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《高考调研》2015届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件:专题研究 三角函数的值域与最值


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三角函数的值域与最值

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例1 1 ( ) 2 ( 0 1 ·

北京)已 知 函 数

f(x)=4 c o s

xn ( i s

π x+6)-1.

①求 f(x)的 最 小 正 周 期 ; π π ②求 f(x)在 区 间 [-6,4]上的最大值和最小值.

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【 解 析 】 =4 c o s = 3s n 2 i = 3s n 2 i =n 2 ( i s

①因 为 f(x)=4 c o s 3 1 x( 2 n i s x+2c o s x ) -1 x+2 c o s x+c o 2 s π x+6), π .
2

xn ( i s

π x+6)-1

x-1

x

所 以 f ( x) 的 最 小 正 周 期 为

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π π ②因 为 - 6≤x≤4, 所 以 - 于 是 , 当

π π 2 π 6≤2x+6≤ 3 . 2; 1 .

π π π 2x+6=2, 即 x=6时 , f(x)取 得 最 大 值

π π π 当 2x+6= - 6, 即 x= - 6时 , f(x)取 得 最 小 值 -
【答案】 ①π ②2,-1

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2 ( ) 已 知 函 数

f(x)=2an 2 ( i s

π π x-3)+b 的定义域为[0,2],函数

的最大值为 1,最小值为-5,求 a 和 b 的值.
【 解 析 】 3 ∴- 2 ≤n 2 ( i s 若 a>0, 则 π π π 2 ∵0≤x≤2,∴-3≤2x-3≤3π . π x-3)≤1 .
? ?2a+b=1, ? ? - ?- 3a+b=

5,

解 得

? 2 ?a=1 ? ? - ?b=

-6 3, 2 3 +1 2 3;

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若 a<0, 则 综 上 可 知 , b=1 9 -1 2 3.

? - 5, ?2a+b= ? ? ?- 3a+b=1,

解 得

? - ?a= ? ? 9 ?b=1

1 2 +6 3, -1 2 3. 3或 a= -1 2 +6 3,

a=1 2 -6 3,b= -2 3 +1 2

【答案】 a=12-6 3,b=-23+12 3或 a=-12+6 3, b=19-12 3

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探究 1 化为 y=An ( i s

ωx+φ)+B 的形式求最值时,特别注

意自变量的取值范围对最大值 、 最 小 值 的 影 响 , 可 通 过 比 较 闭 区 间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.

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思考题 1 n 2 i s 1 x-4.

已 知 函 数

f ( x) = c o ( s

π c o ( s 3 + x)

π 1 3 -x),g(x)=2

1 ( ) 求函数 f(x)的 最 小 正 周 期 ; 2 ( ) 求函数 h(x)=f(x)-g(x)的 最 大 值 , 并 求 使 的 x 的集合. h(x)取 得 最 大 值

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【解析】 1 ( ) f(x) =c o ( s 3 1 c o s x+ 2 n i s x) = 4 c o s 1 -4, ∴f ( x) 的 最 小 正 周 期 为
2

π o ) ( s 3 + xc
2

π 1 3 1 o s x- 2 n i s x)(2 3 - x) = ( 2 c x 3-3 c o 2 s - 8 x 1 =2c o 2 s x

3 x - 4n i s

1+c o 2 s x= 8

2 π . 2 =π

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1 (2)h(x)=f(x)-g(x)=2c o 2 s

1 x-2n 2 i s

2 x= 2 c o 2 ( s 2 2.

π x+4),

π 当 2x+4=2kπ ( k∈Z)时,h(x)取 得 最 大 值 h( x) 取 得 最 大 值 时 , 对 应 的 x的 集 合 为

π {x|x=kπ-8,k∈Z}.

【答案】 1 π ( )

2 ( )

2 π 2 {x|x=kπ-8,k∈Z}

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例 2 求下列函数的值域: n 2 i s xn i s x 1 ( ) y= ; 1-c o s x 2 ( ) y=n i s x+c o s x+n i s xc o s x.

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n 2 i s 1 ( ) ∵y=
2

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【 解 析 】 =2 c o s

c o s x?1-c o s 2 x? xc o s xn i s x 2 = 1 -c o s x 1-c o s x 12 1 x+2) -2,

x+2 c o s

x=2 c o ( s

于 是 当 且 仅 当

c o s x =1 时 , yx . m a =4

但c o s x≠1,∴y< 4 . 且 ynm i 1 = - 2, 当 且 仅 当 1 c o s x= - 2时 取 得 .

故 函 数 值 域 为

1 [-2,4 ).

