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7.1等差 等比数列的概念及运算


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7.1 等差 等比数列的概念及运算
【知识网络】 1、等差、等比数列的概念,判断一个数列是否是等差数列或等比数列; 2、等差、等比数列的性质,等差中项及等比中项的定义; 3、将一些特殊数列转化为等差和等比数列,然后利用定义和性质解题。 【典型例题】 例 1: (1) 已知等差数列

共有 10 项, 其中奇数项之和 15, 偶数项之和为 30, 则其公差是 ( ) A、5 B、4 C、 3 D、2 答案:C。解析:S 偶—S 奇=5d=15,∴d=3。 ? 5 3? (2)在圆 x 2 ? y 2 ? 5 x 内,过点 ? , ? 有 n 条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的 ? 2 2? ? 1 1? 首项 a1 , 最长的弦长为 a n , 若公差 d ? ? , ? , 那么 n 的取值集合为 ( ) ? 6 3? A、4,5,6 B、6,7,8,9 C、3,4,5 D、3,4,5,6 5 25 5 ? 3? 答案:A。解析:圆 x 2 ? y 2 ? 5 x 可化为 ( x ? )2 ? y 2 ? ,所以过点 ? , ? 最短弦长为 4, 2 4 ? 2 2? 最长弦长为 5,由 an ? a1 ? (n ? 1)d 得 n ? ? 4,7 ? 。 (3)已知实数 a、b、c 满足 2 ? 3, 2 ? 6, 2 ? 12 ,那么实数 a、b、c 是(
a b c



A、等差非等比数列 C、既是等比又是等差数列

B、等比非等差数列 D、既非等差又非等比数列

答案:A。解析:由条件得 a ? log 2 3, b ? log 2 6, c ? log 2 12,? 2b ? a ? c 。 (4) 在等差数列 ?an ? 中, 已知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 20 , 那么 a3 等于___________ 。 答案:4。解析:由条件得 5a3 ? 20,? a3 ? 4 。 (5) 等差数列 ?an ? 的第 3, 7, 10 项成等比数列, 则这个等比数列的公比 q= 答案: ∴q ? 。

3 2 ? a3 ? a10 ,? (a1 ? 6d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 9d ),? a1 ? ?18d 或 0, 或 1 。解析:∵ a7 4

a7 3 ? 或 1。 a3 4

例 2:四个正数,前三个数成等差数列,其和为 48,后三个数成等比数列,其最后一个数为 25,求此四个数。 答案:因前三个数成等差数列,且其和为 48,可令前三个数分别为 16 ? d ,16,16 ? d ,又 ∵后三个数成等比数列,∴ (16 ? d )2 ? 25 ?16,? d ? 4, d ? ?32 (舍) ,即四个数为 12,16,20, 25。 例 3:已知数列 {log2 (an ?1)} (n ? N*)为等差数列,且 a1 ? 3 , a3 ? 9 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明

1 1 ? ? a2 ? a1 a3 ? a2

?

1 ?1. an?1 ? an

答案: (1)解:设等差数列 {log2 (an ? 1)}的公差为 d. 所以 log2 (an ?1) ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n, 即 an ? 2 n ? 1.

由 a1 ? 3, a3 ? 9 得 d=1.

1 1 1 ? n?1 ? n ,所以 n an?1 ? an 2 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 2 ? 3 ??? n a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an 2 2 2 2 1 1 1 ? n? 1 ? 2 2 2 ? 1 ? n ? 1. 1 2 1? 2 1 4 例 4: 已知等差数列 ?an ? 满足 a 3 ? a 6 ? ? , a 1a 8 ? ? 且a 1 ? a 8 3 3
(2)证明:因为 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 把数列 ?an ? 的第 1 项、 第 4 项、 第 7 项、 ……、 第 3n-2 项、 ……分别作为数列 ?b n ? 的第 1 项、第 2 项、第 3 项、……、第 n 项、……,求数列 2b 的前 n 项之和;
n

? ?

