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广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之立体几何专题三


2013 届高三二轮复习 立体几何专题三 2013-4-2 立体几何综合问题:以角度,距离,体积为主要考点,搭配三视图,函数. 1、已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =

? ,AB=BC=2AD=4,E、F 分别是 AB、CD 上 2

的点,EF∥BC,AE = x,G 是 BC 的中点.沿 EF 将梯形 ABC

D 翻折,使平面 AEFD⊥平面 EBCF (1)当 x=2 时,求证:BD⊥EG ; (2)若以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 f ( x ) , 求 f ( x ) 的最大值; (3)当 f ( x ) 取得最大值时,求二面角 D-BF-E 的余弦值.

A

D

A

D

E

F

E F

B

C

B

G

C

2、一个几何体是由圆柱 ADD1 A1 和三棱锥 E ? ABC 组合而成,点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆 周上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为 10 和 12,如图 3 所示,其中 EA ? 平面ABC , AB ? AC , AB ? AC , AE ? 2 . (1)求证: AC ? BD ; (2)求二面角 A ? BD ? C 的平面角的大小. E C A1
1

E

E

O B

A

A1

O

A

A

D1
1

D D1

D

正 (主) 视图
图3

侧(左)视图

1、已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =

? ,AB=BC=2AD=4,E、 2

A

D

F 分别是 AB、CD 上的点,EF∥BC,AE = x,G 是 BC 的中点.沿 EF 将梯

E

F

B

C

形 ABCD 翻折,使平面 AEFD⊥平面 EBCF (如图). (1)当 x=2 时,求证:BD⊥EG ; (2)若以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 f ( x ) , 求 f ( x ) 的最大值; (3)当 f ( x ) 取得最大值时,求二面角 D-BF-C 的余弦值.? (1)方法一:
A D

E F

B

G

C

? EF // AD, ?AEF ?

?
2

A

z
D

, AE⊥ EF,
E F

∵ 平面 AEFD ? 平面 EBCF ,且相交于 EF ∴ 平面 EBCF ,AE⊥ AE⊥ EF,AE⊥ BE,
B

y

又 BE⊥ EF,故可如图建立空间坐标系 E-xyz.

G

C

x

? EA ? 2,? EB ? 2 ,又? G 为 BC 的中点,BC=4,
? BG ? 2 .则 A(0,0,2) ,B(2,0,0) ,G(2,2,0) ,D(0,2,2) ,E(0,0,0) ,

??? ? ??? ? BD ? (-2,2,2) EG ? (2,2,0) , , ??? ??? ? ? BD BD ? EG ? (-2,2,2) ?(2,2,0)=0,∴ ? EG .………………4 分
方法二:作 DH⊥ 于 H,连 BH,GH, EF 由平面 AEFD ? 平面 EBCF 知:DH⊥ 平面 EBCF, 而 EG ? 平面 EBCF,故 EG⊥ DH.

? EF // BC ,? ?AEH ? ?EBC ?

?
2

,? AE ? EF ,? AE // DH .

? AD // EF,? AEHD为平行四边形,? EH ? AD ? 2,? EH // BC , EH ? BC ,
且 ?EBC ?

?
2

, BE ? BC ? 2 ,

EG⊥ ? 四边形 BGHE 为正方形,∴ BH,BH ? DH=H, 故 EG⊥ 平面 DBH, 而 BD ? 平面 DBH,∴ BD.………4 分 EG⊥ (2)∵ 面 BFC, AD∥ 所以 f ( x) ? V D ? BCF =VA-BFC=

1 1 1 ? S ?BCF ? AE ? ? ? 4(4 ? x) x 3 3 2
A D

E

H
F

2 8 8 ? ? ( x ? 2) 2 ? ? , 3 3 3 8 即 x ? 2 时 f ( x ) 有最大值为 . ………8 分 3
(3)方法一: 设平面 DBF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,∵ AE=2, B(2,0,0) ,D(0,2,2) ,F(0,3,0) , ∴ ? (?2,3,0), ………10 分 BF

??

??? ?

??? ? BD ? (-2,2,2) , ?? ??? ? ?n1 ?BD ? 0 ? 则 , ? ? ?? ??? ? n1 ?BF ? 0 ?
即?

A H

D

E _

F M

( ?( x, y, z)? ?2, 2, 2) ? 0 ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ,? ( ? ( x, y, z)? ?2,3,0) ? 0 ? ?2 x ? 3 y ? 0

B

G

C

取 x ? 3, y ? 2, z ? 1 ,∴ 1 ? (3,2,1) n

??

?? ? ? AE ? 面BCF ,? 面 BCF 一个法向量为 n2 ? (0,0,1) ,………12 分
?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 14 ? 则 cos< n1 , n2 >= ??? ??? ? ,………13 分 | n1 || n2 | 14
由于所求二面角 D-BF-E 的平面角为锐角,所以此二面角的余弦值为

14 .………14 分 14

2、一个几何体是由圆柱 ADD1 A1 和三棱锥 E ? ABC 组合而成,点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆 周上, (主) 其正 视图、(左) 侧 视图的面积分别为 10 和 12, 如图 3 所示, 其中 EA ? 平面ABC ,

AB ? AC , AB ? AC , AE ? 2 . (1)求证: AC ? BD ; (2)求二面角 A ? BD ? C 的平面角的大小.
E C A1
1

E

E

O B

A

A1

O

A

A

D1
1

D D1

D

方法 1: 证明: (1) 因为 EA ? 平面ABC ,AC ? 平面ABC , 所以 EA ? AC , E ?C 即 D A 又因为 AC ? AB , AB ? ED ? A ,所以 AC ? 平面 EBD . 因为 BD ? 平面EBD ,所以 AC ? BD .………………4 分 (2)解:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ? AC ,所以 BC 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得, E



