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2014高考数学(理)二轮专题升级训练:解答题专项训练 解析几何(含答案解析)]


专题升级训练
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解答题专项训练(解析几何)

1.已知圆 C:x +y -2x+4y-4=0.问是否存在斜率为 1 的直线 l,使得 l 被圆 C 截得的弦为 AB,且以 AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 2.已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 的直线交

抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且 |AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若+λ,求 λ 的值. 3.已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所组成的四边形为正方 形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A,B,且=2. (1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围. 4.设椭圆 C:=1(a>b>0)的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60° ,=2. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|=,求椭圆 C 的方程. 5.已知点 F1,F2 分别为椭圆 C:=1(a>b>0)的左、右焦点,P 是椭圆 C 上的一点,且|F1F2|=2,∠ F1PF2=,△F1PF2 的面积为. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 M 的坐标为,过点 F2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,对于任意的 k∈R,是否 为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由. 6.已知 A(-2,0),B(2,0),点 C,点 D 满足||=2,). (1)求点 D 的轨迹方程; (2)过点 A 作直线 l 交以 A,B 为焦点的椭圆于 M,N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距离为,且直线 l 与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程. 7.已知双曲线 E:=1(a>0,b>0)的焦距为 4,以原点为圆心,实半轴长为半径的圆和直线 x-y+=0 相切. (1)求双曲线 E 的方程; (2)已知点 F 为双曲线 E 的左焦点,试问在 x 轴上是否存在一定点 M,过点 M 任意作一条直线交双 曲线 E 于 P,Q 两点(P 在 Q 点左侧),使为定值?若存在,求出此定值和所有的定点 M 的坐标;若不存在, 请说明理由. ## 1.解:假设 l 存在,设其方程为 y=x+m,代入 x2+y2-2x+4y-4=0,得 2x2+2(m+1)x+m2+4m-4=0. 再设 A(x1,y1),B(x2,y2),于是 x1+x2=-(m+1),x1x2=. 以 AB 为直径的圆经过原点,即直线 OA 与 OB 互相垂直,也就是 kOA·kOB=-1, 所以·=-1,即 2x1x2+m(x1+x2)+m2=0, 将 x1+x2=-(m+1),x1x2=, 代入整理得 m2+3m-4=0,解得 m=-4 或 m=1. 故所求的直线存在,且有两条,其方程分别为 x-y+1=0,x-y-4=0. 2.解:(1)直线 AB 的方程是 y=2,与 y2=2px 联立, 从而有 4x2-5px+p2=0,所以 x1+x2=. 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. 2 2 2 (2)由 p=4,知 4x -5px+p =0 可化为 x -5x+4=0, 从而 x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4, 从而 A(1,-2),B(4,4). 设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2), 又=8x3,所以[2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1, 解得 λ=0,或 λ=2. 3.解:(1)由题意,知椭圆的焦点在 y 轴上, 设椭圆方程为=1(a>b>0), 由题意,知 a=2,b=c,又 a2=b2+c2,则 b=,

所以椭圆方程为=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知直线 l 的斜率存在, 设其方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立, 即消去 y 则(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0, Δ=(2mk)2-4(2+k2)(m2-4)>0, 由根与系数的关系,知 又=2,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m),∴-x1=2x2. ∴ ∴=-2. 整理,得 (9m2-4)k2=8-2m2, 又 9m2-4=0 时不成立, 所以 k2=>0,得<m2<4, 此时 Δ>0,所以 m 的取值范围为. 4.解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,y1<0,y2>0. (1)直线 l 的方程为 y=(x-c),其中 c=. 联立得(3a2+b2)y2+2b2cy-3b4=0, 解得 y1=,y2=. 因为=2,所以-y1=2y2. 即=2·,得离心率 e=. (2)因为|AB|=|y2-y1|,所以·, 由,得 b=a.所以 a=,得 a=3,b=. 椭圆 C 的方程为=1. 5.解:(1)设|PF1|=m,|PF2|=n. 在△PF1F2 中,由余弦定理得 22=m2+n2-2mncos, 化简得,m2+n2-mn=4. 由,得 mnsin.化简得 mn=. 于是(m+n)2=m2+n2-mn+3mn=8. ∴m+n=2,由此可得,a=. 又∵半焦距 c=1,∴b2=a2-c2=1. 因此,椭圆 C 的方程为+y2=1. (2)由已知得 F2(1,0),直线 l 的方程为 y=k(x-1), 由消去 y,得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=,x1x2=. ∵·· =+y1y2 =+k2(x1-1)(x2-1) =(k2+1)x1x2-(x1+x2)++k2 =(k2+1)+k2 ==-. 由此可知·=-为定值. 6.解:(1)设 C,D 点的坐标分别为 C(x0,y0),D(x,y), 则=(x0+2,y0),=(4,0), 则=(x0+6,y0),故)=. 又=(x+2,y),故解得 代入||==2,得 x2+y2=1, 即为所求点 D 的轨迹方程. (2)易知直线 l 与 x 轴不垂直,设直线 l 的方程为 y=k(x+2),① 设椭圆方程为=1(a2>4).② 将①代入②整理,得(a2k2+a2-4)x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0.③ 因为直线 l 与圆 x2+y2=1 相切,故=1,解得 k2=. 故③式可整理为(a2-3)x2+a2x-a4+4a2=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=-. 由题意有=2× (a2>4),解得 a2=8,经检验,此时 Δ>0. 故所求的椭圆方程为=1.

7.解:(1)由题意知=a, ∴a=. 又∵2c=4,∴c=2,∴b==1. ∴双曲线 E 的方程为-y2=1. (2)当直线为 y=0 时,则 P(-,0),Q(,0),F(-2,0), ∴·=(-+2,0)·(+2,0)=1. 当直线不为 y=0 时,可设 l:x=ty+m(t≠± )代入 E:-y2=1, 整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t≠± ).(*) 由 Δ>0 得 m2+t2>3. 设方程(*)的两个根为 y1,y2,满足 y1+y2=-,y1y2=, ∴·=(ty1+m+2,y1)·(ty2+m+2,y2) =(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2 =. 当且,仅当 2m2+12m+15=3 时,·为定值, 解得 m1=-3-,m2=-3+(舍去). 综上,过定点 M(-3-,0)任意作一条直线交双曲线 E 于 P,Q 两点,使·=1.


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