( Ⅲ ) 在 ( Ⅱ ) 的 条 件 下 , 设 数 列 ?C n ? 的 通 项 为 Cn ? n ? 2bn , 试 比 较
(n ? 1 n )? ( Cn 2? )n n? ( Cn ? 2 与 1 ) 2n (n+2) Cn+1 的大小。

答案:解: (Ⅰ){an}为等差数列, a 3 ? a 6 ? a 1 ? a 8 ? ? 求得 a1 ? 1 , a 8 ? ?

1 4 ,又 a 1 ? a 8 ? ? 且 a1 ? a 8 3 3

4 3

公差 d ?

a 8 ? a1 1 ?? 7 3

1 1 4 ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? ? n ? (n ? N * ) 3 3 3

(Ⅱ) b1 ? a1 ? 1, b2 ? a 4 ? 0 ∴2
b n ?1 bn

∴ b n ? a 3n ?2 ? ? (3n ? 2) ?
bn

1 3

4 ? ?n ? 2 3

2

?

2 ? ( n ?1)?2 2
?n ? 2

?

1 2

∴{ 2

}是首项为 2,公比为 1 的等比数列
2

∴{ 2

bn

1 ) n 4 2 }的前 n 项和为 ? 4? n 1 2 1? 2 2(1 ?
bn

(Ⅲ) C n ? n ? 2

∴ (n ? 1)(n ? 2) Cn ? n(n ? 1)Cn?2 ? 2n(n ? 2)Cn?1 = n (n ? 1)( n ? 2) 2 bn ? n (n ? 1)( n ? 2) ? 2 bn ? 2 ? 2n (n ? 1)( n ? 2) ? 2 bn ?1 = n (n ? 1)( n ? 2) (2 bn ? 2 bn ? 2 ? 2 ? 2 bn ?1 ) = n (n ? 1)( n ? 2) 2 bn (1 ? 2 bn ? 2 ?bn ? 2 ? 2 bn ?1 ?bn )

= n (n ? 1)( n ? 2) ? 2 b (1 ? 2 ?2 ? 2 ? 2 ?1 ) ? n (n ? 1)( n ? 2)2 b (1 ? 1 ? 1) ? 0
n n

4

其中 bn?2 ? bn ? ?(n ? 2) ? 2 ? (?n ? 2) ? ?2 ∴ (n ? 1)(n ? 2)Cn ? n(n ? 1)Cn ? 2 ? 2n(n ? 2)Cn ?1

bn?1 ? bn ? ?(n ? 1) ? 2 ? (?n ? 2) ? ?1

【课内练习】 1.关于数列:3,9……,2187,以下结论正确的是 A、此数列不是等差数列,也不是等比数列 B、此数列可能是等差数列,但不是等比数列 C、此数列不是等差数列,但可能是等比数列 D、此数列可能是等差数列,也可能是等比数列 答案:D。解析:由前 2 项可设通项 an ? 6n ? 3 和 an ? 3n ,代入检验即可。 2.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于 A、40 B、42 C、43 D、45 答案: B。解析: d ? 3,? a4 ? a5 ? a6 ? 3a5 ? 3(a1 ? 4d ) ? 42 。 3.若 a、b、c 成等比数列,则关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 A、必有两个不等实根 B、必有两个相等实根 C、必无实根 D、以上三种情况均有可能 答案:C。解析:∵ b2 ? ac,?? ? b2 ? 4ac ? 0
2













4.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 ? 也是等比数列,则 Sn 等 于 答案:2n。解析:因数列 ?an ? 为等比,则 an ? 2qn?1 ,因数列 ?an ?1 ? 也是等比数列,

