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第41讲 合情推理与演绎推理


1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等 进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中 的作用.
2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基 本模式,并能运用它们进行一些简单推理.

1.归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概 括出一般结论的推理,称为归纳推理.归纳推理是由 部分到整体,由个别到一般的推理.显然归纳的个别 情况越多,越具有代表性,推广的一般性命题也就越 可靠,应用归纳推理可以获得新的结论.

2.类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些 已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称 为类比推理.类比推理是由特殊到特殊的推理.类比 的结论不一定为真,在一般情况下,如果类比的相似 性越多,相似性之间越相关,那么类比得到的结论也 就越可靠. 

3.演绎推理

?1? 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论
的推理方法叫做演绎推理,它是一种由一般到特殊的 推理过程,是一种必然性推理,演绎推理的前提与结 论之间有蕴涵关系,因而,只要前提是真实的,推理 的形式是正确的,那么结论必定是真实的,但是错误 的前提可能导致错误的结论.

? 2“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ?
ⅰ大前提—已知的一般原理; () (ⅱ)小前提—所研究的特殊情况; (ⅲ)结论—根据一般原理,对特殊情况做出判断.

1.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面, 则直线平行于平面内所有直线;已知直线 b?平面 α, 直线 a?平面 α,直线 b∥平面 α,则直线 b∥直线 a” 的结论显然是错误的,这是因为( A ) A.大前提错误 C.推理形式错误 B.小前提错误 D.非以上错误

2.已知 a, c∈R, b, 则下列推论中正确的是( A.a>b?am >bm
3 3 2 2

)

a b B.c > c?a>b 1 1 D.a >b ,ab>0?a<b
2 2

1 1 C.a >b ,ab>0?a<b

【解析】 A 中注意 m=0 时不成立,B 中当 c<0 时不 成立,D 中注意 a,b 的符号二者可同正同负,只需|a|>|b| 即可.

an 3.已知数列{an}的第一项 a1=2, an+1= 且 (n 1+an =1,2,3,?),则数列{an}的通项公式为( 1 A.an=n 2 C.an= 2n-1 n B.an= n+1 1 D.an= 2n-1 )

an+1 1 1 【解析】 因为 = a ,所以 =a +1, an+1 an+1 n n 1 1 1 1 所以{a }是以a =2为首项,以 d=1 为公差的等差数列, n 1 1 2n-1 2 故a = 2 ,则 an= . 2n-1 n

4.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法 则: ①“mn=nm”类比得到“a· b=b· a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)c=a· c+b· c”; ③“t≠0,mt=nt?m=n”类比得到“c≠0,a· c=b· c? a=b”; ④“|m· n|=|m|· |n|”类比得到“|a· b|=|a|· |b|”. 以上类比得到的正确结论的序号是 正确的结论的序号) ①② .(写出所有

【解析】 由向量的数量积的定义知,a· b=|a||b|cos 〈a,b〉=b· a,而 c≠0,a· c=b· 是两个数相等,与向 c 量 a=b 无关.

1 1 23 1 1 1 26 5.观察下列不等式:1×22<(3) ,1×22×33<(4) , 1 1 1 1 2 10 1×22×33×44<(5) ,?归纳得出一个更一般的结论: 1 1 1 1 2 n?n+1? 对 n∈N*,n>1,有 1×22×33×?×nn<( ) . n+1 2

1 1 1 1 【解析】依题意,不等式的左边为1×22×33×?×nn, 2 右边式子的底数为 . n+1 当 n=2 时,其指数为 3;当 n=3 时,其指数为 6, n?n+1? 依次类推可得指数为 2 . 1 1 1 1 2 n?n+1? 故填1×22×33×?×nn<( ) 2 . n+1

一 归纳推理及应用
x 【例 1】已知函数 f(x)= ,设 f1(x)=f(x),fn(x) 1-x =fn - 1[fn - 1(x)](n>1,且 n∈N*),则 f3(x)的表达式为 __________, 猜想 fn(x)(n∈N*)的表达式为____________;

