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浙江省嘉兴市2014届高三4月第二次模拟考试理科数学试题(扫描版,Word版答案)


2014 年高三教学测试(二) 理科数学 参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.A; 6.D; 2.A; 7.A; 3.D; 8.D; 4.B; 9.B; 5.C; 10.C.

第 9 题提示: 考虑① :因为 BC // AD , AD 与 DF 相交不垂直,所 以 BC 与 DF 不垂直,则① 不成立; 考虑② :设点 D 的在平面 BCF 上的射 影为点 P ,当 BP ? CF 时就有 BD ? FC , 而 AD : BC : AB ? 2 : 3 : 4 可使条件满足,所以② 正确; 考虑③ :当点 P 落在 BF 上时, DP ? 平面 BDF ,从 而平面 BDF ? 平面 BCF ,所以③ 正确. 考虑④ :因为点 D 的射影不可能在 FC 上,所以④ 不成立. 第 10 题提示: B E P C F A D

b

? y ?1 ? 不等式组 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域 ?2x ? y ? 1 ? 0 ?
是 由 A(1, 1), B( ?1, 1), C (0, ? 1) 围 成 的 三 角 形区域(包含边界) .
O

A1

l1 : a ? b ? 1 ? 0

a
C1 l 3 : b ? -1

? y ?1 ? 因 为 直 线 ax ? by ? 1 与 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ?2x ? y ? 1 ? 0 ?

B1

l2 : a ? b ? 1 ? 0

?a ? b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0 ? ? 表示的平面区域无公共点, 所以 a , b 满足: ? ? a ? b ? 1 ? 0 或 ? ? a ? b ? 1 ? 0 . ?? b ? 1 ? 0 ?? b ? 1 ? 0 ? ?
.所以 2a ? 3b 的取值范围是 ( ?7, 3) . (a , b) 在如图所示的三角形区域(除边界且除原点) 二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11. 10 ; 15. [
16 8 , ]; 9 3

12.512; 16. 2 x ? y ? 1 ? 0 ;

13. 3 8 ? 1 (或 6562) ; 17.14.
y

14.

8 ; 3

第 17 题提示: 集合 A 中的方程表示圆心在直线 y ? x 上的六个圆 , 由对称性只需考虑第一象限 . 记 a ? 1,2,3 对应的圆
l1 l3

C3 C2

l2

分别为⊙ C1 , ⊙ C 2 ,⊙ C 3 , 易知⊙ C1 与⊙ C 3 外切 ,

O

x

⊙ C 2 与⊙ C1 , ⊙ C 3 相交, 且经过⊙ C1 的圆心. b ? 1,2,3 对应的三条直线 l1 , l 2 , l 3 , l1 与⊙ C1 外切, l 2 与⊙ C 2 外切且与⊙ C1 相交, l 3 与⊙ C1 与⊙ C 3 的外公切线且与⊙ C 2 相交,由图 知在第一象限共有 7 个交点,故共有 14 个交点.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 (Ⅰ)若 C ?
5 ? ,求角 B 的大小; 12
b sin 2C . ? a sin A

(Ⅱ)若 b ? 2 ,

?
3

?C ?

?
2

,求△ ABC 面积的最小值.

18. (Ⅰ) (本小题 7 分) 由正弦定理,得
b sin B sin 2C . ? ? a sin A sin A

5 1 ∴ sin B ? sin 2C ? sin ? ? . 6 2

∴ B?

?
6

(B ?

5? 舍) . 6

(Ⅱ) (本小题 7 分) 由(Ⅰ)中 sin B ? sin 2C 可得 B ? 2C 或 B ? 2C ? ? . 又 B ? 2C 时,

?
3

?C ?

?
2

,B ?

2 ? ,即 B ? C ? ? ,矛盾. 3

所以 B ? 2C ? ? , ? ? A ? C ? 2C ? ? ,即 A ? C . 所以 S ?ABC ? 即当 C ?
1 hb ? tanC ? 3 , 2

?
3

时, S ?ABC 的最小值是 3 .

19. (本题满分 15 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , AD // BC , PA ? AB ? AD ? 2 BC ? 2 ,
?BAD ? ? , E 是棱 PD 的中点.

