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高一数学期末复习三


2014 高一期末训练
一.选择题 2 1.已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x=n ,n∈A},则 A∩ B=( ) A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} 2.函数 A.(﹣∞,2) 3.函数 A. 的定义域为( B.(2,+∞) 的图象大致是( B. ) C. D. ) C.(2,3)∪ (3,+∞) D.(2,4)∪ (4,+∞) D.{1,

2}

4.如果 a<b<0,那么下列不等式成立的是( A. B.ab<b2

) C.﹣ab<﹣a2 D.

5.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( ) A.14 B.21 C.28

D.35

6.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B、C 的俯角分别为 75°、30°,此时气球的高是 60m,则河流的宽 度 BC 等于( )

A.240(

﹣1)m

B.180(

﹣1)m

C.120( )

﹣1)m

D.30(

+1)m

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.16+8π B.8+8π C.16+16π 8.已知直线 l⊥ 平面 α,直线 m?平面 β,给出下列命题 ① α∥ β=l⊥ m;② α⊥ β?l∥ m;③ l∥ m?α⊥ β;④ l⊥ m?α∥ β.其中正确命题的序号是( ② ③ ③ ④ ③ A .① B.② C .①

D.8+16π ) ④ D.②

9.已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<﹣1 或 x> },则 f(10 )>0 的解集为( A.{x|x<﹣1 或 x>﹣lg2} B.{x|<﹣1<x<﹣lg2} C.{x|x>﹣lg2}

x



D.{x|x<﹣lg2}

10.给定函数 y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意 a1∈(0,1) ,由关系式 an+1=f(an)得到的数列{an}满足 an+1 * >an(n∈N ) ,则该函数的图象是( ) A. B. C. D.

二.填空题(共 5 小题,满分 25 分,每小题 5 分) 11.计算 ÷ = _________ .
2

12. 已知等比数列{an}是递增数列, Sn 是{an}的前 n 项和. 若 a1, a3 是方程 x ﹣5x+4=0 的两个根, 则 S6= 13.设 f(x)=asin2x+bcos2x,a,b∈R,ab≠0 若 f(x)≤|f( ① f( )=0. ② |f( )|<|f( ,kπ+ )|. )|对一切 x∈R 恒成立,则

_________ .

③ f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

④ f(x)的单调递增区间是[kπ+

](k∈Z) .

⑤ 存在经过点(a,b)的直线于函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是 _________ 写出正确结论的编号) . 14.设 a+b=2,b>0,则当 a= _________ 时, 取得最小值.

15.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 CD、CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的 大小是 _________ .

三.解答题(共 6 小题,满分 72 分,每小题 12 分) 16. (12 分)解关于 x 的不等式 <0 (a∈R) .

17.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos (Ⅰ )求 cosA 的值;

2

cosB﹣sin(A﹣B)sinB+cos(A+C)=﹣ .

2

(Ⅱ )若 a=4

,b=5,求向量



方向上的投影.

18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥ 面 ABCD,AB=BC=2,AD=CD= 上的点. (Ⅰ )证明:BD⊥ 平面 PAC; (Ⅱ )若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 PAC 所成的角的正切值; (Ⅲ )若 G 满足 PC⊥ 面 BGD,求 的值.

,PA=

,∠ ABC=120°,G 为线段 PC

19.本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元.甲、乙 电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能 给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的 收益最大,最大收益是多少万元?

20.正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 b

2

,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明:对于任意 n∈N ,都有 T

*



3

21.给定数列 a1,a2,…,an.对 i=1,2,…,n﹣1,该数列前 i 项的最大值记为 Ai,后 n﹣i 项 ai+1,ai+2,…,an 的最小值记为 Bi,di=Ai﹣Bi. (Ⅰ )设数列{an}为 3,4,7,1,写出 d1,d2,d3 的值; (Ⅱ )设 a1,a2,…,an﹣1(n≥4)是公比大于 1 的等比数列,且 a1>0.证明:d1,d2,…,dn﹣1 是等比数列; (Ⅲ )设 d1,d2,…,dn﹣1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1>0.证明:a1,a2,…,an﹣1 是等差数列.

