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江苏省江阴市2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题


江阴市山观高级中学 2013-2014 第二学期期中考试 高一数学
总分:150 分 考试时间:120 分

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案填写在答题 纸 .. . 的相应位置上.) 1.已知数列{ an }的通项公式为 an ?

1 2 ,那么 是它的第_ 10 n ?n
2

__项. . ____.

2.在等比数列{ an }中,若 a4 ? 27 , q ? ?3 ,则 a7 ? 3.在 ?ABC 中, a ? 2 3,b ? 2 2,?B ? 45? ,则 ? A ? ___

? y … x, ? 4.设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 2, ,则 z ? x ? 3 y 的最小值是 ? x …?2. ?
5.远望巍巍塔七层,红灯向下成倍增,共灯三百八十一,塔顶共有灯 6.在 ?ABC 中,已知 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则 ?C 的大小为 7.等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120 ,那么 a2 ? a9 ? 8.数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, 9.不等式 . 盏. .



1 an?1

?

1 ? 5(n ? N ? ) 则 an ? an

*



2? x ? 0 的解集是 x ?1

10.若数列 {an } 中, an ? ?2n2 ? 29n ? 3 ( n ? N ) ,那么此数列 {an } 的最大项的值为______. 11.数列 ?an ? 的通项公式 a n ?
2

1 n ? n ?1
2

,则该数列的前_________项之和等于 9 .

12.若关于 x 的不等式 tx ? 6 x ? t ? 0 的解集 (??, a)

(1, ??) ,则 a 的值为_________.
.

13.在 ?ABC 中, ?B ? 600 , AC ? 3 ,则 AB ? 3BC 的最大值为
1

14.已知 an ? 2 n , 把数列 {an } 的各项排成如右侧三角形状,记 A(i, j ) 表示第 i 行中第 j 个数,则结论 ① A(2,3) =16; ② A(i,3) ? 2 A(i,2)(i ? 2) ; ③ [ A(i, i)]2 ? A(i,1) ? A(i,2i ? 1), (i ? 1) ; ④ A(i ? 1,1) ? A(i,1) ? 2 2i ?1 , (i ? 1) ;其中正确的是

a1 a5 a10 a11 a2 a6 a12 a3 a7 a13 a4 a8 a14 a9 a15 a16

(写出所有正确结论的序号) .

二.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 12 分)设不等式 x ? 5x ? 4 的解集为 A .
2

(Ⅰ)求集合 A ; (Ⅱ)设关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 0 的解集为 M ,若 M ? A ,求实数 a 的取值范围.

16.(本小题满分 12 分)已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边. (1)若 ?ABC 面积 S ?ABC ?

3 , c ? 2, A ? 60?, 求 a 、 b 的值; 2

(2)若 a ? c cos B ,且 b ? c sin A ,试判断 ?ABC 的形状.

2

17. (本小题 12 分)已知二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x) ? 2 x ? 0 的解集为(1,3) . ⑴ 若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等实数根,求 f ( x ) 的解析式. ⑵ 若 f ( x ) 的最大值为正数,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)如图,货轮在海上以 50 海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标 o o 方向线的水平角)为 155 的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 125 .半小时 o 后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 80 .求此时货轮与灯塔之间的距离(得数保留最简根 号) . 北 B
155o 125o


80 o

A

C C

3

19.(本小题满分 16 分)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件

S2 n ? 4, n ? 1, 2, Sn



(1)求数列 ?an ? 的通项公式和 Sn ; (2)记 bn ? an ? 2n?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本题满分 16 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 和通项 an 满足 Sn ?

q (an ? 1) ( n ? N * , q 是 q ?1

大于 0 的常数,且 q ? 1 ) ,数列 {bn } 是公比不为 ..q 的等比数列, cn ? an ? bn . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 q ? 2, bn ? 3n ,是否存在实数 ? ,使数列 {cn?1 ? ?cn } 是等比数列?若存在,求出所有可 能的实数 ? 的值,若不存在说明理由; (Ⅲ)数列 {cn } 是否能为等比数列?若能,请给出一个符合的条件的 q 和 bn 的组合,若不能,请说 明理由.

4

2013——2014 学年度第二学期期中考试 高一数学参考答案
一、填空题答案
1、 4 2、 ?729
?

3、 60 或 120 8、

?

?

4、 ?8 9、(??, ?1) ? [2, ??) 14、①②③④

5、 3 10、108

6、120

7、24 12、 ?3

3 15n ? 14

11、 99

13、 2 13

二、解答题答案
15. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) x 2 ? 5x ? 4 ? ( x ? 1)( x ? 4) ? 0 ,所以 1 ? x ? 4 ------------------------------------------3 分 所以不等式的解集 A ? {x | 1 ? x ? 4} -------------------------------------------------------4 分 (Ⅱ)不等式等价于 ( x ? a)(x ? 2) ? 0 ------------------------------------------------------5 分 -----------------------------------------7 分 ---------------------------------------9 分 ----------------------------------------11 分 --------------------------------12 分 若 a ? 2 ,则 M ? [a,2] ,要 M ? A ,只需 1 ? a ? 2 若 a ? 2 ,则 M ? [2, a] ,要 M ? A ,只需 2 ? a ? 4 若 a ? 2 ,则 M ? {2} ,符合 M ? A 综上所述, a 的取值范围为 [1,4] . 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)? S ?ABC ? 1 bc sin A ? 3 , ………………………2 分 2 2 1 3 ,得 b ? 1 ………………………3 分 ? b ? 2 sin 60? ? 2 2 2 2 2 2 2 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos60? ? 3 , …5 分 所以 a ?