(Ⅰ )若 ? ? 60? ,求证: AE ? 平面 PCD ;

(Ⅱ )求 ? 的值,使二面角 P ? CD ? A 的平面角最小. 19. (Ⅰ ) (本小题 7 分) 当 ? ? 60? 时, ∵ AD // BC , AB ? AD ? 2 BC ? 2 . ∴CD ? AD . 又 PA ? 平面 ABCD ,∴PA ? CD . ∴CD ? 平面 PAD . 又 AE ? 平面 PAD , ∴CD ? AE . 又 PA ? AD , E 是棱 PD 的中点, ∴PD ? AE . ∴ AE ? 平面 PCD .
x
B
C
(第 19 题)
?

z
P

E

A D

y

(Ⅱ ) (本小题 8 分) 如图,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,则 P (0,0,2) , B( 2 sin ? ,2 cos ? ,0) ,
C ( 2 sin ? ,2 cos ? ? 1,0) , D(0,2,0) .

∴DP ? (0,?2,2) 、 DC ? ( 2 sin ? ,2 cos ? ? 1,0) . 设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,
? ? n ? DP ? ? 2 y ? 2 z ? 0 则? ?? ? ? n ? DC ? ( 2 sin ? ) x ? ( 2 cos ? ? 1) y ? 0

取 y ? 1 ,得 n ? (

2 cos ? ? 1 ,1,1) . 2 sin ?

又易知平面 ABCD 的法向量为 m ? ( 0,0,1) . 设二面角 P ? CD ? A 的平面角为 ? , 则 cos ? ?

|m?n| | m |?| n|

? (

1 2 cos ? ? 1 2 ) ?2 2 sin ?
2 cos ? ? 1 ? 0, 2 sin ?

要使 ? 最小,则 cos ? 最大,即 ∴ cos ? ?
1 ? ,得 ? ? 2 3

20. (本题满分 14 分) 有 A、B、C 三个盒子,每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个,所有的球仅有颜 色上的区别. (Ⅰ ) 从每个盒子中任意取出一个球, 记事件 S 为 “取得红色的三个球” , 事件 T 为 “取 得颜色互不相同的三个球” ,求 P ( S ) 和 P (T ) ; (Ⅱ )先从 A 盒中任取一球放入 B 盒,再从 B 盒中任取一球放入 C 盒,最后从 C 盒中 任取一球放入 A 盒,设此时 A 盒中红球的个数为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? .

20. (Ⅰ ) (本小题 6 分)
P( S ) ?
1 1 C 1C 2 C1 2 1 1 1 1 , P (T ) ? 3 ? ? ? ? . 1 1 1 3 3 3 27 C 3C 3C 3 9

(Ⅱ ) (本小题 8 分)

? 的可能值为 0,1,2 .
① 考虑 ? ? 0 的情形,首先 A 盒中必须取一个红球放入 B 盒,相应概率为 中有 2 红 2 非红;若从 B 盒中取一红球放入 C 盒,相应概率为 从 C 盒中只能取一个非红球放入 A 盒,相应概率为 相应概率为 为
1 ,此时 B 盒 3

1 ,则 C 盒中有 2 红 2 非红, 2

1 ;若从 B 盒中取一非红球放入 C 盒, 2

1 ,则 C 盒中有 1 红 3 非红,从 C 盒中只能取一个非红球放入 A 盒,相应概率 2

1 ?1 1 1 3? 5 3 .故 P (? ? 0) ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 ? 2 2 2 4 ? 24 4

② 考虑 ? ? 2 的情形,首先 A 盒中必须取一个非红球放入 B 盒,相应概率为 盒中有 1 红 3 非红;若从 B 盒中取一红球放入 C 盒,相应概率为 红, 从 C 盒中只能取一个红球放入 A 盒, 相应概率为 相应概率为

2 ,此时 B 3

1 ,则 C 盒中有 2 红 2 非 4

1 ; 若从 B 盒中取一非红球放入 C 盒, 2

3 ,则 C 盒中有 1 红 3 非红,从 C 盒中只能取一个红球放入 A 盒,相应概率为 4

2 ?1 1 3 1? 5 1 .故 P (? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 ? 4 2 4 4 ? 24 4 5 5 7 ③P (? ? 1) ? 1 ? . ? ? 24 24 12

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

5 24

7 12

5 24

? 的数学期望 E? ? 0 ?

