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直线与平面垂直的判定与性质1


直线与平面垂直的判定与性质 一、选择题 1.两异面直线在平面α 内的射影( ) A.相交直线 B.平行直线 C.一条直线—个点 D.以上三种情况均有可能 2.若两直线 a 与 b 异面,则过 a 且与 b 垂直的平面( ) A.有且只有—个 B.可能存在也可能不存在 C.有无数多个 D.—定不存在 3.在空间,下列哪些命题是正确的( ) ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②

垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行; ④垂直于同—个平面的两条直线互相平行. A.仅②不正确 B.仅①、④正确 C.仅①正确 D.四个命题都正确 4.若平面α 的斜线 l 在α 上的射影为 l′,直线 b∥α ,且 b⊥l′,则 b 与 l( ) A.必相交 B.必为异面直线 C.垂直 D.无法确定 5.下列命题 ①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线; ②若一条直线垂直于平面的斜线,则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影; ③若平面的两条斜线段相等,则它们在同一平面内的射影也相等; ④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面,则它的射影长一定小于线段的长. 其中,正确的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 n4个 6.在下列四个命题中,假命题为( ) A.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直 B.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 C.过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内 D.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 7.已知 P 是四边形 ABCD 所在平面外一点且 P 在平面 ABCD 内的射影在四边形 ABCD 内,若 P 到这 四边形各边的距离相等,那么这个四边形是( ) A.圆内接四边形 B.矩形 C.圆外切四边形 D.平行四边形 8.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面 ABC,PA=8,则 P 到 BC 的距离等于( ) A. 5 B. 2 5 C.3 5 D.4 5 二、填空题 9.AB 是平面α 的斜线段,其长为 a,它在平面α 内的射影 A′B 的长为 b,则垂线 A′A_________. 10.如果直线 l、m 与平面α 、β 、γ 满足:l=β ∩γ ,l⊥α ,m?α 和 m⊥γ ,现给出以下四个结 论: ①α ∥γ 且 l⊥m; ②α γ 且 m∥β ③α β 且 l⊥m; ④α γ 且 l⊥m; 其中正确的为 “________” 写 . ( 出序号即可) 11.在空间四面体的四个面中,为直角三角形的最多有____________个. 12. 如图, 正方形 ABCD, 是正方形平面外的一点, PA⊥平面 ABCD 则在△PAB、 P 且 △PBC、 △PCD、 △PAD、△PAC 及△PBD 中,为直角三角形有_________个.

13.给出以下四个命题 (1)两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线; (2)两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线;

(3)两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线; (4)一个锐角在平面内的射影一定是锐角. 其中假命题的共有_________个. 14.若一个直角在平面α 内的射影是一个角,则该角最大为___________. 三、解答题 15.已知直线 a∥平面α ,直线 b⊥平面α ,求证:a⊥b. 16.如图,在长方体 AC1 中,已知 AB=BC=a,BB1=b(b>a) ,连结 BC1,过 Bl 作 B1⊥BC1 交 CC1 于 E,交 BC1 于 Q,求证:AC⊥平面 EBlD1

17.如图在△ABC 中,已知∠ABC=90°,SA⊥△ABC 所在平面,又点 A 在 SC 和 SB 上的射影分别 是 P、Q.

求证:PQ⊥SC. 18.已知在如图中,∠BAC 在平面α 内,点 P?α ,PE⊥AB,PF⊥AC,PO⊥α ,垂足分别是 E、F、 O,PE=PF,

求证:∠BAO=∠CAO, 19.已知:点 P 与直线 a,试证;过点 P 与 a 垂直的直线共面. 20.四面体 ABCD 的棱 AB⊥CD 的充要条件是 AC2+BD2=AD2+BC2. 四、思考题 对于一个三角形,它的三条高线总相交于—点,而对于一个四面体,它的四条高线是否总相交于一点 呢?若不总相交于一点,则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢?这是一个美丽而非凡的问题,请读者 进行研究拓展. 参考答案 一、选择题 1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.C 8.D 二、填空题 9. a - b 三、解答题
2 2

