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答案 选修1-1(2-1)“椭圆”单元测试题(1)


椭圆
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. p 是椭圆 设 A.4 2
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t /: w .x t .c /w /x h w p k y m j g o c

x2 y 2 + = 1 上的点. F1,F2 是椭圆的两个焦点, PF1 + PF2 等于 若 则 ( 16 25
B.5
2



C.8

D.10 )

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如果 x + ky = 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是(
2

A

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(0,+∞ )

B

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(0,2)

C

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(1,+∞ )

D

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(0,1)

3. 如果椭圆

x2 y2 + = 1 上一点 M 到此椭圆一个焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点,O 81 25
) C 8
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是坐标原点,则 ON 的长为( A
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2

B

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4

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D

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3 2

4.已知椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线 经过椭圆的另一个焦点.现有一水平放置的椭圆形台球盘,其长轴长为 2a,焦距为 2c,若 点 A,B 是它的焦点,当静放在点 A 的小球(不计大小) ,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反 弹后再回到点 A 时,小球经过的路程是( A.4a B.2(a-c) ) C.2(a+c) D.不能惟一确定

5.椭圆 (
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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x2 y2 + =1上一点 P 与两焦点 F1 , F2 组成一个直角三角形,则点 P 到 x 轴的距离是 25 9
) B
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16 A 5
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9 4

C

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特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

9 5

D

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特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

9 9 或 5 4

6.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一 点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行, 之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆 轨道 I 和Ⅱ的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道 I 和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ① a1 + c1 = a2 + c2 ; ② a1 ? c1 = a2 ? c2 ; ③ c1a2 > a1c2 ; ①

c1 c2 < . a1 a2

其中正确式子的序号是

A.①③ 7.若椭圆

B.②③

C.①① )

D.②①

x2 y2 + = 1 过点 ( ?2 , 3 ) ,则其焦距为( 16 b 2
B. 2 5 C. 4 3 D. 4 5

A. 2 3

8. (理)如图,AB 是平面 a 的斜线段,A 为斜足,若点 P 在平面 a ... 内运动,使得△ABP 的面积为定值,则动点 P 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.一条直线 ) 理 8 题图

D.两条平行直线

(文)用一个与圆柱母线成 60° 角的平面截圆柱,截口是一个椭圆,则此椭圆的离心率是 ( ) A.

2 2

B.

1 2

C.

3 2

D.

3 3

9.(理)已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 = 0 的点 M 总在椭圆内部,则 椭圆离心率的取值范围是( A. (0,1) )

uuuu uuuur r

B. (0, )

1 2

C. (0,

2 ) 2

D. [

2 ,1) 2

、F (文)设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D. 2 ? 1

10. 已知直线 L 交椭圆

x2 y2 + = 1 于 M、 两点, N 椭圆于 y 轴的正半轴交于点 B, ?BMN 若 20 16
) C . 6 x + 5 y ? 28 = 0 B . 5 x ? 6 y ? 28 = 0

的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线 L 的方程是( A . 5 x + 6 y ? 28 = 0 D. 6 x ? 5 y ? 28 = 0

11.设椭圆

x2 y 2 + = 1 和 x 轴正方向交点为 A,和 y 轴正方向的交点为 B,P为第一象限 a 2 b2

内椭圆上的点,使四边形 OAPB 面积最大(O为原点) ,那么四边形 OAPB 面积最大值为 ( ) A.

2ab

B.

2 ab 2

C.

1 ab 2

D. 2ab

12.如图,函数 y = f (x ) 的图象是中心在原点,焦点在 x 轴上

的椭圆的两段弧,则不等式 f ( x ) < f ( ? x ) + x 的解集为( A. x | ? 2 < x < 0,或 2 < x ≤ 2 C. ? x | ?2 ≤ x < ?

) 12 题图

{

}

B. x | ?2 ≤ x < ? 2 ,或 2 < x ≤ 2 D. x | ? 2 < x <

{

}

? ?

? 2 2 ,或 < x ≤ 2? 2 2 ?