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2 ( ) 令 t=n i s x+c o s x, 则 有 t2=1+n 2 i s t 2 -1 xc o s x, 即 n i s xc o s x= 2 .

t2-1 1 ∴y=f(t)=t+ 2 =2(t+1 ) 2-1 . 又 t=n i s x+c o s x= 2s n ( i ∴- 2≤t≤ 2. π x+4),

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1 故 y=f(t)=2(t+1 ) 2-1 ( - 2≤t≤ 2). 从 而 知 1 f(-1 ) ≤y≤f( 2), 即 - 1≤y≤ 2+2. 1 [-1, 2+2].

则 函 数 的 值 域 为

【答案】 1 [ ( )

1 -2,4) 2 [ ( )

1 -1, 2+2]

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探究 2

可 化 为

y=fn i s (

x)型三角函数的值域也可通过换元

法转为其他函数的值域.
6 c o s 思考题 2 1 ( ) 求函数 y=
4

x+n 5 i s 2x-4 的值域. c o 2 s x

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【 解 析 】 y= 6 c o s
4

原 函 数 可 化 为 x-5 c o s 2 x +1 ? 2 c o s = c o 2 s x
2 2

x-1??3 c o s c o 2 s x

2

x-1? .

∴y=3 c o s

x-1,c o ( s

2

1 x≠2).

1 ∴-1≤y≤2, 且 y≠2.

1 1 【答案】 [-1,2)∪(2,2].

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2 ( ) 求 f(x)=c o s
2

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x+an i s x 的最小值.
2

【 解 析 】

f(x)=1-n i s

x+an i s x,

令 t=n i s x,t∈[-1 ] ,



2 a a ∴y= - t2+a t +1= - (t-2)2+1+ 4 .

当 a>0 时 , t= - 1时 , y取 最 小 值 , 当 a≤0 时 , t=1 时 , y取 最 小 值 ,
【答案】

ynm - a. i = ynm i =a.

当 a>0 时,t=-1 时,y 取最小值,ynm i =-a.

当 a≤0 时,t=1 时,y 取最小值,ynm i =a.
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例3 1 ( ) 求 函 数 1 2 ( ) 已知 f(x)=2n i s (

2-n i s x f ( x) = 的值域. 2+c o s x 1 x+c o s x)-2 n i s| x-c o s x|,求 f(x)的值域.

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【 解 析 】 可 看 作 点 2 ) ( , 2-n i s x 1 ( ) 函 数 f(x)= , 2+c o s x

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,(-c o s x,n i s x) 两 点 连 线 的 斜 率 . x2+y2=1 . x2 + y 2 = 1 上 点 连 线 斜 率 的 范 k.

点(-c o s x,n i s x) 的 轨 迹 为 函数值域即为2 ) ( , 围 , 由 图 可 知 , 过 2 ) ( , 与 单 位 圆

且 与 单 位 圆 相 切 的 斜 率 存 在 , 不 妨 设 为

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∴切 线 方 程 为

y-2=k(x-2 ), 即 kx-y-2k+2=0 . 4 ± 7 k= 3 .

|2-2k| ∴满 足 解 之 得 2=1, 1+ k ∴函 数 f(x)的 值 域 为

4- 7 4+ 7 [ 3 , 3 ].

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2 ( )
? i s ?n f(x)=? ? o s ?c

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x x

?n i s x≤c o s x? , ?n i s x> c o s x? .

作 出 图 像 , 由 图 像 知 , -
【答案】 1 [ ( )

2 1≤y≤ 2 .
4- 7 4+ 7 [ ( ) 3 , 3 ] 2 2 -1, 2 ]
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探究 3 借助一些代数式的几何意义或三角函数的图像可直 观地求出函数的值域,从而减少运算量.

思考题 3

1+n i s x 求 y= 的值域. 3+c o s x

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【 解 析 】 连 线 的 斜 率 , 点

1+n i s x 可 理 解 为 点 3+c o s x

P(-c o s x,-n i s x)与点 C1 3 ) ( ,

P(-c o s x, -n i s x)在 单位 圆 上 , 如 图 所 示 .

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1+n i s x 故 t= 满 足 kCA≤t≤kCB, 设 过 点 3+c o s x y-1=k(x-3 ), 即 kx-y+1-3k=0 . 由 原 点 到 直 线 的 距 离 不 大 于 半 径 3 0≤k≤4.从 而 值 域 为 3 [0,4].

C1 3 ) ( ,

的 直 线 方 程 为

|1-3k| 1 ,得 2 ≤1 ,解得 k +1

3 【答案】 [0,4]

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求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理, 其整理目 标为 ①y=An ( i s ωx+φ)+B 型;②y=fn i s ( x)型.

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课时作业(二十六 )

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