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高一数学必修四 《1.1.1任意角》课件


第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角

1.结合具体实例,认识角的推广的必要性. 2.初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角,并能熟练 写出与已知角终边相同的角的集合.

复习回顾
什么是角?范围是多大? 定义:有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 角的范围:0°~360°

>
初中定义


顶 点



跳水运动员向内、向外转体两周半,这是多大角度?

体操中有转体两周或
转体两周半,如何度 量这些角度呢?

经过1小时,秒针、分针各转了多少度?

在齿轮传动中,被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.

一般地,一条射线绕其端点旋转,既可以按逆时针方向
旋转,也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其 端点按逆时针方向旋转60°所形成的角,与按顺时针方向 旋转60°所形成的角是否相等?

一、任意角的概念
这些例子不仅不在0°~360°范围内,而且有方向,如何 解决这一问题? 有必要将角的概念及范围推广 想想用什么办法才能推广到任意角? 关键是用运动的观点来看待角的变化.

1.角的概念的推广
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位
置所成的图形叫做角.

2.角的构成要素

B
终边

方向 始边

O
顶点

A

规定: 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角; 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角;

如果一条射线没有作任何旋转,则称它形成了一个零角.
这样,我们就把角的概念推广到了任意角.

二、象限角
思考1:为了进一步研究角的需要,我们常在直角坐标系 内讨论角,并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非

负半轴重合,那么对一个任意角,角的终边可能落在哪些 y 位置?

o

x

x

思考2: 如果角的终边在第几象限,我们就说这 个角是第几象限的角;如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何象限,或称这个角为轴 线角.那么下列各角:-50°,405°,210°, 200°,-450°分别是第几象限的角? -450°

y x o

y 210° x o 405° 第一象限角 y x o -450° 轴线角

y x

-50°

o 第三象限角

第四象限角 y
x

o
-200° 第二象限角

思考3:锐角与第一象限的角是什么关系? 钝角与第二象限的角是什么关系? 直角与轴线角是什么关系? 锐角一定是第一象限的角,第一象限角不一定是锐角. 钝角一定是第二象限的角,第二象限角不一定是钝角. 直角一定是轴线角,轴线角不一定是直角.

思考4:第二象限的角一定比第一象限的角大吗? 象限角只能反映角的终边所在象限,不能反映角的 大小.

三、终边相同的角
思考1: -32°,328°,-392°是第几象限的角?
这些角有什么内在联系?

y
328°

o -32° -392°

x

思考2:所有与-32°角终边相同的角,连同-32° 角在内,可构成一个集合S,你能用描述法表 示集合S吗?
S= β β=-32o +k ?360o ,k ? Z

?

?

思考3:一般地,所有与角α终边相同的角,连同角 α在内所构成的集合S可以怎样表示?

S={β|β=α+k·360°,k∈Z},
即任一与α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个 周角的和.

例1 在0°~360°范围内,找出与-950°12′角终边

相同的角,并判定它是第几象限角.

思考4:终边在x轴正半轴、负半轴,y轴正半轴、
负半轴上的角分别如何表示?

x轴正半轴:α= k·360°,k∈Z ;
x轴负半轴:α= 180°+k·360°,k∈Z ; y轴正半轴:α= 90°+k·360°,k∈Z ; y轴负半轴:α= 270°+k·360°,k∈Z .

例2 写出终边在y轴上的角的集合. 解:在0°~360°范围内,终边在y轴上的角有两 个,即90°,270°角(图1.1-6).因此,所有与 90°角终边相同的角构成集合

S1={β|β=90°+k·360°.k∈Z}.
而所有与270°角终边相同的角构成集合 S2={β|β=270°+k·360°.k∈Z}.

于是,终边在y轴上的角的集合 S=S1∪S2 ={β|β=90°+2k·180°,k∈Z }

∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z }
={β|β=90°+2k·180°,k∈Z } ∪{β|β=90°+(2k+1)180°,k∈Z } ={β|β=90°+n·180°,n∈Z }

例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合 不等式-360°≤α <720°的元素β 写出来. 【解析】S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}. S中适合不等式-360°≤β<720°的元素有:

-315°,-135°,45°,225°,405°,585°.

1.下列命题正确的是( C A.终边相同的角一定相等



B.第一象限角都是锐角
C.锐角都是第一象限角 D.小于90°的角都是锐角 2.A={小于90°的角},B={第一象限角},则A∩B=( D ) A.{锐角} C.{第一象限角} B.{小于90°的角} D.以上都不对

3.已知角α 是第三象限角,则角-α 的终边在( B ) A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4.已知角α 的终边在下图中阴影所表示的范围内(不包

?? ? ? k ?180? ? ? ? 180? ? ? ? k ?180?, k ? Z ? 括边界),那么α ∈__________________________

y

O

θ

x

1. 角的定义; 2. 角的分类:正角、零角、负角; 3. 象限角; 4. 终边相同的角的表示法.

把学问过于用作装饰是虚假;完全依学问上

的规则而断事是书生的怪癖。
——培根


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