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2014 高一期末训练
参考答案与试题解析
一.选择题(共 10 小题,满分 50 分,每小题 5 分) 1. (5 分) (2014?武汉模拟)已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x=n ,n∈A},则 A∩ B=( ) A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 计算题. 由集合 A 中的元素分别平方求出 x 的值,确定出集合 B,找出两集合的公共元素,即可求出交集. 解:根据题意得:x=1,4,9,16,即 B={1,4,9,16}, ∵ A={1,2,3,4}, ∴ A∩ B={1,4}. 故选 A 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
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2

2. (5 分) (2013?重庆)函数 A.(﹣∞,2) B.(2,+∞)

的定义域为(

) D.(2,4)∪ (4,+∞)

C.(2,3)∪ (3,+∞)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据“让解析式有意义”的原则,对数的真数大于 0,分母不等于 0,建立不等式,解之即可. 解答: 解:要使原函数有意义,则 ,
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解得:2<x<3,或 x>3 所以原函数的定义域为(2,3)∪ (3,+∞) . 故选 C. 点评: 本题主要考查了函数的定义域及其求法, 求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则, 属于基础 题. 3. (5 分) (2013?四川)函数 A. B. 的图象大致是( ) C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

指数函数的图像变换. 函数的性质及应用. 分别根据函数的定义域,单调性,取值符号进行排除判断.
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解:要使函数有意义,则 3 ﹣1≠0,解得 x≠0,∴ 函数的定义域为{x|x≠0},排除 A. 当 x<0 时,y>0,排除 B.
5

x

当 x→+∞时,y→0,排除 D. 故选 C. 点评: 本题考查函数的图象的判断,注意函数的值域,函数的图形的变换趋势,考查分析问题解决问题的能力. 4. (5 分) (2013?上海)如果 a<b<0,那么下列不等式成立的是( ) 2 2 A. B.ab<b C.﹣ab<﹣a D. 考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由于 a<b<0,不妨令 a=﹣2,b=﹣1,代入各个选项检验,只有 D 正确,从而得出结论. 解答: 解:由于 a<b<0,不妨令 a=﹣2,b=﹣1,可得 =﹣1,∴ ,故 A 不正确.
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可得 ab=2,b =1,∴ ab>b ,故 B 不正确. 2 2 可得﹣ab=﹣2,﹣a =﹣4,∴ ﹣ab>﹣a ,故 C 不正确. 故选 D. 点评: 本题主要考查不等式与不等关系,利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系,是一种简单 有效的方法,属于基础题. 5. (5 分) (2014?西宁模拟)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( ) A.14 B.21 C.28 D.35 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 分析: 由等差数列的性质求解. 解答: 解:a3+a4+a5=3a4=12,a4=4, ∴ a1+a2+…+a7= =7a4=28

2

2

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故选 C 点评: 本题主要考查等差数列的性质. 6. (5 分) (2014?四川)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B、C 的俯角分别为 75°、30°,此时气球的 高是 60m,则河流的宽度 BC 等于( )

A.240( ﹣1)m B.180( ﹣1)m C.120( ﹣1)m D.30( +1)m 考点: 解三角形的实际应用;余弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 由题意画出图形, 由两角差的正切求出 15°的正切值, 然后通过求解两个直角三角形得到 DC 和 DB 的长度, 作差后可得答案. 解答: 解:如图,
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由图可知,∠ DAB=15°,

6

∵ tan15°=tan(45°﹣30°)= 在 Rt△ ADB 中,又 AD=60, ∴ DB=AD?tan15°=60×(2﹣ )=120﹣60 在 Rt△ ADB 中,∠ DAC=60°,AD=60, ∴ DC=AD?tan60°=60 .

=





∴ BC=DC﹣DB=60 ﹣(120﹣60 )=120( ) (m) . ∴ 河流的宽度 BC 等于 120( )m. 故选:C. 点评: 本题考查了解三角形的实际应用,考查了两角差的正切,训练了直角三角形的解法,是中档题. 7. (5 分) (2014?武汉模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.16+8π

B.8+8π

C.16+16π

D.8+16π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 压轴题;图表型. 分析: 三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,依据三视图的数据,得出组合体长、宽、高,即 可求出几何体的体积. 解答: 解:三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,如图,其中长方体长、宽、高分别是:4,2, 2,半个圆柱的底面半径为 2,母线长为 4. ∴ 长方体的体积=4×2×2=16,
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半个圆柱的体积= ×2 ×π×4=8π 所以这个几何体的体积是 16+8π; 故选 A.