由 (an?1 ? 1)2 ? (an ?1)(an?2 ?1) ? q ? 1 ,即 an ? 2 ,所以 Sn ? 2n 。 5.关于数列有下面四个判断: ①若 a、b、c、d 成等比数列,则 a+b、b+c、c+d 也成等比数列; ②若数列 ?an ? 既是等差数列,也是等比数列,则 ?an ? 为常数列; ③若数列 ?an ? 的前 n 次和为 S n ,且 S n = an -1, (a ? R ) ,则 ?an ? 为等差或等比数列; ④数列 ?an ? 为等差数列,且公差不为零,则数列 ?an ? 中不含有 a m =a n (m≠n) 。 其中正确判断序号是 。 答案: (2),(4)。解析:若 q=—1 则①显然错误,若 a=1 则③错误。
1 1 1 1 6.已知等比数列 ?an ? 的前 3 项依次为 a, a ? , a ? , 则 an ? 2 2 3 3
1 1 1 1 2 2 ?2? 答案: 3 ? ( ) n ?1 。解析:由 ( a ? ) 2 ? a ? ( a ? ),? a ? 3, q ? ,? an ? 3 ? ? ? 2 2 3 3 3 3 ?3? 7.在等比数列{an}中, 存在正整数 m, 有 am=3,am+5=24, 则 am+15=
n ?1

。 。 。

答案:1536。解析:由 am ? 3, am?5 ? 24,? q5 ? 8,? am?15 ? am ? q15 ? 1536 。

8.等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ?

1 , a 2 ? a5 ? 4, a n ? 33 ,试求 n 的值 3
1 2 1 2 2 1 ? d ? , an ? ? (n ? 1) ? ? n ? 3 3 3 3 3 3

答案: a2 ? a5 ? a1 ? d ? a1 ? 4d ? 2a1 ? 5d ? 4, 又 a1 ?
an ? 33, 2 1 ? n ? ? 33 得 n ? 50 3 3

9. 已知数列 ?an ? 的首项为 a1 =3, 通项 an 与前 n 项和 sn 之间满足 2 an = sn · 。 sn ?1(n≥2) (1)求证: ?

?1? ? 是等差数列,并求公差; ? Sn ?

(2)求数列 ?an ? 的通项公式。 答案:解: (1)2( S n ? S n?1 )= S n ? S n?1 ?

1 1 1 ? ?? S n S n ?1 2

∴?

?1? 1 ? 是等差数列,且公差为- 2 ? Sn ?

(2)

1 1 1 6 , ? ? (n ? 1)(? ) ? S n ? Sn 3 2 5 ? 3n
18 (3n ? 5)(3n ? 8)

当 n=1 时,a1=3,当 n≥2 时,an=S n -Sn-1=

10.{an}为等差数列,公差 d≠0,an≠0,(n∈N*),且 akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*) (1)求证 当 k 取不同自然数时,此方程有公共根;
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(2)若方程不同的根依次为 x1,x2,…,xn,…,求证
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数列

1 1 1 , ,?, 为等差数列 x1 ? 1 x2 ? 1 xn ? 1

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答案: 证明 (1)∵{an}是等差数列,∴2ak+1=ak+ak+2, 故方程 akx2+2ak+1x+ak+2=0 可变为(akx+ak+2)(x+1)=0, ∴当 k 取不同自然数时,此方程有一个公共根-1
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(2)原方程不同的根为 xk= ?

a 1 ak ? 2 a ? 2d 2d ?? k ? ?1 ? ,? ?? k , ak ak ak xk ? 1 2d

a a a ? ak ?1 ?d 1 1 ? ? k ?1 ? (? k ) ? k ? ? ? (常数) xk ?1 ? 1 xk ? 1 2d 2d 2d 2d 2 1 ?

1 1 , , x1 ? 1 x2 ? 1 , 1 为等差数列。 xn ? 1

【作业本】 A组 1.已知数列 ?an ? 满足 an ?1
? 2a ? ? n ?? ? 2a ? 1 n ? ? 1 (0 ? an ? ) 2 1 ( ? an ? 1) 2

6 若 a1 ? , 则 a8 的值为 7





A、

6 7

B、

3 7

C、

5 7

D、

1 7

答案:C。解析:此数列具有周期性。 2.已知数列 a n ?

n ,则数列 ?an ? 中最大的项为 n ? 156
2

( D、不存在



A、12 B、13 C、12 或 13 答案:C。解析:利用不等式且考虑 n 的取整即可。 3.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