{

2 ,且x ≠ 0

}

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上) 13
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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x2 y2 1 椭圆 + = 1 的离心率为 ,则 k 的值为______________ k +8 9 2

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14.已知 F1、F2 为椭圆

x2 y2 + = 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 25 9

F2 A + F2 B = 12 ,则 AB =___________。
15.椭圆

x2 y2 + = 1 的焦点 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当∠ F1 P F2 为钝角时,点 P 9 4
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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横坐标的取值范围是

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16.某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界) ,其边界是 长轴长为 2a,短轴长为 2b 的椭圆,已知岛上甲、乙导航灯的海拔高 度分别为 h1、h2,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的 两个焦点上,现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计) ,在船上 测得甲、乙导航灯的仰角分别为 θ1 , θ 2 ,那么船只已进入该浅水区的 判别条件是 16 题图

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中, P 到两点 (0, ? 3), (0, 3) 的距离之和为 4, 点 设点 P 的轨迹为 C ,直线 y = kx + 1 与 C 交于 A, B 两点。 (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)若 OA ⊥ OB ,求 k 的值。

uuu r

uuu r

18 (本题满分 12 分) k 为何值时,直线 y = kx + 2 和椭圆 2 x + 3 y = 6 有两个公共点?
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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2

2

特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

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有一个公共点?没有公共点?

19. (本题满分 12 分)设椭圆

x2 y2 + = 1, ( a > b > 0 ) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 a 2 b2

e=

2 ,点 F2 到右准线为 l 的距离为 2 (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)设 M , N 是 l 上的两个 2

动点, F1M ? F2 N = 0 , 证明:当 MN 取最小值时, F1 F2 + F2 M + F2 N = 0

uuuur uuuu r

uuuu uuuur uuuu r r

r

20. (本题满分 12 分)如图、椭圆 标原点.

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点是 F(1,0) 为坐 ,O a2 b2

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点。若直线 l 绕点 F 任意 转动,都有 OA + OB < AB ,求 a 的取值范围.
2 2 2

21. (本小题满分 12 分)设椭圆中心在坐标原点, A(2,,B (0, 是它的两个顶点,直线 0) 1)

y = kx(k > 0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点.
(Ⅰ)若 ED = 6 DF ,求 k 的值;

uuu r

uuur

(Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值.

x2 y 2 22. (本小题满分 14 分)设椭圆 C : 2 + 2 = 1( a > b > 0) 过点 M ( 2,1) ,且着焦点为 a b

F1 (? 2, 0)
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当过点 P (4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 A, B 时,在线段 AB 上取点 Q , 满足 AP QB = AQ PB ,证明:点 Q 总在某定直线

uuu uuu r r

uuur uuu r

参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.D 解: 由椭圆的第一定义知 PF1 + PF2 = 2a = 10 ,故选 D。

2.D 解: 焦点在 y 轴上,则

y 2 x2 2 + = 1, > 2 ? 0 < k < 1 ,故选 D。 2 2 k k
M N

y

3.C 解:设 F2 为椭圆的右焦点,连接 MF2 (如图) ∵N 是 MF1 的中点,O 是 F1 F2 ,

F1

O

F2

x

1 1 ∴ ON = MF2 = (2a ? MF1 ) = 8 ,故选 C。 2 2
4.D 解:当球从点 A 出发经椭圆壁 A1 点反弹后再回到 点 A 时,小球经过的路程是 2( a ? c ) ;当球从点 A 出发 经椭圆壁 A2 点反弹后再回到点 A 时,小球经过的路程是 M

y

A1

A O

B

A2

N

x

2(a + c) ;当球从点 A 出发经椭圆壁上点 M 反弹后穿过点 B 到 N 点再反弹回到点 A 时,小
球经过的路程是 4a 。故选 D。 5.D 解:当 PF1 ⊥ F1 F2 或 PF2 ⊥ F1 F2 时点 P 到 x 轴的距离是

9 ,当 PF1 ⊥ PF2 时点 P 到 5

9 x 轴的距离是 ,故选 D。 4
6.B 解:由焦点到顶点的距离可知②正确,由椭圆的离心率知③正确,故选B. 7.C 解:把点 ( ?2 , 3 ) 代入 ∴c =

x2 y2 (?2) 2 ( 3) 2 + 2 = 1 得: + 2 = 1 ,∴ b = 2 , 16 b 16 b

a 2 ? b 2 = 2 3 ,∴其焦距 2c = 4 3 ,故选 C。

8. (理)B 解:本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。考虑到三角形面积为 定值,底边一定,从而 P 到直线 AB 的距离为定值,若忽略平面的限制,则 P 轨迹类似为一 以 AB 为轴心的圆柱面,加上后者平面的交集,轨迹为椭圆!还可以采取排除法,直线是不 可能的,在无穷远处,点到直线的距离为无穷大,故面积也为无穷大,从而排除 C 与 D,又 题目在斜线段下标注重点符号,从而改成垂直来处理,轨迹则为圆,故剩下椭圆为答案!故 选 B。