2

点评: 本题考查了几何体的三视图及直观图的画法,三视图与直观图的关系,柱体体积计算公式,空间想象能力 8. (5 分) (2014?市中区二模)已知直线 l⊥ 平面 α,直线 m?平面 β,给出下列命题 ① α∥ β=l⊥ m;② α⊥ β?l∥ m;③ l∥ m?α⊥ β;④ l⊥ m?α∥ β.
7

其中正确命题的序号是( ② ③ A .① 考点: 专题: 分析:

解答:

点评:

) ③ ④ ③ ④ B.② C. ① D.② 平面与平面之间的位置关系. 综合题. 由两平行平面中的一个和直线垂直,另一个也和平面垂直得直线 l⊥ 平面 β,再利用面面垂直的判定可得① 为 真命题; 当直线与平面都和同一平面垂直时,直线与平面可以平行,也可以在平面内,故② 为假命题; 由两平行线中的一条和平面垂直,另一条也和平面垂直得直线 m⊥ 平面 α,再利用面面垂直的判定可得③ 为 真命题; 当直线与平面都和同一平面垂直时,直线与平面可以平行,也可以在平面内,如果直线 m 在平面 α 内,则 有 α 和 β 相交于 m,故④ 为假命题. 解:l⊥ 平面 α 且 α∥ β 可以得到直线 l⊥ 平面 β,又由直线 m?平面 β,所以有 l⊥ m;即① 为真命题; 因为直线 l⊥ 平面 α 且 α⊥ β 可得直线 l 平行与平面 β 或在平面 β 内,又由直线 m?平面 β,所以 l 与 m,可以 平行,相交,异面;故② 为假命题; 因为直线 l⊥ 平面 α 且 l∥ m 可得直线 m⊥ 平面 α,又由直线 m?平面 β 可得 α⊥ β;即③ 为真命题; 由直线 l⊥ 平面 α 以及 l⊥ m 可得直线 m 平行与平面 α 或在平面 α 内,又由直线 m?平面 β 得 α 与 β 可以平行 也可以相交,即④ 为假命题. 所以真命题为① ③ . 故选 C. 本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查.重点考查课本上的公理,定理以及推论, 所以一定要对课本知识掌握熟练,对公理,定理以及推论理解透彻,并会用.
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9. (5 分) (2013?安徽) 已知一元二次不等式 f (x) <0 的解集为{x|x<﹣1 或 x> }, 则f (10 ) >0 的解集为 ( A.{x|x<﹣1 或 x>﹣lg2} B.{x|<﹣1<x<﹣lg2} C.{x|x>﹣lg2} D.{x|x<﹣lg2} 考点: 其他不等式的解法;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: x x 由题意可得 f(10 )>0 等价于﹣1<10 < ,由指数函数的单调性可得解集.
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x



解答:

解:由题意可知 f(x)>0 的解集为{x|﹣1<x< }, 故可得 f(10 )>0 等价于﹣1<10 < , 由指数函数的值域为(0,+∞)一定有 10 >﹣1, 而 10 < 可化为 10 <
x x x x x

,即 10 <10

x

﹣lg2



由指数函数的单调性可知:x<﹣lg2 故选 D 点评: 本题考查一元二次不等式的解集,涉及对数函数的单调性及对数的运算,属中档题. 10. (5 分) (2005?辽宁)给定函数 y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意 a1∈(0,1) ,由关系式 an+1=f(an)得 * 到的数列{an}满足 an+1>an(n∈N ) ,则该函数的图象是( ) A. B. C. D.

考点: 数列的函数特性;函数的图象;数列递推式. 专题: 压轴题;数形结合.

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分析: 由关系式 an+1=f(an)得到的数列{an}满足 an+1>an(n∈N*) , 根据点与直线之间的位置关系, 我们不难得到, f(x)的图象在 y=x 上方.逐一分析不难得到正确的答案. 解答: 解:由 an+1=f(an)>an 知 f(x)的图象在 y=x 上方. 故选 A 点评: 本题考查的知识点是点与直线的位置关系,根据“同在上(右) ,异在下(左)”的原则,我们可以确定将点 的坐标代入直线方程后的符号,得到一个不等式,解不等式即可得到 a 的取值范围. 二.填空题(共 5 小题,满分 25 分,每小题 5 分) 11. (5 分) (2012?广东模拟)计算 ÷ = ﹣20 .

考点: 有理数指数幂的化简求值;根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题. 分析: 利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值. 解答: 解: =lg =﹣20 故答案为:﹣20 点评: 本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则.

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12. (5 分) (2013?辽宁)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x ﹣5x+4=0 的 两个根,则 S6= 63 . 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列.