1 ? ?2rh ? 2 r ? 2 ? 10, ?r ? 2, ? …………6 分解得 ? ? ?h ? 2. ?2rh ? 1 ? 2r ? 2 ? 12. ? ? 2
所以 BC ? 4 , AB ? AC ? 2 2 .………7 分

C A1
1

O B

A

D1
1

D

过点 C 作 CH ? BD 于点 H ,连接 AH , 由(1)知, AC ? BD , AC ? CH ? C ,所以 BD ? 平面 ACH . 因为 AH ? 平面 ACH ,所以 BD ? AH . 所以 ?AHC 为二面角 A ? BD ? C 的平面角.………9 分 由(1)知, AC ? 平面 ABD , AH ? 平面 ABD , 所以 AC ? AH ,即△ CAH 为直角三角形. 在 Rt △ BAD 中, AB ? 2 2 , AD ? 2 ,则 BD ? 由 AB ? AD ? BD ? AH ,解得 AH ? 因为 tan ?AHC ?

AB2 ? AD2 ? 2 3 .

2 6 . 3
所以 ?AHC ? 60 .
?

AC ? 3 .………………13 分 AH
?

所以二面角 A ? BD ? C 的平面角大小为 60 .……14 分 方法 2: (1)证明:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ? AC ,所以 BC 为圆 O 的 直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得, E

1 ? ?2rh ? 2 r ? 2 ? 10, ?r ? 2, ? …2 分解得 ? ? ?h ? 2. ?2rh ? 1 ? 2r ? 2 ? 12. ? ? 2
所以 BC ? 4 , AB ? AC ? 2 2 .…………3 分

C A1
1

O B

A

D1
1

D

以点 D 为原点, DD1 、 DE 所在的射线分别为 x 轴、 z 轴建立如图的空间直角坐标系

D ? xyz ,则 D ? 0, 0, 0? , D1 ? 4,0,0? , A? 0,0,2? ,

B ? 2,2,2? , C ? 2, ?2,2?

???? , AC ? ? 2, ?2,0 ? ,
C A1
1

z E

??? ? DB ? ? 2, 2, 2 ? .……5 分 ???? ??? ? 因为 AC ?DB ? ? 2, ?2,0 ?? 2, 2, 2 ? ? 0 , ?
所以 AC ? DB . 所以 AC ? BD .……9 分 (2)解:设 n ? ? x, y, z ? 是平面 BCD 的法向量,

O B

A

??? ?

??? ?

x D1
1

D y

??? ? ??? ? ?n?BC ? 0, ??4 y ? 0, ? 因为 BC ? ? 0, ?4,0 ? ,所以 ? ??? 即? ? ?n?DB ? 0. ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ?
取 z ? ?1 ,则 n ? ?1,0, ?1? 是平面 BCD 的一个法向量.……11 分 由(1)知, AC ? BD ,又 AC ? AB , AB ? BD ? B ,所以 AC ? 平面 ABD . 所以 AC ? ? 2, ?2,0 ? 是平面 ABD 的一个法向量.……12 分

????

???? ???? n ? AC 2 1 因为 cos n, AC ? ? , ???? ? 2?2 2 2 n ? AC
所以 n, AC ? 60 .
?

????

而 n, AC 等于二面角 A ? BD ? C 的平面角, 所以二面角 A ? BD ? C 的平面角大小为 60 .………14 分
?

????

方法 3: 证明: (1) 因为 EA ? 平面ABC ,AC ? 平面ABC , 所以 EA ? AC , E ?C 即 D A 又因为 AC ? AB , AB ? ED ? A ,所以 AC ? 平面 EBD . 因为 BD ? 平面EBD , 所以 AC ? BD .……………4 分 (2)解:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ? AC ,所以 BC 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得, E



1 ? ?2rh ? 2 r ? 2 ? 10, ?r ? 2, ? ……………6 分解得 ? ? ?h ? 2. ?2rh ? 1 ? 2r ? 2 ? 12. ? ? 2
所以 BC ? 4 , AB ? AC ? 2 2 .……………7 分

C A1
1

O B

A

D1
1

D

以点 D 为原点, DD1 、 DE 所在的射线分别为 x 轴、 z 轴建立如图的空间直角坐标系

D ? xyz , 则 D ? 0, 0, ? , D1 ? 4,0,0? , A? 0,0,2? , B ? 2,2,2? , C ? 2, ?2,2? , 0

??? ? ??? ? BC ? ? 0, ?4,0 ? , DB ? ? 2, 2, 2 ? .………9 分
设 n ? ? x, y, z ? 是平面 BCD 的法向量, C A1
1

z E

??? ? ?n?BC ? 0, ??4 y ? 0, ? 则 ? ??? 即? ? ?n?DB ? 0. ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ?
取 z ? ?1 ,则 n ? ?1,0, ?1? 是平面 BCD 的一个法向量.

O B

A

x D1
1

D

y ……11 分 由(1)知, AC ? BD ,又 AC ? AB , AB ? BD ? B ,所以 AC ? 平面 ABD . 所以 AC ? ? 2, ?2,0 ? 是平面 ABD 的一个法向量.………12 分

????

???? ???? n ? AC 2 1 因为 cos n, AC ? ? , ???? ? 2?2 2 2 n ? AC
所以 n, AC ? 60 .
?

????

而 n, AC 等于二面角 A ? BD ? C 的平面角, 所以二面角 A ? BD ? C 的平面角大小为 60 .………14 分
?

????


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