10.③、④ 11.4 12.5 13.4 14.180°

15.证明:设β 为过 a 的平面,且α ∩β =l. ∵a∥α ,∴a∥l. ∵b⊥l,∴b⊥a. 16.证明:∵AB⊥面 B1C,BC1 为 AC1 在平面 B1C 上的射影,且 B1E⊥BC1,∴由三垂线定理知 B1E⊥AC1. 又∵AA1⊥面 A1C1,AB=BC,A1C1⊥B1D1,A1C1 是 AC1 在面 A1C1 上的射影 ∴由三垂线定理得 AC1⊥B1D1. 又∵B1E∩B1D1=B1, ∴AC1⊥平面 EB1D1. 17.证明:∵SA⊥面 ABC,BC? 面 ABC, ∴SA⊥BC. 又∵AB⊥BC 且 SA∩AB=A, ∴BC⊥面 SAB,AQ? 面 SAB. ∴BC⊥AQ,又 AQ⊥SB,BC∩SB=B. ∵AQ⊥面 SBC. ∴PQ 是斜线 AP 在平面 SBC 上的射影, 又∵AQ⊥SC, ∴由三垂线定理的逆定理可得 PQ⊥SC. 18.证明:∵PO⊥α ,PE=PF, ∴OE=OF, 又∵PE⊥AB、PF⊥AC, ∴OE⊥AB、OF⊥AC. 故 Rt△AOE≌Rt△AOF, ∴∠BAO=∠CAO. 19.证明:如图,在点 P 和直线 a 所在的平面β 内,过点 P 作直线 a 的垂线 b,设垂足为 A.设过点 P 与 β 垂直的直线为 c,则必有 c⊥a,再设由 b、c 确定的平面为α ,则必有 a⊥α . 设 l 是过点 P 与 a 垂直的直线,下证:l?α . 若 l?α ,设由 l 与 c 确定的平面为α ′, 则由 a⊥l,a⊥c,l∩c=P, ∴a⊥α ′,这样平面α 与α ′都是过点 P 与直线 a 垂直的平面.这是一个错误的结论,因此,假设不成 立,故必有 l?α ,也就是说过点 P 与 a 垂直的直线均在平面α 内,于是本题获证.

20.证明:先证必要性:过 B 作 CD 的垂线,垂足 E,连 AE, ∵CD⊥AB, ∴CD⊥平面 ABE, ∴CD⊥AE. ∴AC2=AE2+CE2、BD2=BE2+DE2; 又有 AD2=AE2+DE2、BC2=BE2+CE2. ∴AC2+BD2=AE2+BE2+CE2+DE2, 而 AD2+BC2=AE2+BE2+CE2+DE2. ∴AC2+BD2=AD2+BC2. 再证充分性:过 A 点作 CD 的垂线,垂足设为 F,于是有: AD2=AF2+DF2、BC2=BE2+CE2; AC2=AF2+CF2、BD2=BE2+DE2; ∵AD2+BC2=AC2+BD2; ∴AF2+DF2+BE2+CE2=AF2+CF2+BE2+DE2 ∴DF2+CE2=CF2+DE2,

∴DF2―CF2=DE2―CE2, ∴(DF+CF) (DF-CF)=(DE+CE) (DE-CE) , ∴DF-CF=DE-CE. ∴DF+CE=DE+CF. ∴E、F 只能重合于一点,故有 CD⊥平面 ABE, ∴CD⊥AB.

四、思考题 我们称:三对对棱分别互相垂直的四面体为对棱垂直的四面体. 可以证明:对棱垂直的四面体的四条高线相交于一点,反过来,若一个四面体,若它的四条高线相交于一 点,则该四面体一定是对棱垂直的四面体.


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