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高考数学大一轮复习配套课时训练:第二篇 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程(含答案)


第8节 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法 函数零点的个数 函数零点所在区间 函数零点的应用

函数与方程 练题感 提知能

题号 3、4、6、7、8、12 1、2、5、9 10、11、13、14、15、16 A组

一、选择题 1.(2013 惠阳一中实验学校模拟)函数 f(x)= -log2x 的零点所在的区 间

为( C )

(A)( , ) (B)( ,1) (C)(1,2) (D)(2,3) 解析:f(x)在(0,+∞)上是减函数,且 f(1)=1>0,f(2)= -1=- <0,则 f(x) 的零点在区间(1,2)内.故选 C. 2.(2013 山东莱州一中月考)函数 f(x)=ln x+ex 的零点所在的区间是 ( A )

(A)(0, ) (B)( ,1) (C)(1,e) (D)(e,+∞) 解析:函数 f(x)=ln x+ex 在(0,+∞)上单调递增,

F( )=ln + =-1+ >0,结合选项知应选 A. 3.(2013 山东临沂市模拟)函数 f(x)=x-2-x 的零点个数为( B (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:由 f(x)=x-2-x=0 得 x=( )x,在同一坐标系中作出函数 y=x,y=( )x 的图象,由图象可知两函数的交点有 1 个,即函数 f(x)=x-2-x 的零点个 数为 1.故选 B. 4.函数 f(x)= (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:当 x≤0 时,令 x2+2x-3=0, 解得 x=-3 或 x=1(舍去), 当 x>0 时,令-2+ln x=0,解得 x=e2, 所以函数 f(x)有 2 个零点,故选 C. 5.(2013 年高考重庆卷)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区 间( A ) (B)(-∞,a)和(a,b)内 的零点个数为( C ) )

(A)(a,b)和(b,c)内

(C)(b,c)和(c,+∞)内 (D)(-∞,a)和(c,+∞)内 解析:∵a<b<c, ∴f(a)=(a-b)(a-c)>0, f(b)=(b-c)(b-a)<0, f(c)=(c-a)(c-b)>0,

∴f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,故选 A. 6.(2013 年高考湖南卷)函数 f(x)=ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+4 的图象的交点个数为( C )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数 f(x)=ln x 与 g(x)=(x-2)2 的图象(如图).由图可得两个函数的图象有 2 个交点.故选 C.

7.(2013 湛江市高考测试)函数 f(x)=(x-1)cos x2 在区间[0,4]上的零 点个数是( C )

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 解析:由 f(x)=0 得 x=1 或 cos x2=0, 由 cos x2=0,得 x2=kπ + (k∈Z); 又 x∈[0,4],因此 0≤x2=kπ + ≤16,- ≤k≤ - , 因此整数 k 可取 0,1,2,3,4, 因此 f(x)在[0,4]上的零点个数是 6,故选 C. 二、填空题 8.(2013 山东枣庄一模)函数 f(x)= 为 . 的零点的个数

解析:当 x≥0 时,由 f(x)=0 得 x+1=0,此时 x=-1 不成立.当 x<0 时,由 f(x)=0 得 x2+x=0,此时 x=-1 或 x=0(不成立舍去).所以函数的零点为 x=-1. 答案:1 9.(2013 惠州市高三第一次模拟)已知函数 f(x)=3x+x-9 的零点为 x0, 则 x0 所在区间为 解析:f( )= + -9<0, F( )= + -9<0,f( )= + -9>0. 答案:[ , ] 10.(2013 惠州市二调)若函数 f(x)=|4x-x2|-a 有 3 个零点,则 a= . .

解析:作出函数 y=|4x-x2|的图象如图所示,若 f(x)有 3 个零点,则函 数 y=|4x-x2|与函数 y=a 的图象有 3 个交点,由图知 a=4.

答案:4 11.(2013 山东即墨市期末)已知函数 f(x)= f(x)-a=0 有两个实根,则实数 a 的取值范围是 且关于 x 的方程 .

解析:f(x)的图象如图,要使方程 f(x)-a=0 有两个实根,即 y=f(x)与 y=a 的图象有两个交点,0<a≤1.

答案:(0,1] 三、解答题 12.判断函数 f(x)=1+4x+x2- x3 在区间(-1,1)内零点的个数,并说明 理由. 解:∵f(-1)=1-4+1+ =- <0, f(1)=1+4+1- = >0, ∴f(x)在区间(-1,1)内有零点. 又 f'(x)=4+2x-2x2=-2(x+1)(x-2), 当-1<x<1 时,f'(x)>0, ∴f(x)在(-1,1)内单调递增, 因此,f(x)在(-1,1)内有且仅有一个零点. 13.已知函数 f(x)=4x+m·2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围, 并求出该零点. 解:f(x)=4x+m·2x+1 有且仅有一个零点, 即方程(2x)2+m·2x+1=0 仅有一个实根, 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0 仅有一个正实根.

当Δ =0 时,m2-4=0,解得 m=2 或 m=-2, 而 m=-2 时,t=1; m=2 时,t=-1(不合题意,舍去), ∴2x=1,x=0 符合题意. 当Δ >0,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有两正根或两负根, 即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意. 综上可知,m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 0. B组 14.(2013 广东广州一模)已知 e 是自然对数的底数,函数 f(x)=ex+x-2 的零点为 a,函数 g(x)=ln x+x-2 的零点为 b,则下列不等式成立的是 ( A )

(A)f(a)<f(1)<f(b) (B)f(a)<f(b)<f(1) (C)f(1)<f(a)<f(b) (D)f(b)<f(1)<f(a) 解析:函数 f(x),g(x)均为定义域上的单调递增函数,且 f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,g(1)=-1<0,g(e)=e-1>0,所以 a∈(0,1),b∈ (1,e),即 a<1<b,所以 f(a)<f(1)<f(b).故选 A. 15.(2013 梅州市质检)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两 个函数,若函数 y=f(x)-g(x)在 x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.

若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取 值范围为( C )

(A)(-∞,-2] (B)[-1,0] (C)(- ,-2] (D)(- ,+∞)

解析:由题意可得 x2-3x+4=2x+m 在 x∈[0,3]上有两个不同的根,即函 数 y=m,y=x2-5x+4,x∈[0,3]的图象有两个不同的交点,作出函数图象 如图,由图可知,当- <m≤-2 时满足要求,故选 C.

16.(1)已知 f(x)=x2+2mx+3m+4,m 为何值时. ①函数有且仅有一个零点; ②函数有两个零点且均比-1 大; (2)若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)①f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有一个零点 ?方程 f(x)=0 有两个相等实根 ?Δ =0,即 4m2-4(3m+4)=0, 即 m2-3m-4=0, ∴m=4 或 m=-1. ②法一 设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2,

则 x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4. 由题意,知

? ? ∴-5<m<-1. 故 m 的取值范围为(-5,-1). 法二 由题意,知

即 ∴-5<m<-1. ∴m 的取值范围为(-5,-1). (2)令 f(x)=0, 得|4x-x2|+a=0, 即|4x-x2|=-a. 令 g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 作出 g(x)、h(x)的图象.

由图象可知,当 0<-a<4, 即-4<a<0 时,g(x)与 h(x)的图象有 4 个交点, 即 f(x)有 4 个零点. 故 a 的取值范围为(-4,0).


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