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江苏省南京一中实验学校2017届高三月考(10月份)数学试卷


南京一中实验学校 2017 届高三月考数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答 . 题卡的相应位置 上. ....... 1.抛物线 y ? 4 x 2 的焦点坐标为 (0,
1 ) 16

. .

2.复数 z 满足 iz ? 1 ? i ,则 z 的虚部为

? 2

3.运行右图所示的程序,输出的结果是 -1 . 4.甲、乙两名考生填报志愿,要求甲、乙只能在 A、B、C 这 3 所院校中 选择一所填报志愿.假设每位同学选择各个院校是等可能的,则院校 A、 8 B 至少有一所被选择的概率为 . 9 5.为了了解参加一次知识竞赛的 1252 名学生的成绩,决定采用系统抽样的方法 抽取一个容量为 50 的样本,那么应从总体中随机剔除个体的数目是 2 . 6.答案: “若 a 不是锐角,则 sina≤0” 7.已知

a=1 b=2 a=a+b b=b-a PRINT b (第 3 题图)

1 1 ? ? 2 ,则 a ? log 2 a log3 a

6

. 364 .

8. 等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, ak ? 243 , q ? 3 ,则数列 ?an ? 前 k 项的和 9.计算:4sin20?+tan20?=

3



10.设 l 是一条直线,α ,β ,γ 是不同的平面,则在下列命题中,假 命题是 . 4 . ①如果 α ⊥β ,那么 α 内一定存在直线平行于 β ②如果 α 不垂直于 β ,那么 α 内一定不存在直线垂直于 β ③如果 α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =l,那么 l⊥γ ④如果 α ⊥β ,l 与 α ,β 都相交,那么 l 与 α ,β 所成的角互余 ? ? ? ? 11.向量 a ? (cos10?,sin10?) , b ? (cos70?,sin 70?) , | a ? 2b |? . 3 12.若正实数 x,y,z 满足 x+y+z=1,则 13.将函数 f ( x) ? sin ?x 的图像向右平移 1 x+y + 的最小值是 x+y z 3 .

?
4

个单位长度,所得图像与 6 .

g ( x ) ? cos?x 的图像重合,则正数 ? 的最小值是

m f(b)-f(a) 14.设函数 f(x)=lnx+ , (m∈R) ,若对任意 b>a>0, <1 恒成立, x b-a 则 m 的取值范围是 m≥
1 4



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内 作答,解答 ......... 时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 设向量 a=(2,sinθ ),b=(1,cosθ ),θ 为锐角. 13 (1)若 a·b= ,求 sin θ +cos θ 的值; 6 π? ? (2)若 a∥b,求 sin?2θ + ?的值. 3? ?

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四面体 ABCD 中, AB ? AC ? DB ? DC ,点 E 是 BC 的中点,点 F 在线段 AC 上,且
AF ??. AC

A

(1)若 EF ∥平面 ABD ,求实数 ? 的值; (2)求证:平面 BCD ⊥平面 AED.

F B E C (第 16 题图) D

17. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和 Sn ? (an ? 1)(an ? 2) , n ? N * . (1)求数列 {an } 的通项公式;
T2 n .
1 2

(2)设 bn ? (?1)n an an?1 ,求数列 {bn } 的前 2n 项的和

18. (本小题满分 16 分) 某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企业在

?1,1 ? x ? 20( x ? N *), ? 经销这个产品期间第 x 个月的利润函数 f ( x) ? ? 1 (单位: x, 21 ? x ? 60( x ? N *) ? ?10
万元) . 为了获得更多地利润, 企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中. 记 第 x 个月的利润率为 g ( x) ? (1)求 g (10) ;
第x个月的利润 f (3) ,例如 g (3) ? . 第x个月的资金总和 81 ? f (1) ? f (2)

(2)求第 x 个月的当月利润率;

(3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当 月利润率.

19. (本小题满分 16 分)
(16 分)已知椭圆 E :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 P(2, 2) ,设椭 2 a b 2

圆的右准线 l 与 x 轴的交点为 A , 椭圆的上顶点为 B , 直线 AB 被以原点为圆心的圆 O 所截 得的弦长为

4 5 . 5

⑴求椭圆 E 的方程及圆 O 的方程; ⑵若 M 是准线 l 上纵坐标为 t 的点,求证:存在一个异于 M 的 点 Q ,对于圆 O 上任意一点 N ,有

MN 为定值;且当 M 在直 NQ

线 l 上运动时,点 Q 在一个定圆上.

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? x( x ?1)2 , x ? 0 . ⑴求 f ( x) 的极值; ⑵设 0 ? a ≤ 1 ,记 f ( x) 在 ? 0, a ? 上的最大值为 F ( a ) ,求函数 G (a) ? 值; ⑶设函数 g ( x) ? ln x ? 2 x2 ? 4 x ? t( t 为常数) , 若使 g ( x) ≤ x ? m≤ f ( x) 在 (0, ??) 上恒成立的实数 m 有且只有一个,求实数 m 和 t 的值.
F (a) 的最小 a

数学Ⅱ (附加题)
A. 选修 4-2:矩阵与变换

0 求曲线 x ? y ? 1 在矩阵 M ? 1 对应的变换作用下得到的曲线所转成图形的面 0 3
积。 B. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ? 2sin ? ,以极点为坐标原点,极 轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ?

1

? ?x ? 1 ? t (t 为参数) ,求 ? ? y ? 3t

直线 l 被曲线 C 所教区牧师的弦长。 [必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22.(本小题满分 10 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P 、 ABCD 中 , PA ? 底 面 , 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形

?ABC ? 60? , PA ? 6 ,M 为 PC 的中点,
(1) 求异面直线 PB 与 MD 所成的角的大小; (2) 求平面 PCD 与平面 PAD 所成的二面角的正弦值。

23. (本小题满分 10 分) 若存在 n 个不同的正整数 a1, a2, ???, an ,对任意 1 ? i ? j ? n ,都有 则称这 n 个不同的正整数 a1, a2, ???, an ,为“n 个好数” (1) 请分别对 n=2,n=3 构造一组“好数” ; (2) 证明:对任意正整数 n(n ? 2) ,均存在“n 个好数”

ai ? a j ai ? a j

?Z ,


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