(文)B 解:设圆柱底面半径为 R,则 a =

R 2R = ,b = R , 0 sin 60 3

∴c =

a 2 ? b2 = (

2R 2 R c 1 ) ? R2 = ,∴ e = = ,故选 B。 a 2 3 3

P

y

9. (理)B 解:由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则

c < b ? c 2 < b2 = a 2 ? c2 ? e2 <
所以 e ∈ (0, ) ,故选 B。

1 又 e ∈ (0,1) , 2

F1

O F2

x

1 2

( 文) D

解 :设 椭圆方 程为

x2 y2 + = 1, (a > b > 0) , 把 x = ?c 代 入椭 圆方程 得: a2 b2

y 2 = b 2 (1 ?

c2 b4 b2 ) = 2 ,∴ |PF1| = ,又 |PF1| = |F1 F2 | , a2 a a

b2 = 2c ? 2ac = b 2 = a 2 ? c 2 ,∴ e2 + 2e ? 1 = 0 ,解得 e = 2 ? 1 ,故选 D。 ∴ a
10.D 解:设 M、N 的坐标分别为 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,点 B 坐标为 B (0, 4) ,椭圆右 焦点为 F (2, 0) , ∵ ?BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上,

? x1 + x2 + 0 =2 ? ? x +x =6 ? 3 ?? 1 2 ,∴MN 的中点坐标为 (3, ?2) , 又点 M ( x1 , y1 ) 、 ∴? ? y1 + y2 + 4 = 0 ? y1 + y2 = ?4 ? 3 ?
x2 y2 x12 y12 x2 2 y2 2 N ( x2 , y2 ) 在椭圆 + = 1 上, ∴ + = 1, + = 1 ,两式相减得: 20 16 20 16 20 16 x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ( x + x )( x ? x ) ( y + y2 )( y1 ? y2 ) + =0? 1 2 1 2 =? 1 20 16 20 16
∴直线 MN 的斜率 k =

y1 ? y2 16( x1 + x2 ) 16 × 6 6 =? =? = x1 ? x2 20( y1 + y2 ) 20 × (?4) 5 y 6 ( x ? 3) , 5
B P

∴直线 MN 的方程为 y + 2 =

即 6 x ? 5 y ? 28 = 0 ,故选 D。 11.B 解: ?OAB 的面积为

O

A

x

1 a b ,四边形 OAPB 的面积大于 2

?OAB 的面积而小于 ?OAB 的面积的 2 倍,故选 B。
12.A 解:由图知 f ( x ) 为奇函数,∴ f ( x ) < f ( ? x ) + x ? f ( x) <

1 x ,故选 A。 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上) 13. 4, 或 ?

5 4

解:当 k + 8 > 9 时, e =
2

c2 k + 8 ? 9 1 = = ,k = 4 ; a2 k +8 4

当 k + 8 < 9 时, e =
2

c2 9 ? k ? 8 1 5 = = ,k = ? 2 a 9 4 4

14.8 解:依题直线 AB 过椭圆的左焦点 F1 ,在 ?F2 AB 中,

| F2 A | + | F2 B | + | AB |= 4a = 20 ,又 | F2 A | + | F2 B |= 12 ,∴ | AB |= 8.
15. ( ?

3 5 3 5 , ) 5 5

可以证明 PF1 = a + ex, PF2 = a ? ex, 且 PF1 + PF2 < F1 F2
2 2

2

而 a = 3, b = 2, c =

5, e =

5 ,则 ( a + ex ) 2 + ( a ? ex ) 2 < (2c) 2 , 2a 2 + 2e 2 x 2 < 20, e 2 x 2 < 1 3

x2 <

1 1 1 3 5 3 5 ,? < x < ,即? <e< 2 e e e 5 5 h1 h + 2 ≤ 2a tan θ1 tan θ 2
解: | MF1 | + | MF2 |≤ 2a ?

16.

h1 h + 2 ≤ 2a 。 tan θ1 tan θ 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.解:(Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3),, 3) 为焦点, ? (0 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b =

22 ? ( 3) 2 = 1 ,

y2 故曲线 C 的方程为 x + = 1. 4
2

? 2 y2 = 1, ?x + (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? y = kx + 1. ?
消去 y 并整理得 ( k 2 + 4) x 2 + 2kx ? 3 = 0 , 故 x1 + x2 = ?

2k 3 ,x1 x2 = ? 2 . k +4 k +4
2

若 OA ⊥ OB ,即 x1 x2 + y1 y2 = 0 .

uuu r

uuu r

而 y1 y2 = k x1 x2 + k ( x1 + x2 ) + 1 ,
2

于是 x1 x2 + y1 y2 = ?
2

3 3k 2 2k 2 ? 2 ? 2 +1 = 0 , k2 + 4 k + 4 k + 4
1 . 2
2 2 2 2

化简得 ?4k + 1 = 0 ,所以 k = ± 18.解:由 ?