3
2 2 2

……………………………………6 分

(2)由余弦定理得: a ? c ?

a ?c ?b ? a 2 ? b 2 ? c 2 ,所以 ?C ? 90? ………9 分 2ac a a 在 Rt ?ABC 中, sin A ? ,所以 b ? c ? ? a ………………………………11 分 c c 所以 ?ABC 是等腰直角三角形; ………………………………12 分

17. (本题满分 12 分) 解:⑴ ∵二次函数 f ( x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x) ? 2 x ? 0 解集为(1,3) , ∴ 可设 f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)( x ? 3) ,且 a ? 0
5

……………………2 分

∴ f ( x) ? ax2 ? (2 ? 4a) x ? 3a 由方程 f ( x) ? 6a ? 0 得 ax2 ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0 , …………………………4 分 ∵方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的实根,∴? ? 0 ? a ? 1 或 ? ∴a ? ?

1 ,而 a ? 0 , 5

1 1 2 6 3 从而 f ( x) ? ? x ? x ? 5 5 5 5

…………………………6 分

⑵ 由 f ( x) ? ax2 ? 2(1 ? 2a) x ? 3a, 得 ∴ f ( x) max ? ?

a 2 ? 4a ? 1 a

……………8 分

?a ? 0, ? ∴? a 2 ? 4a ? 1 解得 a ? ?2 ? 3 或 ?2 ? 3 ? a ? 0 ?0 ?? a ?
∴ 实数 a 的取值范围是 (??, ?2 ? 3) 18. (本小题满分 12 分) 解:Δ ABC 中,∠ABC=155 -125 =30 ,…………1 分 o o o o ∠BCA=180 -155 +80 =105 , ………… 3 分 o o o o ∠BAC=180 -30 -105 =45 , ………… 5 分
o o o

…………11 分

(?2 ? 3,0) .

……………12 分

北 B
155o 125o

1 ? 50 ? 25 , 2 AC BC ? 由正弦定理,得 0 sin 30 sin 450
BC= ∴AC=

………………7 分 ………………9 分


80 o

A

BC ? sin 30 25 2 = (海里) sin 450 2
0

C C ………………………………11 分

答:船与灯塔间的距离为 19.(本小题满分 16 分)

25 2 海里. 2

………………………………12 分

解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由

S2 n ?4 Sn
…………………3 分 …………………5 分
6

得:

a1 ? a2 ? 4 ,所以 a2 ? 3a1 ? 3 ,且 d ? a2 ? a1 ? 2 , a1
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所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1

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Sn ?

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 2
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…………………………7 分 ………………8 分 ……① ………………9 分 …………11 分

(2)由 bn ? an ? 2n?1 ,得 bn ? (2n ?1) ? 2n?1 所以 Tn

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? 1 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ?

? (2n ?1) ? 2n?1 ,

2Tn ? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ?
①-②得

? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n , …… ②

?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ?

? 2 ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n

………13 分

? 2(1 ? 2 ? 22 ?
?

? 2n?1 ) ? (2n ?1) ? 2n ?1
…………15 分

2(1 ? 2n ) ? (2n ? 1) ? 2n ? 1 1? 2

所以

Tn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3

…………16 分

20. (本题满分 16 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时, q q a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 1) ? (a n ?1 ? 1) ,整理得 an ? qan?1 q ?1 q ?1 又由 S1 ? a1 ?

------------2 分

q (a1 ? 1) ,得 a1 ? q ----------------------------------------------------------------------3 分 q ?1 结合 q>0 知,数列 {an } 是首项为 q 公比为 q 的等比数列, ∴ an ? q ? qn?1 ? qn -----------------5 分
(Ⅱ) 结合(Ⅰ)知,当 q=2 时, an ? 2n ,所以 cn ? 2n ? 3n 假设存在实数 ? ,使数列 {cn?1 ? ?cn } 是等比数列,则对任意 n≥2 有 (cn+1+λ cn)2=(cn+2+λ cn+1)(cn+λ cn-1),将 cn=2n+3n 代入上式,得: + + + + + + - - [2n 1+3n 1+λ (2n+3n)]2=[2n 2+3n 2+λ (2n 1+3n 1)]·[2n+3n+λ (2n 1+3n 1)], + + - - 即 [(2+λ )2n+(3+λ )3n]2=[(2+λ )2n 1+(3+λ )3n 1][(2+λ )2n 1+(3+λ )3n 1] , 整理得 ---------------6 分

1 (2+λ )(3+λ )·2n·3n=0,解得λ =-2 或λ =-3. --------------------------------------10 分 6 故存在实数实数 ? =-2 或-3,使使数列 {cn?1 ? ?cn } 是等比数列. --------------------------11 分
(Ⅲ)数列 {cn } 不可能为等比数列. 理由如下: 设等比数列{bn}的公比为 p,则由题设知 p≠q,则 cn=qn+b1pn-1 为要证{cn}不是等比数列只需证 c22≠c1·c3.
7

-------------------------------------------------------12 分

事实上, c22=(q2+b1p)2=q4+2q2b1p+b12p2, ...........①

c1·c3=(q+b1)(q3+b1p2)=q4+b12p2+b1q(p2+q2) ,….② ②-①得 c1c3-c22=b1q(p2+q2-2pq) 由于 p≠q 时,p2+q2>2pq,又 q 及等比数列的首项 b1 均不为零, 所以 c1c3-c22≠0,即 c22≠c1·c3. 故{cn}不是等比数列. ------------------------------------16 分

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