2

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通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项, 然后求出公比, 直接利用等比数列前 n 项和公式求前 6 项和. 2 解:解方程 x ﹣5x+4=0,得 x1=1,x2=4. 2 因为数列{an}是递增数列,且 a1,a3 是方程 x ﹣5x+4=0 的两个根, 所以 a1=1,a3=4. 设等比数列{an}的公比为 q,则 ,所以 q=2.





故答案为 63. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,是基础的计算题. 13. (5 分) (2011?安徽)设 f(x)=asin2x+bcos2x,a,b∈R,ab≠0 若 f(x)≤|f( ① f( )=0.② |f( )|<|f( )|.③ f(x)既不是奇函数也不是偶函数. ](k∈Z) . )|对一切 x∈R 恒成立,则

④ f(x)的单调递增区间是[kπ+

,kπ+

⑤ 存在经过点(a,b)的直线于函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是 ① ,③ 写出正确结论的编号) . 考点: 两角和与差的正弦函数;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

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专题: 计算题;压轴题. 分析: 先化简 ( f x) 的解析式, 利用已知条件中的不等式恒成立, 得到 是三角函数的对称轴,将其代入整体角令整体角等于 数的性质. 解答: 解:∵ f(x)=asin2x+bcos2x= ∵ ∴ ∴ ∴ 对于 对于② , ,故② 错 = =0,故① 对

是三角函数的最大值, 得到 求出辅助角 θ,再通过整体处理的思想研究函

对于③ ,f(x)不是奇函数也不是偶函数 对于④ ,由于 f(x)的解析式中有±,故单调性分情况讨论,故④ 不对 对于⑤ ∵ 要使经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交,则此直线须与横轴平行,且|b|
2 2 2



此时平方得 b >a +b 这不可能,矛盾,故∴ 不存在经过点(a,b)的直线于函数 f(x)的图象不相交故⑤ 错 故答案为① ③ 点评: 本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法. 14. (5 分) (2013?天津)设 a+b=2,b>0,则当 a= ﹣2 时, 考点: 基本不等式. 专题: 压轴题;数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由于 a+b=2,b>0,从而 =
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取得最小值.

, (a<2) ,设 f(a)=

, (a<2) ,画出此函

数的图象,结合导数研究其单调性,即可得出答案. 解答: 解:∵ a+b=2,b>0, ∴ 设 f(a)= = , (a<2) , (a<2) ,画出此函数的图象,如图所示.

利用导数研究其单调性得, 当 a<0 时,f(a)=﹣ + ,

f′ (a)=

=

,当 a<﹣2 时,f′ (a)<0,当﹣2<a<0 时,f′ (a)

>0, 故函数在(﹣∞,﹣2)上是减函数,在(﹣2,0)上是增函数,

10

∴ 当 a=﹣2 时,

取得最小值 . 取得最小值 .

同样地,当 0<a<2 时,得到当 a= 时, 综合,则当 a=﹣2 时, 故答案为:﹣2. 取得最小值.

点评: 本题考查导数在最值问题的应用,考查数形结合思想,属于中档题. 15. (5 分) (2012?四川)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 CD、CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是 90° .

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量的方法求出
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夹角求出异面直线 A1M 与 DN 所

成的角. 解答: 解:以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设棱长为 2, 则 D(0,0,0) ,N(0,2,1) ,M(0,1,0) ,A1(2,0,2) , ? =0,所以 ⊥ =(0,2,1) , =(﹣2,1,﹣2)

,即 A1M⊥ DN,异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是 90°,

故答案为:90°.

11

点评: 本题考查空间异面直线的夹角求解,采用了向量的方法.向量的方法能降低空间想象难度,但要注意有关 点,向量坐标的准确.否则容易由于计算失误而出错. 三.解答题(共 6 小题,满分 72 分,每小题 12 分) 16. (12 分) (2001?江西)解关于 x 的不等式 <0 (a∈R) .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;解题思想;分类讨论;转化思想. 分析: 把不等式 转化为同解不等式,对 a 分类讨论解答即可.
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解答: 解:

<0?(x﹣a) (x﹣a )<0,

2

① 当 a=0 或 a=1 时,原不等式的解集为 Φ; ② 当 a<0 或 a>1 时,a<a ,此时 a<x<a ; 2 2 ③ 当 0<a<1 时,a>a ,此时 a <x<a. 2 综上,当 a<0 或 a>1 时,原不等式的解集为{x|a<x<a }; 2 当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|a <x<a};当 a=0 或 a=1 时,原不等式的解集为 Φ. 点评: 本题考查含有字母变量的不等式的解法,考查分类讨论思想,是中档题. 17. (12 分) (2013?四川) 在△ ABC 中, 角 A,B, C 的对边分别为 a, b,c, 且 2cos (A+C)=﹣ . (Ⅰ )求 cosA 的值; (Ⅱ )若 a=4 ,b=5,求向量 在 方向上的投影.
2 2 2

cosB﹣sin(A﹣B)sinB+cos

考点: 两角和与差的余弦函数;向量数乘的运算及其几何意义;二倍角的正弦;二倍角的余弦;余弦定理. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ )由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出 A 的余弦值,然后求 sinA 的值; (Ⅱ )利用 ,b=5,结合正弦定理,求出 B 的正弦函数,求出 B 的值,利用余弦定理求出 c 的大小. 解答: 解: (Ⅰ )由
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可得 可得 ,



12

即 即 ,



(Ⅱ )由正弦定理,

,所以 ,

=



由题意可知 a>b,即 A>B,所以 B= 由余弦定理可知 解得 c=1,c=﹣7(舍去) . 向量 在 方向上的投影:



=ccosB=



点评: 本题考查两角和的余弦函数,正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识,考查计算能 力转化思想. 18. (12 分) (2013?浙江) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥ 面 ABCD, AB=BC=2, AD=CD= , PA= , ∠ ABC=120°, G 为线段 PC 上的点. (Ⅰ )证明:BD⊥ 平面 PAC; (Ⅱ )若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 PAC 所成的角的正切值; (Ⅲ )若 G 满足 PC⊥ 面 BGD,求 的值.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ )由 PA⊥ 面 ABCD,可得 PA⊥ BD;设 AC 与 BD 的交点为 O,则由条件可得 BD 是 AC 的中垂线,故 O 为 AC 的中点,且 BD⊥ AC.再利用直线和平面垂直的判定定理证得 BD⊥ 面 PAC. (Ⅱ )由三角形的中位线性质以及条件证明∠ DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角,求出 GO 和 AC 的值,可得 OC、OD 的值,再利用直角三角形中的边角关系求得 tan∠ DGO 的值.
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(Ⅲ )先证 PC⊥ OG,且 PC= =PC﹣GC 的值,从而求得 的值.

=

.由△ COG∽ △ PCA,可得

,解得 GC 的值,可得 PG

解答: 解: (Ⅰ )证明:∵ 在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥ 面 ABCD,∴ PA⊥ BD. ∵ AB=BC=2, AD=CD= , 设 AC 与 BD 的交点为 O, 则 BD 是 AC 的中垂线, 故 O 为 AC 的中点, 且 BD⊥ AC. 而 PA∩ AC=A,∴ BD⊥ 面 PAC.

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(Ⅱ ) 若 G 是 PC 的中点, O 为 AC 的中点, 则 GO 平行且等于 PA, 故由 PA⊥ 面 ABCD, 可得 GO⊥ 面 ABCD, ∴ GO⊥ OD,故 OD⊥ 平面 PAC,故∠ DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角. 由题意可得,GO= PA= .
2 2 2

△ ABC 中,由余弦定理可得 AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cos∠ ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12, ∴ AC=2 ,OC= . ∵ 直角三角形 COD 中,OD= ∴ 直角三角形 GOD 中,tan∠ DGO= = =2, . = .

(Ⅲ )若 G 满足 PC⊥ 面 BGD,∵ OG?平面 BGD,∴ PC⊥ OG,且 PC= 由△ COG∽ △ PCA,可得 ,即 ,解得 GC= ,

∴ PG=PC﹣GC=



=

,∴ =

= .

点评: 本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用,求直线和平面所成的角,空间距离的求法,属于中档题. 19. (12 分) (2007?山东)本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用 不超过 9 万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司 所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广 告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元? 考点: 简单线性规划的应用. 分析: 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用.本题主要考查找出约束条件与目标 函数,准确地描画可行域,再利用图形直线求得满足题设的最优解. 解答: 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,
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总收益为 z 元,由题意得

目标函数为 z=3000x+2000y.

二元一次不等式组等价于

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域. 如图,作直线 l:3000x+2000y=0,即 3x+2y=0. 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值. 联立 解得 x=100,y=200.