? y = kx + 2 ?2 x + 3 y = 6
2 2

,得 2 x + 3(kx + 2) = 6 ,即 (2 + 3k ) x + 12kx + 6 = 0

? = 144k 2 ? 24(2 + 3k 2 ) = 72k 2 ? 48
当 ? = 72k ? 48 > 0 ,即 k >
2

6 6 , 或k < ? 时,直线和曲线有两个公共点; 3 3 6 6 , 或k = ? 时,直线和曲线有一个公共点; 3 3

当 ? = 72k ? 48 = 0 ,即 k =
2

当 ? = 72k ? 48 < 0 ,即 ?
2

6 6 <k< 时,直线和曲线没有公共点 3 3

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

19.解:因为 e =

a a , F2 到 l 的距离 d = ? c ,所以由题设得 c c

? a 2 = ? ? c 2 ? ?a ? c = 2 ?c ?
(Ⅱ)由 c =

解得 c =

2, a = 2

由 b = a ? c = 2 ,得 b =
2 2 2

2

2, a = 2 得 F1 ? 2, 0 , F2

(

) ( )(

2, 0 , l 的方程为 x = 2 2

)

) ( uuuur uuuu r 由知 F M ? F N = 0 知 ( 2
1 2

故可设 M 2 2, y1 , N 2 2, y2

(

) )
6 y1

2 + 2, y1 ? 2 2 ? 2, y2 = 0

得 y1 y2 = ?6 ,所以 y1 y2 ≠ 0, y2 = ?

MN = y1 ? y2 = y1 +

6 1 = y1 + ≥2 6 y1 y1

当且仅当 y1 = ± 6 时,上式取等号,此时 y2 = ? y1 所以, F1 F2 + F2 M + F2 N = ?2 2, 0 +

uuuu uuuur uuuu r r

(

) (

2, y1 +

) (

r 2, y2 = ( 0, y1 + y2 ) = 0

)

20.解:(Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点,因为△MNF 为正三角形, 解 所以 OF =

3 3 2b MN , 1 = , 解得b= 3. 2 2 3

a 2 = b 2 + 1 = 4 ,因此,椭圆方程为
(Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ). (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,

x2 y 2 + = 1. 4 3

OA + OB = 2a 2 , AB = 4a 2 (a 2 > 1),因此,恒有 OA + OB < AB .
2 2 2 2 2 2

(ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时,设直线 AB 的方程为: x = my + 1代入
2 2 2 2 2 2 2 2 整理得 ( a + b m ) y + 2b my + b ? a b = 0,

x2 y 2 + = 1, a 2 b2

2b 2 m b 2 ? a 2b 2 所以 y1 + y2 = ? 2 , y1 y2 = 2 a + b 2 m2 a + b2m2
因为恒有 OA + OB < AB ,所以 ∠ AOB 恒为钝角.
2 2 2

即 OA OB = ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) = x1 x2 + y1 y2 < 0 恒成立.

uuu uuu r r

x1 x2 + y1 y2 = ( my1 + 1)( my2 + 1) + y1 y2 = ( m 2 + 1) y1 y2 + m( y1 + y2 ) + 1

=

(m 2 + 1)(b 2 ? a 2b 2 ) 2b 2 m 2 ?m 2 a 2b 2 + b 2 ? a 2b 2 + a 2 ? 2 +1 = < 0. a2 + b2m2 a + b2m2 a2 + b2m2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

又 a + b m > 0 ,所以 ? m a b + b ? a b + a < 0 对 m ∈ R 恒成立, 即 m a b > a + b ? a b 对 m ∈ R 恒成立,当 m ∈ R 时, m a b 最小值为 0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以 a + b ? a b < 0 , a 2 < b 2 ( a 2 ? 1) = b 4 ,
2 2 2 2

∵ a > 0, b > 0,∴ a < b 2 = a 2 ? 1 ,即 a 2 ? a ? 1 > 0 ,
解得 a >

1+ 5 1? 5 1+ 5 或a < (舍去),即 a > , 2 2 2 1+ 5 , +∞) . 2

综合(i)(ii),a 的取值范围为 (

21.解(Ⅰ) :依题设得椭圆的方程为

x2 + y 2 = 1, 4

直线 AB,EF 的方程分别为 x + 2 y = 2 , y = kx ( k > 0) . 如图,设 D ( x0,kx0 ),E ( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 < x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 + 4k 2 ) x 2 = 4 , 故 x2 = ? x1 = y B D O E A