(2)在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第 一件首饰是 1 颗珠宝,第二件首饰是由 6 颗珠宝构成图 1 所示 的正六边形,第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正 六边形,第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边 形,第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律加一定数量的珠 宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第 6 件首饰上应有 ______颗珠宝, 则前 n 件首饰所用珠宝总数为______颗. (结果 用 n 表示)

1 1-x x 【解析】f2(x)=f1[f1(x)]= x =1-2x, 1- 1-x x 1-2x x f3(x)=f2[f2(x)]= 2x =1-22x,?. 1- 1-2x x * 由此猜想 fn(x)= -1 (n∈N ). 1-2n x

(2)设第 i 件首饰的珠宝数为 ai,则珠宝数构成了一个数列 {an},并设其前 n 项和为 Sn,则有 a1=1,a2=a1+5=6,a3= a2+5+4=15,a4=a3+5+2×4=28,a5=a4+5+3×4=45, a6=a5+5+4×4=66,?,an=an-1+5+4(n-2),

所以 an=a1+5(n-1)+4[1+2+3+?+(n-2)]=2n2-n, 所以 Sn=2(12+22+32+?+n2)-(1+2+3+?+n) n?n+1??2n+1? n?n+1? =2× - 2 6 n?n+1? = 6 (4n+2-3) n?n+1??4n-1? = . 6

【点评】归纳常以观察开始,观察资料,对有限的资 料作归纳整理,提出带有规律性的猜想,是数学研究的基 本方法之一.

素材1

观察下列两式: 3 ①sin 20° +cos 50° +sin20°cos50° 4; · =
2 2

3 ②sin 15° +cos 45° +sin15°cos45° 4. · =
2 2

分析上面的两式的共同特点,写出反映一般规律的等式, 并证明你的结论.

【解析】推广结论: 3 sin α+cos (α+30° )+sinα· cos(α+30° 4. )=
2 2

证明如下: sin2α+cos2(α+30° )+sinα· cos(α+30° ) 3 2 1 =4sin α+[cos(α+30° 2sinα]2 )+ 3 2 1 =4sin α+(cosαcos30° -sinαsin30° 2sinα)2 + 3 2 3 2 3 =4sin α+4cos α=4.



类比推理及应用

【例 2】填表:直角三角形与直角四面体的性质类比

【解析】在四面体 SABC 中,三个平面 SAB、平面 SBC、平 面 SAC 两两垂直, S 在底面上的射影为 O, 点 则有类似结论: (1)点 O 在△ABC 内. (2)在△ABC、△ABS、△SBC、△SAC 中,△ABC 的面 积最大. (3)S2 SAB=S△OAB·△ABC, S △ S2 SAC=S△OAC·△ABC, S △ S2 SBC=S△OBC·△ABC. S △ 1 1 1 1 (4)SO2=SA2+SB2+SC2.

以上结论的证明如下: (1)由题设 SA,SB,SC 两两垂直,则三角形 SBC 为 直角三角形,则斜边 BC 边上的高 SD 在三角形 SBC 内, 即点 D 在 BC 上,连接 AD,则 BC⊥平面 SAD,则平面 ABC⊥平面 ASD,过点 S 在面 SAD 内作 SO⊥AD 于 O, 则 SO⊥平面 ABC,即点 S 在平面 ABC 的射影为 O; 由于三角形 SAD 为直角三角形, 则斜边 AD 上的高的 垂足 O 在线段 AD 上,即 O 在三角形 ABC 内.

1 1 (2)由于 S△SBC=2BC· SD,S△ABC=2BC· AD. 因为三角形 SAD 为直角三角形,则斜边 AD>SD, 故 S△ABC>S△SBC. 同理可证:S△ABC>S△SBA,S△ABC>S△SAC.

