利用导数的四则运算法则和导数公 式,求简单函数的导数.

? 本节重点:导数公式和导数的运算法则及 其应用. ? 本节难点:导数公式和运算法则的应用.

? 1.函数和与差的导数运算法则可推广到任 意有限个可导函数的和(或差).
即 :
? ? ?

f1(x)± 2(x)± 3(x)± fn(x)??? f f …±



f′1(x)± 2(x)± f′n(x) f′ …± 2.由[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).立即可得 [Cf(x)]′=Cf′(x).
? f(x) ? ? 1 ? g(x)f′(x)-f(x)g′(x) 由 ?g(x)? ′= ,可得 ?g(x)? ′=- g2(x) ? ? ? ?

g′(x) . g2(x)

3.初学导数公式的同学会发现,公式(1)、(2)、(3)、 (4)、(6)、(8)好记好用,而公式(5)、公式(7)则较难记忆, 易用错.对于公式(5),y=ax(a>0 且 a≠1)的导数,可结 合后面复合函数的导数用取对数法帮助记忆:两边取自然 y′ 对数得:lny=xlna.两边对 x 求导得: y =lna.∴y′= axlna.(注意 y 是 x 的函数)对于公式(7), f(x)=logax 的导数, lnx 1 可先换底 f(x)=lna,再求导得:f′(x)=xlna.

? 4.注意f(x)在x=a处有定义,则f′(a)与(f(a))′ 不同,(f(a))′=0恒成立,因为f(a)是一个常 数.

? 1.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=c f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sinx f(x)=cosx 导函数 0 f′(x)=n-1 nx f′(x)= cosx f′(x)= -sinx f′(x)=xlna a f′(x)= ex (a>0) f′(x)= f′(x)= (a>0 且a≠1)

f(x)=ax
f(x)=ex f(x)=logax

? ? ? ?

2.导数的四则运算法则 设函数f(x)、g(x)是可导的,则 (1)(f(x)±g(x))′= f′(x)±g′(x) (2)(f(x)·g(x))′= f′(x)g(x)+f(x)·g′(x)
f′(x)g(x)-f(x)g′(x) f(x) (3)( )′= (g(x)≠0) g(x) g2(x)

[例 1]

求下列函数的导数:
12

1 x 5 3 x (1)y=x ; (2)y=x4; (3)y= x ; (4)y=2 ; (5)y=2sin2 x cos . 2

[分析]

对于简单函数的求导, 关键是合理转化函数的

1 关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式, y=x4可 如 以写成 y=x ,y= x =x5等,这样就可以直接使用幂函 数的求导公式求导,以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误.
-4

5

3

3

[解析]

(1)y′=(x12)′=12x11.

?1? 4 -4 -5 (2)y′=?x4?′=(x )′=-4x =-x5. ? ?

(4)y′=(2x)′=2xln2.
? x x? (5)y′=?2sin2cos2?′=(sinx)′=cosx. ? ?

? [点评] 运算的准确是数学能力高低的重要 标志,要从思想上提高认识,养成思维严 谨、步骤完整的解题习惯,要形成不仅会 求,而且要求对、求好的解题标准.

? 求下列函数的导数: ? (1)y=x-2;(2)y=cosx;(3)y=log3x;(4)y= e0. ? [解析] 由求导公式得 2
(1)y′=-2· 3=-x3. x


(2)y′=(cosx)′=-sinx. 1 (3)y′=(log3x)′= xlog3e. (4)∵y=e0=1,∴y′=0.

[例 2]

求下列函数的导数:

1 5 4 3 (1)y= x - x +3x+ 2; 5 3 (2)y=(3x5-4x3)(4x5+3x3); (3)y=3 x4+4 x3. 3

? [分析] 这些函数是由基本初等函数经过 四则运算得到的简单函数,求导时,可直 接利用函数加减的求导法则进行求导.

[解析]

?1 4 ? x5- x3+3x+ (1)y′= 5 3 ?

? 2 ?′ ?

?1 ? ?4 ? 5 =?5x ?′-?3x3?′+(3x)′+( ? ? ? ?

2)′=x4-4x2+3.

(2) 解 法 1 : y′ = (3x5 - 4x3)′(4x5 + 3x3) + (3x5 - 4x3)(4x5 +3x3)′=(15x4 -12x2)(4x5 +3x3)+(3x5 -4x3)(20x4 +9x2)=60x9-48x7+45x7-36x5+60x9-80x7+27x7-36x5 =120x9-56x7-72x5. 解法 2:∵y=12x10-7x8-12x6 ∴y′=120x9-56x7-72x5.

4 3 (3)y′=(3 x +4 x )′=(3x )′+(4x )′ 3 2 3
4 3

? [点评] 1.多项式的积的导数,通常先展 开再求导更简便. ? 2.含根号的函数求导一般先化为分数指 数幂,再求导.

(1)求下列函数的导数. ①y=x2sinx ②y=x2(x2-1)
1 2 3 (2)求 y= x+x2+x3的导数.

[解析]

(1)①y′=(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′

=2xsinx+x2cosx. ②y′=[x2(x2-1)]′=(x2)′(x2-1)+x2(x2-1)′ =2x(x2-1)+x2· 2x=4x3-2x.
?1 ?1 ? 2 3? -2 -3 (2)y′=? x+x2+x3?′=? x+2x +3x ?′ ? ? ? ?

