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《创新设计》2014届高考数学人教版A版(文科)第一轮复习方案课时作业:第13讲 变化率与导数、导数的运算


课时作业(十三) [第 13 讲

变化率与导数、导数的运算]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 1.[2012· 潍坊一中测试] 函数 y=x2cosx 的导数为( ) A.y′=x2cosx-2xsinx B.y′=2xcosx+x2sinx C.y′=2xcosx-x2sinx D.y′=xco

sx-x2sinx 2.[2012· 汕头质量测评] 设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行, 则 a=( ) 1 A.1 B. 2 1 C.- D.-1 2 1+lnx 3.[2012· 昆明一中三模] 函数 f(x)= 在(1,1)处的切线方程是( ) x A.x=1 B.y=x-1 C.y=1 D.y=-1 4.已知函数 f(x)=-x3+ax-4(a∈R),若函数 y=f(x)的图象在点 P(1,f(1))处的切线的 π 倾斜角为 ,则 a=________. 4

能力提升 1 5.已知某物体的运动方程是 s= t3-6t2+32t(t 表示时间,s 表示位移),则瞬时速度为 3 0 的时刻是( ) A.2 s 或 4 s B.2 s 或 16 s C.8 s 或 16 s D.4 s 或 8 s 6.[2012· 新疆适应性检测] 下列曲线的所有切线构成的集合中,切线斜率恒大于零的曲 线是( ) A.y=sinx B.y=cosx C.y=x2 D.y=ex 7.[2012· 开封二模] 设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y =2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的方程为( ) A.y=4x+1 B.y=2x+4 C.y=4x D.y=4x+3 8.已知直线 y=kx 与曲线 y=lnx 有公共点,则 k 的最大值为( )

1 A.1 B. e 2 2 C. D. e e 9.[2013· 太原五中月考] 已知函数 f(x)的图象如图 K13-1 所示,f′(x)是 f(x)的导函数, 则下列数值排序正确的是( )

图 K13-1 A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3) 1 10.若对任意 m∈R,直线 x+y+m=0 都不是曲线 f(x)= x3-ax 的切线,则实数 a 的 3 取值范围是________. π π 11.已知函数 f(x)=f′? ?sinx+cosx,则 f? ?=________. ?2? ?4? 12.若曲线 f(x)=ax5+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 13.已知 f1(x)=cosx,且 fn+1(x)=f′n(x)(n∈N*),则 f2 014(x)=________. 14.(10 分)求曲线 f(x)=x3-3x2+2x 过原点的切线方程.

15 15.(13 分)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ x-9 都相切,求 a 的值. 4

难点突破 - 16.(12 分)设曲线 C:y=-lnx(0<x≤1)在点 M(e t,t)(t≥0)处的切线为 l. (1)求直线 l 的方程; (2)若直线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为 S(t),求 S(t)的最大值.

课时作业(十三) 【基础热身】 1.C [解析] 由导数的计算公式得 y=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx.故选 C. 2.A [解析] y′=2ax,依题意得 k=y′|x=1=2a=2,解得 a=1.故选 A. 1 ·x-(1+lnx) x -lnx 3.C [解析] f′(x)= = 2 ,所以 k=f′(1)=0,所以切线方程为 y x2 x =1.故选 C. π 4.4 [解析] f′(x)=-3x2+a,y=f(x)的图象在点 P 处的切线的倾斜角为 ,即 f′(1) 4 π =tan ,所以-3+a=1,解得 a=4. 4 【能力提升】 5.D [解析] 瞬时速度 v=s′=t2-12t+32,令 v=0,可得 t=4 或 8.故选 D. 6.D [解析] 这四个函数的导函数中,只有 y=ex 的导函数大于 0 恒成立,即切线斜率 恒大于零.故选 D. 7.C [解析] 因为 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,所以 g′(1)=2. 又 f′(x)=g′(x)+2x,所以 f′(1)=g′(1)+2=4.故 y=f(x)在点(1,f(1))处切线斜率为 4. 又点(1,g(1))在切线 y=2x+1 上,所以 g(1)=3,所以 f(1)=g(1)+12=4,所以曲线 y =f(x)在点(1,f(1))处的切线的方程为 y-4=4(x-1),即 y=4x.故选 C. 8.B [解析] 从函数图象知当直线 y=kx 与曲线 y=lnx 相切时,k 取最大值. 1 1 1 1 1 1 y′=(lnx)′= =k,x= ,所以切点坐标为 ,ln ,切线方程为 y-ln =kx- , x k k k k k 1 又切线过原点(0,0),代入方程解得 lnk=-1,k= .故选 B. e 9.B [解析] 由图可知,图象上各点的切线斜率随着 x 的不断增大而减小,所以点(2, f(3)-f(2) f(2))处切线的斜率大于点(3,f(3))处的切线的斜率,即 f′(2)>f′(3),且 f′(3)< = 3-2 f(3)-f(2)<f′(2).故选 B. 10.(-∞,1) [解析] 直线 x+y+m=0 的斜率为-1,依题意得关于 x 的方程 f′(x)= 2 x -a=-1 没有实数解,因此,a-1<0,即 a<1. π π π π 11.0 [解析] f′(x)=f′ cosx-sinx,令 x= ,则 f′ =-sin =-1, 2 2 2 2 π π π 所以 f(x)=-sinx+cosx,所以 f =-sin +cos =0. 4 4 4 12.(-∞,0) [解析] 曲线 f(x)=ax5+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,即 f′(x)=0 有解. 1 1 又因为 f′(x)=5ax4+ ,所以方程 5ax4+ =0 有解.所以 5ax5=-1 有解. x x 又因为 x>0,所以 a<0.故实数 a 的取值范围是(-∞,0). 13. -sinx [解析] f1(x)=cosx,2(x)=-sinx,3(x)=-cosx,4(x)=sinx,5(x)=cosx, f f f f …, * 可以看出,fn+1(x)=fn′(x)(n∈N )的表达式呈现周期性变化,周期为 4,所以 f2 014(x)=f2 012+ 2(x)=f2 (x)=-sinx. 14.解:f′(x)=3x2-6x+2,设切线的斜率为 k. (1)当切点是原点时 k=f′(0)=2,f(0)=0, 所求的切线方程为 y=2x. (2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0)(x0≠0), 2 则有 y0=x3-3x0+2x0,k=f′(x0)=3x2-6x0+2,① 0 0 y0 2 又 k= =x0-3x0+2,② x0 3 y0 1 由①②得 x0= ,k= =- . 2 x0 4

1 所以所求曲线的切线方程为 y=- x. 4 15.解:设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x3), 0 2 3 所以切线方程为 y-x3=3x2(x-x0),即 y=3x0x-2x0, 0 0 3 又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0= . 2 15 25 当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax2+ x-9 相切可得 a=- ; 4 64 3 27 27 15 当 x0= 时,由 y= x- 与 y=ax2+ x-9 相切可得 a=-1. 2 4 4 4 25 所以 a=-1 或- . 64 【难点突破】 1 16.解:(1)因为 y′=(-lnx)′=- (0<x≤1), x - 所以在点 M(e t,t)处的切线 l 的斜率为-et, - 故切线 l 的方程为 y-t=-et(x-e t), 即 etx+y-1-t=0. t+1 (2)令 x=0,得 y=t+1;再令 y=0,得 x= t . e t+1 1 所以 S(t)= (t+1) t (t≥0). 2 e 1 -t 从而 S′(t)= e (1-t)(1+t). 2 因为当 t∈[0,1)时,S′(t)>0; 当 t∈(1,+∞)时,S′(t)<0, 2 所以 S(t)的最大值为 S(1)= . e


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