1 2 2 (3)S△SBC=4BC · , SD
2

而在直角三角形 ASD 中,SD2=AD· DO, 1 2 2 1 2 1 1 所以 S△SBC=4BC · =4BC · DO=2BC· SD AD· AD×2BC· DO,
2

因此,S2 SBC=S△OBC·△ABC. S △ 同理可证 S2 SAC=S△OAC·△ABC,S2 SAB=S△OAB·△ABC. S S △ △

(4)在直角三角形 SAD 中,由于 SO⊥AD 于 O, 1 1 1 则SO2=SA2+SD2. 在直角三角形 SBC 中,由于 SD⊥BC 于 D, 1 1 1 1 1 1 1 则SD2=SB2+SC2,因此SO2=SA2+SB2+SC2.

【点评】类比推理的关键是找到合适的类比对象,平 面几何中的一些定理、公式、结论等,可以类比到空间立 体几何中,得到类似结论,一般平面中的一些元素与空间 中的一些元素的类比列表如下:

素材2

(2011· 淮南模拟)请用类比推理完成下表:

【分析】 ①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比 对象;②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对 象;③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象;④三 角形的面积与三棱锥的体积是类比对象;⑤三角形的面积公 式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之 一”是类比对象.

【解析】 经分析可知:

故第三行空格应填:三棱锥的体积等于其内切球半径与三 棱锥表面积的乘积的三分之一.

【点评】类比推理是获取新知识的重要手段之一.在学 习中要注意通过类比去发现、探索新问题.

三 演绎推理及应用
【例 3】已知元素为实数的集合 S 满足下列条件: ①1、0?S; 1 ②若 a∈S,则 ∈S. 1-a (1)若{2,-2}?S,求元素个数最少的集合 S; (2)若非空集合 S 为有限集,则你对集合 S 的元素个 数有何猜测?并证明你的猜测正确.

【解析】 1

1 1 1 (1)2∈S? =-1∈S? =2 ∈S? 1-2 1-?-1?

1 1 1 3 1 -2∈S? =3∈S? 1=2∈S; 1=2∈S? 3= 1-?-2? 1-2 1-3 1-2 -2∈S. 所以使{2,-2}?S 的元素个数最少的集合 S 为{2,-1, 1 1 3 2,-2,3,2}.

(2)非空有限集 S 的元素个数是 3 的倍数.证明如下: 设 a∈S,且 a≠0,1, a-1 1 1 则 a∈S? ∈S? 1= a ∈S 1-a 1-a 1 ? =a∈S,(*) a-1 1- a

1 由于 a= ?a2-a+1=0(a≠1),但 a2-a+1=0 无实 1-a a-1 a-1 1 1 数根,故 a≠ ,同理 ≠ a , a ≠a, 1-a 1-a a-1 1 所以{a, , a }?S. 1-a a-1 1 若存在 b∈S,而 b?{a, , a }, 1-a 1 b-1 1 a-1 1 b-1 则{b, , }?S 且{a, , }∩{b, , } 1-b b 1-a a 1-b b =?.

b-1 a-1 1 1 若{b, , b }中有元素属于{a, , a }. 1-b 1-a a-1 1 则利用前述的(*)式可知 b∈{a, , a }, 1-a a-1 b-1 1 1 于是{a, , a ,b, , b }?S. 1-a 1-b 上述推理还可继续,由于 S 为有限集,故上述推理有限 步后中止. 所以 S 中元素个数为 3 的倍数.

【点评】 信息迁移问题也称信息给予题, 构成形式是设 计一个陌生的数学情境, 要求学生在阅读理解的基础上运用 所学知识和方法灵活地进行迁移, 进而解决问题的题型. 由 于信息迁移题能有效地考查学生的自学水平和思维能力, 因 而一直受到广大学生、 中学老师的重视, 全国各地的高考题 中, 涌现出一批信息迁移试题, 预计下一步会加强对学生迁 移能力的考查,并且有可能与其他知识联系,综合考查.