。 。 。
第1个 第2个 第3个

则第 n 个图案中有白色地面砖的块数是





A、 4n ? 2 B、 4 n ? 2 C、 2 n ? 4 D、 3n ? 3 答案:C。解析:取 1,2,3 块中的白色地面砖检验即可。 2 4. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn, 若 m>1, m ? N 且am?1 ? am?1 ? am ? 0, S 2m?1 ? 38 则 m 等于 。

(2m ? 1) ? 2am ? 38,? m ? 10 。 2 5.在等比数列{an}中, a1<0, 若对正整数 n 都有 an<an+1, 那么公比 q 的取值范围是
2 ? 0 得 am ? 2 , 答案: 10。 解析: 由 am ?1 ? am ?1 ? am 由 S2 m ?1 ? 38 得

答案:0<q<1。解析:由 an ? an ?1 得 a1 q n ?1 ? a1 q n ,? q n ?1 ? q n ,? 0 ? q ? 1 。 6.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a6 ? 12, a4 ? 7 。 (1)求 a9 ; (2)求此数列在 101 与 1000 之间共有多少项? 答案: ( 1 ) a1 ? a6 ? 12,? 2a1 ? 5d ? 12, a4 ? 7,? a1 ? 3d ? 7,? d ? 2, a1 ? 1 , ∴ a9 ? 1 ? 8 ? 2 ? 17 。 (2) an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1,?101 ? 2n ?1 ? 1000,?51 ? n ? 500.5 ,即有 450 项。 7.

?an ?是等差数列,如果 a1 ? f ( x ?1), a2 ? 2, a3 ? f ( x ?1) ,其中 f ( x) ? 3x ? 2 ,

求通项公式 an 。

答案:解:∵ f ( x) ? 3x ? 2 ,∴

a1 ? f (x ? 1) ? 3( x ?1) ? 2 ? 3 x ?1

a3 ? f ( x ?1) ? 3( x ?1) ? 2 ? 3x ? 5
又∵ ?an ? 是等差数列, 即 ∴ ∴ ∴

a1 ? a3 ? 2a2
4 3

3 x ? 1 ? 3 x ? 5 ? 4 解得 x ?

4 a1 ? 3 ? ? 1 ? 5 , d ? a2 ? a1 ? ?3 3

an ? a1 ? (n ?1)d ? 5 ? (n ?1) ? (?3) ? ?3n ? 8 ? an

8. 等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,第 17 项的平方等于第 24 项,求使 a1 ? a2 ?

?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 成立的正整数 n 的取值范围. an

答案:解:由题意得: a1q 又∵数列 ?

?

16 2

?

? a1q 23 ,∴ a1q9 ? 1 .

?1? 1 1 ? 是以 为首项,以 为公比的等比数列,要使不等式成立, q a1 ? an ?
n 1 ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? a1 ? ? ?q? ? ?

则需

a1 (q n ? 1) ? q ?1

1 1? q

2 ,把 a1 ? q?18 代入上式并整理,得:

q ?18 (q n ? 1) ? q(1 ?

1 ), qn

n 19 ∴ q ? q ,∵ q ? 1 ,∴ n ? 19 ,故所求正整数 n 的取值范围是 n ? 20 .

B组 1.数列 3,5,9,17,33,…的通项公式 an 等于 A、 2 B、 2 ? 1 C、 2 ? 1 答案:B。解析:用各个数检验。
n n n


n ?1



D、 2

2.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a1 、 a3 、 a4 成等比数列,则 a2 等于( A、-4 B、-6 C、-8



D、-10

2 答案:B。解析:∵ a3 ? a1 ? a4 ,? (a1 ? 4)2 ? a1 (a1 ? 6),? a1 ? ?8 ,即 a2 ? ?6 。

3.由 a1 =1, an ?1 ? A、

an 给出的数列 3an ? 1

?an ?的第 34 项为(
C、

) D、

34 103

B、100

1 100

1 104

答案:C。解析:∵

1 1 1 1 1 ? ? 3,? ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 2,? ? 100 ,即 a34 ? 。 an ?1 an an a34 100