1 1 4 9 -3 -4 =-x2-4x -9x =-x2-x3-x4.

? [例3] 已知抛物线y=ax2 +bx+c通过点(1,1), 且在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,求a、b、 c的值. ? [分析] 题中涉及三个未知量,已知中有三个独 立条件,因此,要通过解方程组来确定a、b、c 的值. ? [解析] 因为y=ax2+bx+c过点(1,1), ? 所以a+b+c=1. ? y′=2ax+b,曲线过点P(2,-1)的切线的斜率为 4a+b=1. ? 又曲线过点(2,-1),所以4a+2b+c=-1.

?a+b+c=1, ? 由?4a+b=1, ?4a+2b+c=-1, ?

?a=3, ? 解得?b=-11, ?c=9. ?

所以 a、b、c 的值分别为 3、-11、9.

? [点评] 本题主要考查了导数的几何意义, 导数的运算法则及运算能力.

? 求过曲线y=x3+x上的点P(1,2)的切线方 程. 设切点为(x ,y ),由导数的几何意义得, [解析]
0 0 2 切线斜率 k=y′|x=x0=3x0+1,

切线方程为 y-y0=(3x2+1)(x-x0), 0 又 y0=x3+x0,点 P(1,2)在切线上, 0
3 ∴2-x0-x0=(3x2+1)(1-x0) 0 3 化简整理,得 2x0-3x2+1=0 0 2 ∴(2x3-2x0)+(-x2+1)=0 0 0

1 即(x0-1) · 0+1)=0,∴x0=1 或 x0=-2, (2x
2

? 1 5? 切点坐标为(1,2)或?-2,-8?, ? ?

切点为(1,2)时切线斜率为 k1=3+1=4, 切线方程为:y-2=4(x-1)即 4x-y-2=0, 1 5 7 切点为(- ,- )时切线斜率为 k2= , 2 8 4 7 切线方程为:y-2= (x-1)即 7x-4y+1=0. 4

一、选择题 1.下列结论: (1)若 y=cosx,则 y′=-sinx; 1 1 (2)若 y= ,则 y′= ; x 2x x 1 2 (3)若 f(x)=x2,则 f′(3)=-27. 其中正确命题的个数是 A.0 C.2 B.1 D.3 ( )

? [答案] C

? 2.函数y=(x-a)(x-b)在x=a处的导数为 ( ) ? A.ab B.-a(a-b) ? C.0 D.a-b ? [答案] D ? [解析] ∵f(x)=(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x +ab ? ∴f′(x)=2x-(a+b), ? ∴f′(a)=2a-(a+b)=a-b,故应选D.

sinx 3.设 y= ,-π<x<π,当 y′=2 时,x 等于 1+cosx ( 1 A.± π 3 1 C.± π 4 1 B.± π 6 2 D.± π 3 )

? [答案] D

[解析]

sinx ∵y= 1+cosx

cosx(1+cosx)-sinx(-sinx) 1+cosx ∴y′ = = 2 2 = (1+cosx) (1+cosx) 1 1+cosx 1 ∵y′=2,∴ =2 1+cosx 1 2 ∴cosx=-2,又-π<x<π,∴x=± π.故应选 D. 3

二、填空题 1-sinx 4.若 f(x)= x ,则 f′(π)=________.
π-1 [答案] π2
(1-sinx)′x-(x)′(1-sinx) [解析] f′(x)= x2 -xcosx-1+sinx = x2 -πcosπ-1+sinπ π-1 ∴f′(π)= = 2 . π2 π

? 5.设f(x)=(2x+a)2 ,则f′(2)=20,则a= ________. ? [答案] 1 ? [解析] ∵f(x)=(2x+a)2=4x2+4ax+a2 ? ∴f′(x)=8x+4a,∴f′(2)=16+4a,又f′(2) =20, ? ∴16+4a=20,∴a=1.

? ? ? ? ?

三、解答题 6.求下列函数的导数 (1)y=x4-3x2-5x+6; (2)y=x·tanx; (3)y=(x+1)(x+2)(x+3);
x-1 (4)y= . x+1

[解析]

(1)y′ = (x4 - 3x2 - 5x + 6)′ = (x4)′ -

(3x2)′-(5x)′+6′=4x3-6x-5;
?xsinx? (2)y′=(x· tanx)′=? cosx ?′ ? ?

(xsinx)′cosx-xsinx(cosx)′ = cos2x (sinx+xcosx)cosx+xsin2x sinxcosx+x = = cos2x ; cos2x

? (3)解法1:y′=[(x+1)(x+2)(x+3)]′ ? =[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ ? =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)(x +2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) ? =(2x+3)(x+3)+x2+3x+2=3x2+12x+11; ? 解法2:∵(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3) ? =x3+6x2+11x+6, ? ∴y′=[(x+1)(x+2)(x+3)]′=(x3 +6x2 +11x+6)′ =3x2+12x+11;

(4)解法

?x-1? ? 1:y′=? ?x+1?′ ? ?

(x-1)′(x+1)-(x-1)(x+1)′ = (x+1)2 x+1-(x-1) 2 = = ; (x+1)2 (x+1)2 x-1 x+1-2 2 解法 2:∵y= = =1- , x+1 x+1 x+1
? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ∴y′=?1-x+1?′=?-x+1?′= . (x+1)2 ? ? ? ?


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