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1982年全国高中数学联赛试题及详细解析


1.选择题(本题 48 分,每一小题答对者得 6 分,答错者得 0 分,不答者得 1 分 ): ⑴如果凸 n 边形 F(n≥4)的所有对角线都相等,那么 A.F∈{四边形} B.F∈{五边形} C.F∈{四边形}∪{五边形} D.F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多边 形} 1 ⑵极坐标方程 ρ= 所确定的曲线是 1-cosθ +sinθ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物

线
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⑺设 M={(x,y)| |xy|=1,x>0},N={(x,y)|arctanx+arccoty=π},那么 A.M∪N={(x,y)| |xy|=1} B.M∪N=M C.M∪N=ND.M∪N={( x,y)| |xy|=1,且 x,y 不同时为负数} ⑻当 a,b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式: 1 1 1 2 a+b 2 甲:(a+a)(b+b),乙:( ab+ ) ,丙:( 2 +a+b)2 ab 中间,值最大的一个是 A.必定是甲 B.必定是乙 C.必定是丙 D.一般并不确定,而与 a、b 的取值有关 2.(本题 16 分)已知四面体 SABC 中, π π π ∠ASB= 2 ,∠ASC=α(0<α< 2 ),∠BSC=β(0<β< 2 ). 以 SC 为棱的二面角的平面角为 θ. 求证:θ=-arc cos(cotα?cotβ). 3. (本题 16 分)已知: ⑴半圆的直径 AB 长为 2r; ⑵半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直, 垂足为 T,|AT|=2a(2a< 满足条件
r 2

);⑶半圆上有相异两点 M、N,它们与直线 l 的距离|MP|、|NQ|

|MP| |NQ| |AM|= |AN| =1. 求证:|AM|+|AN|=|AB|.
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1982 年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答
1.选择题(本题 48 分,每一小题答对者得 6 分,答错者得 0 分,不答者得 1 分): ⑴如果凸 n 边形 F(n≥4)的所有对角线都相等,那么 A.F∈{四边形} B.F∈{五边形} C.F∈{四边形}∪{五边形} D.F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多边
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形} 【答案】C 【解析】由正方形及正五边形知 A、B 均错,由对角线相等的四边形形状不确定,知 D 错, 选 C. =

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⑷由方程|x-1|+|y-1|=1 确 定的曲线所围成的图形的面积是 A.1 B.2 C.πD.4 【答案】B 【解析】此曲线的图形是一个正 方形,顶点为(0,1),(1,0),(2,1),(1,2);其面积为 2.选 B.

⑹已知 x1,x2 是方程 x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k 为实 数)的两个实数根,x12+x22 的最大

值是 A.19 B.18 5 C. 59D.不存在

⑺设 M={(x,y)| |xy|=1,x>0},N={(x,y)|arctanx+arccoty=π},那么 A.M∪N={(x,y)| |xy|=1} B.M∪N=M C.M∪N=ND.M∪N={(x,y)| |xy|=1,且 x,y 不同时为负数}

⑻当 a,b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式: 1 1 1 2 a+b 2 甲:(a+a)(b+b),乙:( ab+ ) ,丙:( 2 +a+b)2 ab 中间,值最大的一个是 A.必定是甲 B.必定是乙 C.必定是丙 D.一般并不确定,而与 a、b 的取值有关 【答案】D 【解析】甲>乙,但甲、丙大小不确定.故选 D. π π π 2.(本题 16 分)已知四面体 SABC 中,∠ASB= 2 ,∠ASC=α(0<α< 2 ),∠BSC=β(0<β< 2 ). 以 SC 为棱的二面角的平面角为 θ. 求证:θ=-arc cos(cotα?cotβ). 【解析】证明:在 SC 上取点 D,使 SD=1,在面 SAC、SBC 内分别作 DE⊥SC,DF ⊥SC,分别交 SA、SB 于 E、F,连 EF.则∠EDF 为二面角 A—SC—B 的平面角.即∠ EDF=θ. 由∠BSC=β,知 SF=secβ,DF=tanβ.由∠ASC=α,得 SE=secα,DE=tanα. 由∠ASB=2 ,得 EF2=SE2+SF2= DE2+DF2-2DE ?DFcosθ. ∴ sec2α+sec2β=tan2α+tan2β-2tanαtanβcosθ.?cosθ=-cotαcotβ. ∴θ=-arc(cotαcotβ). 3. (本题 16 分)已知: ⑴半圆的直径 AB 长为 2r; ⑵半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直, 垂足为 T,|AT| =2a(2a<
r 2

S D E A F C

?

B

);⑶半圆上有相异两点 M、N,它们与直线 l 的距离|MP|、|NQ|

满足条件 |MP| |NQ| |AM|= |AN| =1. 求证:|AM|+|AN|=|AB|.

4.(本题 20 分)已知边长为 4 的正三角形 ABC.D、E、F 分别是 BC、CA、AB 上的点, 且|AE|=|BF|=|CD|=1,连结 AD、BE、CF,交成△RQS.点 P 在△RQS 内及边上移动,点 P 到△ABC 三边的距离分别记作 x、y、z. ⑴求证当点 P 在△RQS 的顶点位置时乘积 xyz 有极小值; A ⑵求上述乘积 xyz 的极小值. E 【解析】 利用面积, 易证: ⑴当点 P 在△ABC 内部及边上移动时, x+y+z S 为定值 h=2 3; G l ⑵过 P 作 BC 的平行线 l,交△ABC 的两边于 G、H.当点 P 在线段 GH F R 上移动时,y+z 为定值,从而 x 为定值. B ⑶设 y∈[α,β],m 为定值.则函数 u=y(m-y)在点 y=α 或 y=β 时取得 极小值. 于是可知,过 R 作 AB、AC 的平行线,过 Q 作 AB、BC 的平行线,过 S 作 BC、AC 的平行线,这 6 条平行线交得六边形 STRUQV ,由上证,易得只有当 点 P 在此六点上时,xyz 取得极小值.由对称性易知,xyz 的值在此六点处相 等. EA CD BS BS 12 12 3 9 SE 1 3 由AC· · =1,得BE=13,x=13· h=13h,y=BEh=13h,z=13h. DB SE 4 3 648 ∴xyz=(13)3h3=2197 3.
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z x

y

H Q D A C

P

TS
l

E

F R U

V Q D C

B

5.(本题 20 分)已知圆 x2+y2=r2(r 为奇数),交 x 轴于点 A(r,0)、B(-r,0),交 y 轴于

C(0,-r)、D(0,r).P(u,v)是圆周上的点,u=pm,v=qn(p、q 都是质数,m、n 都是正整数), 且 u>v.点 P 在 x 轴和 y 轴上的射影分别为 M、N. 求证:|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别为 1、9、8、2.


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