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厦门市2012-2013学年(上)高二质量检测数学(理科)(含答案)


厦门市 2012-2013 学年(上)高二质量检测

数学(理科)试题参考答案
A 卷(共 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5:BAADB 6-10:CDBCD 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

n ?n ?1 12. ( ?3, ??) 2 三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分. 15. (本题满分 10 分)
11.

2

13. p : x ? A , (2,3) ? A

14. 13

解: (Ⅰ)? A ?1, 2 ? 在抛物线 C 上, ? 22 ? 2 p ,? p ? 2 。 ┄┄┄┄┄┄┄┄3 分

? 抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 (Ⅱ)直线 l 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 ?2 x ? y ? 4 ? 0 联立 ? 2 消去 y ,得 x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ? y ? 4x 解法一:解得, x1 ? 1, x2 ? 4 ? B(4, ?4) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 又焦点为 F (1, 0) ,
? FA ? FB ? 2 ? (4 ? 1)2 ? (?4) 2 ? 7 。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分
解法二:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 5 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 又 抛物线 C 准线方程为 x ? ?1

? FA ? FB ? ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? x1 ? x2 ? 2 ? 7 。 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 z
16. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) SA ? 面 ABCD , ?BAD ? 90 ,
E
0

S

建立空间直角坐标系 A ? xyz ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

A

D

y

BC ? 1 , SA ? AB ? 2 , AD ? 3 ,
B C

S (0,0,2), B(2,0,0), C (2,10), D(0,3,0)
则 E (1,

x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分

1 5 ,1) , SB ? (2,0,?2), DE ? (1,? ,1) 2 2 5 SB ? DE ? 2 ? 1 ? 0 ? (? ) ? (?2) ? 1 ? 0 2

? SB ? DE ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
(Ⅱ)设面 SDC 的法向量为 m ? ( x 0 , y 0 , z 0 )

?

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分

SC ? (2,1,?2), CD ? (?2,2,0)

? ?SC ? m ? 0 ? ? ? ?CD ? m ? 0 ?

即?

?2 x 0 ? y 0 ? 2 z 0 ? 0 ?? 2 x 0 ? 2 y 0 ? 0

取 x0 ? 1 得面 SDC 的一个法向量为 m ? (1,1, ) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 又面 ACD 的一个法向量为 AS ? (0,0, 2)

?

3 2

? ? AS ? m 3 3 17 cos ? AS , m ?? ? ? 17 ? 17 AS ? m

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分

? 二面角 S ? CD ? A 的余弦值为
17. (本小题满分 12 分)

3 17 17

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

解: (Ⅰ)? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4bc cos 2 B ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? 4bc cos 2 B 由余弦定理有 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac cos B , ∴ 2ac cos B ? 4bc cos B , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
2

?ABC 是锐角三角形, cos B ? 0 , ∴ a ? 2b cos B ∴ sin A ? 2sin B cos B ,得 sin A ? sin 2 B ∴ A ? 2B 或 A ? 2B ? ? , ∵ b ? c ,即 B ? C ,∴ A ? 2 B ? ? 舍去,

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分

? A ? 2 B (没有讨论扣 1 分) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 a b (Ⅱ)若 b ? 1 , ? ? a ? 2cos B ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 sin A sin B (解法一)? ?ABC 是锐角三角形,如图,
c ? BD ? DA , BD ? a cos B ? 2cos 2 B , DA ? b cos A
∴ c ? 2 cos 2 B ? cos A ? 4cos 2 B ? 1 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 ∴周长 l ? 4 cos 2 B ? 2cos B ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分
C

? ?ABC 是锐角三角形 ? ∴ ? c ? ? ? A ? B ? ? ? 3B ? 0 2


A ? 2B ?

? 2

B

D

A

2 3 ? ? ?B? ? ? cos B ? 6 4 2 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分

∴ 2 ? 2 ? l ? 3 ? 3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 ∴ ?ABC 的周长的取值范围为 (2 ? 2,3 ? 3) 。 (解法二)由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? 4cos 2 B ? 1 ? 4 cos B cos(2 B ? B) 化简。

B 卷(共 50 分)
四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

1 2 2 20. ( x ? 2) ? y ? 4( x ? 0) 2 五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分, 22. (本题满分 10 分)
18.

30

0

19.

21.

