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上海市长宁区2014学年高三一模数学试卷(理)含答案


2014 学年第一学期长宁区高三数学教学质量检测试卷(理)
考生注意:本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.解答必须 写在答题纸上的规定区域,写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸的相应编 号的空格内填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分.
1.函数 y

=sin2xcos2x 的最小正周期是___________________. 2.若集合 M ? {x || x |? 2}, N ? {x | x2 ? 3x ? 0} ,则 M∩N ? _______________. 3.复数

2 ? 2i =______________.( i 是虚数单位) 1? i

4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 5 ? 4 ? 2?n ,则其通项公式为

a ?1 ? 4 ? 7 ? ? ? 3n ? 2 ?? ? ? 6 ,则 a ? 5. 已知 lim ? 2 n?? 7n ? 5n ? 2
6. 已知 a, b ? ?? 3,?2,?1,1,2,3?且 a ? b ,则复数 z ? a ? bi 对应点在第

. (用最简分数表示) 二象限的概率为 _______
7.已知函数 f ( x) ? 1 ? log a x , y ? f ?1 ( x) 是函数 y ? f ( x) 的反函数,

. 若 y ? f ?1 ( x) 的图象过点 (2, 4) ,则 a 的值为 _________
8.如图,圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆,则该圆锥的 母线与底面所成的角的大小是 9.根据右面的框图,打印的最后一个数据是 . . 开始 A←1 A←2A+1 打印 是 A<35 否 . 结束

10.已知数列 {an } 是以 ?2 为公差的等差数列, Sn 是其前

n 项和,若 S7 是数列 ?Sn ? 中的唯一最大项,则数列
{an } 的首项 a1 的取值范围是
.

11.五位同学各自制作了一张贺卡,分别装入 5 个空白 信封内,这五位同学每人随机地抽取一封,则恰好 有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是

1

a n B? 12. 已知△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 且5t
的值是 。

6ac , 则 sin B a ? c2 ? b2 A
2

13. 如图,在 △ ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别 交 直 线 AB , AC 于 不 同 的 两 点 M ,N , 若 AB ? m AM,

N
B

AC ? nAN ,则 m ? n 的值为
14.已知 ? x 2 ?



O

C

? ?

1 ? M ? 的展开式中的常数项为 T , f ( x) 是以 T 为 5 x3 ?

5

周期的偶函数, 且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x , 若在区间 [?1,3] 内, 函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是 .

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、 D 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后 的圆括号内,选对得 5 分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写 在圆括号内),一律得零分.
15.设 z1、z2∈C,则“z 1 +z 2 =0”是“z1=z2=0”的 A. 充分不必要条件 16.函数 y ? a
x ?b

2

2

(

)

B. 必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 ( )

, ?0 ? a ? 1, ?1 ? b ? 0 ? 的图象为

A

B

C

D

17. O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 (OB ? OC) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则△ABC 的 形状一定是 A. 正三角形 B. 直角三角形 C.等腰三角形 ( D.斜三角形 )

18.下面有五个命题: ①函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是 2? ;
4 4

②终边在 y 轴上的角的集合是 ??

? ?

??

k? ? , k ? z? ; 2 ?

2

③在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y ? x 的图象有一个公共点; ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

)的图象向右平移

?
6

得到 y ? 3 sin 2 x的图象 ;

⑤在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 是等腰三角形 ; 其中真命题的序号是 ( )

A. (1) (2) (3)

B. (2) (3) (4)

C. (3) (4) (5)

D. (1) (4) (5)

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 的相应编号规定区域内写出必须的步骤.
19. (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如图:三棱锥 P ? ABC 中, PA ?底面 ABC ,若底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, 且 PB 与底面 ABC 所成的角为

? .若 M 是 BC 的中点,求: 3

(1)三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)异面直线 PM 与 AC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

P

A
20. (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 已知

C
B
M

?
2

? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ?

(1)求 tan ? 的值; (2)求 sin ? 2? ?

8 3

? ?

??

? 的值。 2?

21. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分) (1) 求数列 ?a n ? 的通项公式; (2) 令 bn ? 3
an

已知函数 f ( x) ? x ? (2 ? n) x ? 2n 的图像与 x 轴正半轴的交点为 A(an ,0) , 2, 3, ?. n =1,
2

? (?1) n?1 ? ? ? 2 an ( n 为正整数), 问是否存在非零整数 ? , 使得对任意正整

数 n ,都有 bn?1 ? bn ? 若存在, 求出 ? 的值 , 若不存在 , 请说明理由.