F x

2 1 + 4k
2





由 ED = 6 DF 知 x0 ? x1 = 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 = 由 D 在 AB 上知 x0 + 2kx0 = 2 ,得 x0 = 所以

uuu r

uuur

1 5 10 (6 x2 + x1 ) = x2 = ; 7 7 7 1 + 4k 2

2 . 1 + 2k

2 10 2 3 2 = ,化简得 24k ? 25k + 6 = 0 ,解得 k = 或 k = . 1 + 2 k 7 1 + 4k 2 3 8

( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E,F 到 AB 的 距 离 分 别 为

h1 =

x1 + 2kx1 ? 2 5 x2 + 2kx2 ? 2 5

=

2(1 + 2k + 1 + 4k 2 ) 5(1 + 4k 2 )



h2 =

=

2(1 + 2k ? 1 + 4k 2 ) 5(1 + 4k 2 )



又 AB =

22 + 1 = 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为
5 4(1 + 2k ) 5(1 + 4k 2 ) = 2(1 + 2k ) 1 + 4k 2 =2 1 + 4k 2 + 4k ≤2 2 , 1 + 4k 2

S=

1 1 AB (h1 + h2 ) = 2 2

当 2k = 1 ,即当 k =

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 2

解法二:由题设, BO = 1 , AO = 2 . 设 y1 = kx1 , y2 = kx2 ,由①得 x2 > 0 , y2 = ? y1 > 0 , 故四边形 AEBF 的面积为
2 2 S = S△ BEF + S△ AEF = x2 + 2 y2 = ( x2 + 2 y2 ) 2 = x2 + 4 y2 + 4 x2 y2

≤ 2( x22 + 4 y22 ) = 2 2 ,

当 x2 = 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 22.解: (Ⅰ)由题意:

?c 2 = 2 ? ?2 1 ? 2 + 2 =1 ?a b ?c 2 = a 2 ? b 2 ?

x2 y 2 ,解得 a = 4, b = 2 ,所求椭圆方程为 + =1 4 2
2 2

(Ⅱ)方法一:设点 Q、A、B 的坐标分别为 ( x, y ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ) 。

uuu r AP uuu uuu uuur uuu r r r 由题设知 AP , PB , AQ , QB 均不为零,记 λ = uuu = r PB
uuu r uuu uuur r

uuur AQ uuu ,则 λ > 0 且 λ ≠ 1 r QB

又 A,P,B,Q 四点共线,从而 AP = ?λ PB, AQ = λ QB 于是

uuu r

4=

x1 ? λ x2 , 1? λ x + λ x2 x= 1 , 1+ λ

y1 ? λ y2 1? λ y + λ y2 y= 1 1+ λ 1=
2 y12 ? λ 2 y2 = y , LL (2) 1? λ 2
2 2 x2 + 2 y2 = 4,LL (4)

从而

2 x12 ? λ 2 x2 = 4 x , LL (1) 1? λ2
2 2

又点 A、B 在椭圆 C 上,即 x1 + 2 y1 = 4,LL (3) (1)+(2)×2 并结合(3)(4)得 4 x + 2 y = 4 , 即点 Q ( x, y ) 总在定直线 2 x + y ? 2 = 0 上。

uuu uuu uuur uuu r r r
方法二:设点 Q ( x, y ), A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由题设, PA , PB , AQ , QB 均不为零。

uuu r uuu r PA PB 且 uuur = uuu r AQ QB
又 P, A, Q, B 四点共线,可设 PA = ?λ AQ, PB = λ BQ (λ ≠ 0, ±1) ,于是

uuu r

uuur uuu r

uuu r

4 ? λx 1? λ y , y1 = 1? λ 1? λ 4 + λx 1+ λ y x2 = , y2 = 1+ λ 1+ λ x1 =

(1) (2)

由于 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 在椭圆 C 上,将(1)(2)分别代入 C 的方程 x 2 + 2 y 2 = 4, 整 , 理得

( x 2 + 2 y 2 ? 4)λ 2 ? 4(2 x + y ? 2)λ + 14 = 0

(3)

( x 2 + 2 y 2 ? 4)λ 2 + 4(2 x + y ? 2)λ + 14 = 0
(4)-(3) 得

(4)

8(2 x + y ? 2)λ = 0

∵ λ ≠ 0,∴ 2 x + y ? 2 = 0
即点 Q ( x, y ) 总在定直线 2 x + y ? 2 = 0 上


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