3

解: (Ⅰ)设椭圆的标准方程为 依题意得 b ? c ? 1 ,
a ? 2c ? 2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分

? 椭圆的标准方程为
/

y2 ? x 2 ? 1 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 2

(Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? x ? b , A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

?y ? x ? b ? 2 2 2 消去 y 得 3 x ? 2bx ? b ? 2 ? 0 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 ?y 2 ? ? x ?1 ?2
? ? 4b 2 ? 12(b 2 ? 2) ? ?8b 2 ? 24 ,令 ? ? 0得b 2 ? 3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

x1 ? x 2 ? ?

2b b2 ? 2 , x1 x 2 ? 3 3
2b 2 b2 ? 2 ) ? 4? 3 3

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 2 ? (?

? 8b 2 ? 24 ? 2? ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 9
C 到直线 l / 的距离 d ?

2 2 ?b
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

2

? ?ABC为等边三角形, d ? ?
2 2 ?b 2 ?

3 AB 2

3 ? 8b 2 ? 24 ? 2? , 2 9

两边同时平方 整理得11b 2 ? 12 2b ? 0 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分

? b ? 0或b ?

12 2 。 11 12 2 .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 11

所求直线 l / 的方程为 y ? x 和 y ? x ? 23. (本题满分 12 分) 解:由题意知 f ( n) ? 50n ? [12n ?

n(n ? 1) ? 4] ? 72 2
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

? ?2n 2 ? 40n ? 72

(Ⅰ)由 f (n) ? 0 ,即 ?2n 2 ? 40n ? 72 ? 0 解得 2 ? n ? 18 。 由 n ? N * 知,从第三年开始盈利. (Ⅱ)方案①:年平均纯利润 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分

f ( n) 36 ? 40 ? 2(n ? ) ? 16 当且仅当 n=6 时等号成立. n n
2

故方案①共获利 6×16+48=144(万元) ,此时 n=6┄┄┄┄┄8 分 方案②: f ( n) ? ?2( n ? 10) ? 128. 当 n=10, f ( n) max ? 128. 故方案②共获利 128+16=144(万元)┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分 比较两种方案,获利都是 144 万元,但由于第①种方案只需 6 年,而第②种方案需 10 年,故选择第 ①种方案更合算. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 24. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? a n ? 2n ? 1, 则有a n ?1 ? a n ? 2( n ? N )
?

? 数列 {an } 是“ M 类数列” ,它对应的常数 p、q 分别为 1、 。 ┄┄┄┄2 分 2
? bn ? 2 ? 3 n , 则有bn?1 ? 2 ? 3 n?1 ? 3bn (n ? N ? )

? 数列 {bn } 是“ M 类数列” ,它对应的常数 p、q 分别为 3、 .┄┄┄┄┄┄4 分 0
(Ⅱ)①? a n ? a n ?1 ? 3t ? 2 ( n ? N ) ,
? a2 ? a3 ? 3t ? 22 , a4 ? a5 ? 3t ? 24 ,
n *

……
a2012 ? a2013 ? 3t ? 22012

? S 2013 ? a1 ? (a 2 ? a3 ) ? (a 4 ? a5 ) ? ? ? (a 2012 ? a 2013 )
? 2 ? 3t ? 2 2 ? 3t ? 2 4 ? ? 3t ? 2 2012
? 2 ? t (2 2014 ? 4)
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

②若数列 {an } 是“ M 类数列” ,则存在实常数 p、q ,使得

a n?1 ? pa n ? q 对任意 n ? N ? 都成立,且 a n? 2 ? pa n?1 ? q(n ? N ? ) 也成立 ? a n ?1 ? a n ? 2 ? p (a n ? a n?1 ) ? 2q
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分

? 3t ? 2 n?1 ? p ? 3t ? 2 n ? 2q 对任意 n ? N ? 恒成立

? t ( p ? 2) ? 0, q ? 0 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分
当 p ? 2, q ? 0时,a n ?1 ? 2a n , a n ? 2 n , t ? 1 ,满足条件 当 t ? 0, q ? 0时,a n ?1 ? ? a n , a n ? 2( ?1)
n ?1

, p ? ?1 满足条件

综上, 当且仅当 t ? 1 或 t ? 0 时, 数列 {an } 是 M 类数列” 对应实常数 p、q 分别为 2,0 或 ?1,0 。 ┄ “ , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分


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