3

22.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?
2

1 x ? c (a 、c ? R) ,满足 f (1) ? 0 ,且 f ( x) ? 0 在 x ? R 2

时恒成立. (1)求 a 、 c 的值; (2)若 h( x) ?

3 2 b 1 x ? bx ? ? ,解不等式 f ( x) ? h( x) ? 0 ; 4 2 4

(3) 是否存在实数 m , 使函数 g ( x) ? f ( x) ? m x在区间 [m , m ? 2] 上有最小值 ? 5 ? 若存在,请求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) 已知数列 {an }、  {bn }、  {cn } 满足 (an?1 ? an )(bn?1 ? bn ) ? cn (n ? N * ). (1)设 cn ? 3n ? 6,{an } 是公差为 3 的等差数列.当 b1 ? 1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n. 求正整数 k , 使得一切 n ? N * , 均有 bn ? bk ; (3)设 cn ? 2 ? n, an ?
n

1 ? ( ?1)n . 当 b1 ? 1 时,求数列 {bn } 的通项公式. 2

4

2014 学年第一学期高三数学教学质量检测试卷 参考答案(理)
一、填空题 ? 3, n ? 1 ? 1、 2、 [0,2] 3、 2i 4、 a n ? ? 2?n ,n? N? 2 2 , n ? 2 ? 3 1 0 5、 28 6、 7、 4 8、 60 9、 63 10、 (12,14) 11、 6 10 3 1 12、 13、2 14、 (0, ] 5 4 二、选择题
题号 答案 15 16 17 18

B

C

C

C

三、解答题
19、[解](1)因为 PA ? 底面 ABC , PB 与底面 ABC 所成的角为

? 3

所以 ?PBA ?

?
3

………2 分

因为 AB ? 2 ,所以 PB ? 2 3 …………4 分

1 1 3 ………………6 分 VP ? ABC ? S ?ABC ? PA ? ? ?4?2 3 ? 2 3 3 4 (2)连接 PM ,取 AB 的中点,记为 N ,连接 MN ,则 MN // AC

所以 ?PMN 为异面直线 PM 与 AC 所成的角 计算可得: PN ? 13 , MN ? 1 , PM ? 15

………………7 分 ………………9 分 ………………11 分

cos?PMN ?

1 ? 15 ? 13 2 15

?

15 10
15 10

异面直线 PM 与 AC 所成的角为 arccos
2

………………12 分

20、 【解】 (1)由条件得到 3 tan ? ? 8 tan? ? 3 ? 0 ,………………2 分 解得 tan ? ?

1 或者 tan ? ? ?3 ………………4 分 3

?

?
2

? ? ? ? ,? tan ? ? ?3. ………………6 分

(2) sin(2? ?

?
2

) ? ? cos 2? ? ?

1 ? tan2 ? 4 ? ………………2 分+2 分+2 分=6 分 1 ? tan2 ? 5

2 21、 (理) 【解】 : (1)设 f ( x) ? 0 , x ? (2 ? n) x ? 2n ? 0 得 x1 ? ?2, x2 ? n 。

所以 an ? n ????????????????????????????4 分 (2) bn ? 3 ? (?1)
n n ?1

? ? ? 2n ,若存在 ? ? 0 ,满足 bn ?1 ? bn 恒成立

即: 3

n?1

? (?1) n ? ? ? 2 n?1 ? 3n ? (?1) n?1 ? ? ? 2 n ,????????????6 分

5

3 ( ) n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? 恒成立 ????????????????????8 分 2 3 n ?1 ? ? ? ? ? 1 ???????????????10 分 当 n 为奇数时, ( ) 2 3 n ?1 3 ? ?? ? ? ? ? ?????????????12 分 当 n 为偶数时, ( ) 2 2 3 所以 ? ? ? ? 1 ??????13 分, 2 故: ? ? ?1 ?????????14 分 1 ,??????1 分 2 1 1 因为 f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立,所以 a ? 0 且△ ? ? 4ac ? 0 , ac ? , 4 16
22、 【解】 (1)由 f (1) ? 0 ,得 a ? c ? ??????2 分