5 7 5 ? 1? ? 2? ? 1. 24 12 24

21. (本题满分 15 分) 如图,设椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 长轴的右端点为 A ,短轴端点分别为 B 、 C ,另 a 2 b2

有抛物线 y ? x 2 ? b . (Ⅰ )若抛物线上存在点 D ,使四边形 ABCD 为菱形,求椭圆的方程; (Ⅱ )若 a ? 2 ,过点 B 作抛物线的切线,切点为 P ,直线 PB 与椭圆相交于另一点 Q , 求
| PQ | 的取值范围. | QB |
P

y

21. (Ⅰ ) (本小题 6 分) 由四边形 ABCD 是菱形, 得 D( a , a 2 ? b ) ,
Q

D

C

O
B
(第 21 题)

A

x

? a 2 ? b ? 2b 3 1 且? 2 ,解得 a ? ,b ? , 2 3 3 ? a ? b ? 2b
所以椭圆方程为 3x 2 ? 9 y
2

?1.

(Ⅱ ) (本小题 9 分) 不妨设 P ( t , t 2 ? b) ( t ? 0 ) , 因为 y' | x ? t ? 2 x | x ? t ? 2t , 所以 PQ 的方程为 y ? 2t ( x ? t ) ? t 2 ? b ,即 y ? 2tx ? t 2 ? b . 又因为直线 PQ 过点 B ,所以 ? t 2 ? b ? ?b ,即 b ?
t2 . 2

所以 PQ 的方程为 y ? 2tx ?

t

2

2



? t2 y ? 2tx ? ? ? 2 ,消去 y ,得 (t 2 ? 64 ) x 2 ? 32tx ? 0 . 联立方程组 ? 2 2 x 4 y ? ? 4 ?1 ? t ? 4

所以点 Q 的横坐标为 x Q ? 所以

32t , t ? 64
2

| PQ | x P ? x Q t2 ? ? ? 1. | QB | x Q ? x B2 32
| PQ | 9 的取值范围为 (1 , ) . | QB | 8

又 t 2 ? 2b ? (0 , 4) ,所以

22. (本题满分 14 分) 已知 a ? R ,函数 m ( x ) ? x 2 , n ( x ) ? a ln(x ? 2) .
?m ( x ) , x ? 0 (Ⅰ )令 f ( x ) ? ? ,若函数 f ( x ) 的图象上存在两点 A 、 B 满足 OA ? OB ? n(x ) , x ? 0

( O 为坐标原点) ,且线段 AB 的中点在 y 轴上,求 a 的取值集合; (Ⅱ )若函数 g ( x ) ? m ( x ) ? n ( x ) 存在两个极值点 x 1 、 x 2 ,求 g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) 的取值范 围. 22. (Ⅰ ) (本小题 6 分) 由题意,不妨设 A (t , a ln(t ? 2)) , B ( ?t , t 2 ) ,且 t ? 0 , ∴OA ? OB ? 0 ,即 ? t 2 ? at 2 ln(t ? 2) ? 0 ,∴a ? ∵ln(t ? 2) ? (ln 2,?? ) , ∴a 的取值集合是 { x | 0 ? x ? (Ⅱ ) (本小题 8 分)
g ( x ) ? x 2 ? a ln(x ? 2) , g '( x ) ?
2x 2 ? 4x ? a . x ?2
1 }. ln 2

1 . ln(t ? 2)

要使 g ( x ) 存在两个极值点,则
g '( x ) ? 0 即 2 x 2 ? 4 x ? a ? 0 在 ( ?2,?? ) 上存在两不等的实根.

令 p (x ) ? 2x 2 ? 4x ? a , ∵p ( x ) 的图象的对称轴为 ?1 ,∴? ? 16 ? 8a ? 0 且 p ( ?2) ? 0 . ∴0 ? a ? 2 .
? x 1 ? x 2 ? ?2 ? a . 由上知 ? x1 ? x 2 ? ? 2 ?
2 ∴g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) ? x 12 ? a ln(x 1 ? 2) ? x 2 ? a ln(x 2 ? 2)

? ( x 1 ? x 2 ) 2 ? 2 x 1x 2 ? a ln[x 1x 2 ? 2( x 1 ? x 2 ) ? 4]
? ( ?2 ) 2 ? 2 ? ? a ln a a ? a ln[ ? 2 ? ( ?2) ? 4] 2 2

a ?a ? 4. 2 x ? x ? 4 , x ? ( 0, 2 ) , 2

令 q ( x ) ? x ln ∴q '( x ) ? ln ∴ 2 ? a ln

x ? 0 , q ( x ) 在 ( 0,2) 上单调递减, 2

a ?a ? 4 ? 4. 2

故 g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) 的取值范围是 ( 2,4) .


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