∴ 点 M 的坐标为(100,200) . ∴ zmax=3000x+2000y=700000(元) 答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万 元.

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点评: 用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的 量分类、 列出表格, 理清头绪, 然后列出不等式组 (方程组) 寻求约束条件, 并就题目所述找出目标函数. 然 后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解. 20. (12 分) (2013?江西)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 b ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明:对于任意 n∈N ,都有 T
* 2



考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;证明题;等差数列与等比数列. 分析: 2 (I)由 Sn
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可求 sn,然后利用 a1=s1,n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1 可求 an = ,利用裂项求和可求 Tn,利用放

(II)由 b 缩法即可证明
2 解答: 解: (I)由 Sn

=

可得,[

](sn+1)=0

∵ 正项数列{an},sn>0 2 ∴ sn=n +n 于是 a1=s1=2 2 2 n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1=n +n﹣(n﹣1) ﹣(n﹣1)=2n,而 n=1 时也适合 ∴ an=2n (II)证明:由 b = =



]

=

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点评: 本题主要考查了递推公式 a1=s1,n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1 在求解数列的通项公式中的应用及数列的裂项求和方 法的应用. 21. (12 分) (2013?北京)给定数列 a1,a2,…,an.对 i=1,2,…,n﹣1,该数列前 i 项的最大值记为 Ai,后 n ﹣i 项 ai+1,ai+2,…,an 的最小值记为 Bi,di=Ai﹣Bi. (Ⅰ )设数列{an}为 3,4,7,1,写出 d1,d2,d3 的值; (Ⅱ )设 a1,a2,…,an﹣1(n≥4)是公比大于 1 的等比数列,且 a1>0.证明:d1,d2,…,dn﹣1 是等比数列; (Ⅲ )设 d1,d2,…,dn﹣1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1>0.证明:a1,a2,…,an﹣1 是等差数列. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 证明题;压轴题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )当 i=1 时,A1=3,B1=1,从而可求得 d1,同理可求得 d2,d3 的值;
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(Ⅱ )依题意,可知 an=a1q 为定值.

n﹣1

(a1>0,q>1) ,由 dk=ak﹣ak+1?dk﹣1=ak﹣1﹣ak(k≥2) ,从而可证

(k≥2)

(Ⅲ )依题意,0<d1<d2<…<dn﹣1,可用反证法证明 a1,a2,…,an﹣1 是单调递增数列;再证明 am 为数列 {an}中的最小项,从而可求得是 ak=dk+am,问题得证. 解答: 解: (Ⅰ )当 i=1 时,A1=3,B1=1,故 d1=A1﹣B1=2,同理可求 d2=3,d3=6; n﹣1 (Ⅱ )由 a1,a2,…,an﹣1(n≥4)是公比 q 大于 1 的等比数列,且 a1>0,则{an}的通项为:an=a1q ,且为 单调递增的数列. 于是当 k=1,2,…n﹣1 时,dk=Ak﹣Bk=ak﹣ak+1, 进而当 k=2,3,…n﹣1 时, = = =q 为定值.

∴ d1,d2,…,dn﹣1 是等比数列; (Ⅲ )若 d1,d2,…,dn﹣1 是公差大于 0 的等差数列,则 0<d1<d2<…<dn﹣1. 先证明 a1,a2,…,an﹣1 是单调递增数列. 否则设 ak 是第一个使得 ak≤ak﹣1 成立的项,则 Ak﹣1=Ak,Bk﹣1≤Bk,因此 dk﹣1=Ak﹣1﹣Bk﹣1≥Ak﹣Bk=dk,矛 盾. 因此 a1,a2,…,an﹣1 是单调递增数列…① 再证明 am 为数列{an}中的最小项,否则设 ak<am(k=1,2,…n﹣1) ,显然 k≠1,否则 d1=A1﹣B1=a1﹣B1≤a1 ﹣a1=0,与 d1>0 矛盾; 因而 k≥2,此时考虑 dk﹣1=Ak﹣1﹣Bk﹣1=ak﹣1﹣ak<0,矛盾. 因此 am 为数列{an}中的最小项,…② 综合① ② dk=Ak﹣Bk=ak﹣am(k=1,2,…n﹣1) ,于是 ak=dk+am,也即 a1,a2,…,an﹣1 是等差数列. 点评: 本题考查等差数列与等比数列的综合,突出考查考查推理论证与抽象思维的能力,考查反证法的应用,属 于难题.

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