素材3

已知函数 f(x)=x2+2bx+c(c<b<1).若函数 f(x)的一 个零点为 1,且函数 y=f(x)+1 有零点. (1)证明:-3<c≤-1 且 b≥0; (2)若 m 是函数 y=f(x)+1 的一个零点,判断 f(m-4) 的正负并加以证明.

【解析】(1)证明:因为 f(x)的一个零点为 1, c+1 所以 f(1)=0,即 1+2b+c=0,即 b=- 2 . c+1 1 又因为 c<b<1,于是 c<- 2 <1,得-3<c<-3. 函数 y=f(x)+1 有零点, 即方程 x2+2bx+c+1=0 有实根,

故 Δ=4b2-4(c+1)≥0, 即(c+1)2-4(c+1)≥0,解得 c≥3 或 c≤-1. 1 又-3<c<-3,所以-3<c≤-1. c+1 由 b=- 2 知 b≥0.

(2)f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1), 因为 m 是函数 y=f(x)+1 的一个零点, 所以 f(m)=-1. 从而 f(m)=(m-c)(m-1)<0,所以 c<m<1, 所以 c-4<m-4<-3<c. 所以 f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0,即 f(m-4)的 符号为正.

【点评】 “三段论”式的演绎推理在高考中是常考点, 也是证明题的常用方法,一定要保证大前提正确,且小前 提是大前提的子集关系,这样经过正确推理,才得到正确 结论;常见易错点是“凭空想象、思维定势、想当然、凭 空捏造”大前提,从而出错,或者小前提与大前提“不兼 容”“不包含”“互补”而出错.

备选例题

(2010· 山东烟台)诺贝尔奖发放方式为:每年一次,把 奖金总额平均分成 6 份,奖励在 6 项(物理、化学、文学、 经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有贡献的人, 每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半, 另一半利息用于基金总额,以便保证奖金数逐年增加.假 设基金平均年利率为 r=6.24%.资料显示:1999 年诺贝尔 奖发放后基金总额约为 19800 万美元, f(x)表示为第 x(x 设 ∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999 年记为 f(1), 2000 年记为 f(2),?,依次类推).

(1)用 f(1)表示 f(2)与 f(3),并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式; (2)试根据 f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009 年度 诺贝尔奖各项奖金高达 150 万美元”是否为真,并说明理 由. (参考数据:1.062410 =1.83,1.031210 =1.36,1.03129 = 1.32)

【解析】 (1)由题意知,f(1)=19800, 1 f(2)=f(1)(1+6.24%)-2f(1)· 6.24%=f(1)(1+3.12%), 1 f(3)=f(2)(1+6.24%)-2f(2)· 6.24%=f(1)(1+3.12%)2, ?? 所以 f(x)=19800(1+3.12%)x 1(x∈N*).


(2)2008 年诺贝尔奖发放后基金总额为 f(10)=19800(1+3.12%)9=26136, 2009 年度诺贝尔奖各项金额为 11 6.24%≈136(万美元). 6·f(10)· 2 与 150 万美元相比少了约 14 万美元,所以是假新闻.

1.归纳推理的一般步骤: ①通过观察一系列情形发现某些相同的性质;

②从已知的相同的性质中推出一般性命题.
2.类比推理的一般步骤: ①找出两类事物之间的相似性或一致性; ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, 得出一个明确的结论.

注:归纳推理与类比推理都属于合情推理,两种 推理所得的结论未必是正确的(例如费马猜想就被 大数学家欧拉推翻了),但它们对于发现新的规律 和事实却是十分有用的.

3.“三段论”推理是演绎推理的一般模式,它包 括:

①大前提:已知的一般性原理;
②小前提:所研究的特殊情况; ③结论:根据一般原理,对特殊情况做出的判 断. 也可表示为:

大前提:M是P,小前提:S是M,结论:S是P.
用集合的知识可以理解为:若集合M的所有元素 都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都 具有性质P.


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