6, c, d , 48 成等比数列, 4. 已知 6, a, b, 48 成等差数列, 则 a ? b ? c ? d 的值为_________.
答案: 90。解析:∵ a ? b ? 54, c ? 12, d ? 24,? a ? b ? c ? d ? 90 。
*

5.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn (n ? N ) ,关于数列 ?an ? 有下列四个命题: ①若 ?an ? 既是等差数列又是等比数列,则 an ? an?1 (n ? N * ) ; ②若 S n ? an2 ? bn (a, b ? R) ,则 ?an ? 是等差数列; ③若 S n ? 1 ? (?1) n ,则 ?an ? 是等比数列; ④若 ?an ? 是等比数列,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m (m ? N* ) 也成等比数列; 其中正确的命题是 (填上正确的序号) 。

答案:①②③。解析,在④中由于 Sm 可能出现 0 的情况。 6.已知公比为 3 的等比数列 ?bn ? 与数列 ?an ? 满足 bn ? 3 n , n ? N * ,且 a1 ? 1 ,
a

(1)判断 ?an ? 是何种数列,并给出证明; (2)若 C n ?

1 ,求数列 ?C n ? 的前 n 项和 a n a n ?1

答案: (1) (2) Cn ?

bn ?1 3an?1 ? a ? 3an?1 ? an ? 3,? an ?1 ? an ? 1 ,即 bn 3n

?an ? 为等差数列。

1 1 1 1 1 1 n ? ? ,? S n ? ? ? 1? ? 。 an an ?1 an an ?1 a1 an ?1 an ?1 n ? 1

7. 在公差为 d (d ? 0) 的等差数列 ?an ? 和公比为 q 的等比数列 ?bn ? 中,已知

a1 ? b1 ? 1, a2 ? b2 , a8 ? b3 .

(1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)是否存在常数 a , b ,使得对于一切正整数 n ,都有 an ? loga bn ? b 成立?若存在, 求出常数 a 和 b ,若不存在,说明理由. 答案:解析: (1)由条件得: ?

?1 ? d ? q

?d ? 5 ? ? an ? 5n ? 4, bn ? 6n?1 . ? 2 ?1 ? 7 d ? q ?q ? 6

(2)假设存在 a , b 使 an ? loga bn ? b 成立, 则 5n ? 4 ? loga 6n?1 ? b ? 5n ? 4 ? (n ?1)loga 6 ? b

? (5 ? loga 6)n ? (loga 6 ? b ? 4) ? 0 对一切正整数恒成立.
∴?

? ?log a 6 ? 5 ?a ? 5 6 , 即? . ? ?log a 6 ? b ? 4 ?b ? 1
?

故存在常数 a ? 5 6, b ? 1使得对于 n ? N 时,都有 an ? loga bn ? b 恒成立. 8.数列{ an }中,an+1+an=3n—54(n∈N*) (1)若 a1=—20,求数列通项公式。 (2)设 Sn 为{ an }前 n 项和,证明:当 a1>—27 时,有相同的 n,使 Sn 与 an?1 ? an 都 取最小值。 答案: 解: (1)由 a2+a1=3—54=—51 ? a2 ? ?31 又 an?1 ? an ? 3n ? 54 an?2 ? an?1 ? 3n ? 51 当 n 为奇数时, an ?

? an?2 ? an ? 3

3n ? 43 2
n 为奇数 n 为偶数

? 3n ? 43 ? 3n ? 68 ? 2 当 n 为偶数时, an ? 即 an ? ? 2 ? 3n ? 68 ? ? 3
(2)当 n=18 时, | an ?1 ? an | 有最小值 0。

又∵ an ?1 ? an ? 3n ? 54,? a1 ? a2 , a3 ? a4 , 为一等差数列,∴ Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? an 。 n (?51 ? 3n ? 57) 3 当 n 为偶数, Sn ? 2 ? n 2 ? 27n ,即当 n=18 时,Sn 也有最小值。 2 4 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn


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