1 1 1 1? ?1 ? 1 ? ? 0 , ? a ? ? ? 0 ,所以 a ? c ? .?????4 分 ? a? ? ,a2 ? a ? 2 16 4 4? ?2 ? 16 ? 1 2 1 1 (2)由(1)得 f ( x) ? x ? x ? ,由 f ( x) ? h( x) ? 0 ,得 4 2 4 1? b 1? ? ? x 2 ? ? b ? ? x ? ? 0 ,即 ( x ? b)? x ? ? ? 0 ,??????7 分 2? 2 2? ? ? 1 1 所以,当 b ? 时,原不等式解集为 (b , ) ; 2 2 1 1 当 b ? 时,原不等式解集为 ( , b ) ; 2 2 1 当 b ? 时,原不等式解集为空集 . ??????10 分 2 1 2 ?1 1 ? (3) g ( x) ? x ? ? ? m ? x ? , ??????11 分 4 4 ?2 ? g ( x) 的图像是开口向上的抛物线,对称轴为直线 x ? 2m ? 1 . 假设存在实数 m ,使函数 g ( x) 在区间 [m , m ? 2] 上有最小值 ? 5 . ① 当 2m ? 1 ? m , 即 m ? ?1 时 , 函 数 g ( x) 在 区 间 [m , m ? 2] 上 是 增 函 数 , 所 以 7 1 1 ?1 ? g (m) ? ?5 ,即 m 2 ? ? ? m ?m ? ? ?5 ,解得 m ? ?3 或 m ? , 3 4 4 ?2 ? 因为 m ? ?1 ,所以 m ? ?3 ; ??????13 分 ②当 m ? 2m ? 1 ? m ? 2 ,即 ? 1 ? m ? 1 时,函数 g ( x) 的最小值为 g (2m ? 1) ? ?5 ,即
即 a?

2

1 21 1 21 1 1 ?1 ? 或m ? ? ? ,均舍 (2m ? 1) 2 ? ? ? m ?(2m ? 1) ? ? ?5 ,解得 m ? ? ? 2 2 2 2 4 4 ?2 ?
去; ??????15 分 ③ 当 2m ? 1 ? m ? 2 , 即 m ? 1 时 , g ( x) 在 区 间 [m , m ? 2] 上 是 减 函 数 , 所 以

1 1 ?1 ? (m ? 2) 2 ? ? ? m ?(m ? 2) ? ? ?5 , 解 得 m ? ?1 ? 2 2 或 4 4 ?2 ? m ? ?1 ? 2 2 ,因 m ? 1 ,所以 m ? ?1 ? 2 2 . ??????17 分
g (m ? 2) ? ?5 , 即
6

综上,存在实数 m ,m ? ?3 或 m ? ?1 ? 2 2 时,函数 g ( x) 在区间 [m , m ? 2] 上有最小值

? 5.
23、 【解】(1)

??????18 分

an?1 ? an ? 3,?bn?1 ? bn ? n ? 2 , ??????2 分

b1 ? 1,?b2 ? 4, b3 ? 8 ??????4 分
n3 (2)由 an ?1 ? an ? 2n ? 7 ? bn ?1 ? bn ? , ??????5 分 2n ? 7
由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 ,即 b4 ? b5 ? b6 ? 由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 ,即 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ; ??????7 分 ??????9 分

? k ? 4 . ??????10 分
(3)由 an?1 ? an ? (?1)n?1 ? bn?1 ? bn ? (?1)n?1 (2n ? n) , ??????11 分 故 bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)(n ? 2, n ? N * ) ,

?b2 ? b1 ? 21 ?1, b3 ? b2 ? (?1)(22 ? 2), , bn?1 ? bn?2 ? (?1)n?1 (2n?2 ? n ? 2), bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)
??????13 分 当 n ? 2k (k ? N * ) 时,以上各式相加得

bn ? b1 ? (2 ? 2 ?
2

?2

n?2

? 2 ) ? [1 ? 2 ?

n ?1

2 ? 2n?1 (?2) n ? (n ? 2) ? (n ? 1)] ? ? 1 ? (?2) 2
??????15 分

2 ? 2n n ? ? 3 2

2 ? 2n n 2n n 5 ? bn ? ? ? 1 ?? ? ? 3 2 3 2 3

当 n ? 2k ? 1(k ? N * ) 时,

bn ? bn ?1 ? (?1)n?1 (2n ? n) ?

2 ? 2n?1 n ? 1 2n n 13 ? ? 1 ? (2n ? n) ? ? ? ? 3 2 3 2 6
??????17 分

? 2 n 13 ?? 3 ? 2 ? 6 , (n ? 2k ? 1) ? * ? bn ? ? , (k ? N ) ??????18 分 n ( n ? 2k ) ?2 n 5 ? ? , ? ?3 2 3
n

7


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