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2.3.3 直线与平面垂直的性质


2.3.3 直线与平面垂直的性质

各树均与地面垂直,各树所在的直线有何位置关系?

路灯线杆和信号灯线杆与地面垂直,两线杆

所在的直线有何位置关系?

1.理解直线与平面垂直的性质定理.(重点)
2.能运用性质定理解决一些简单问题.(难点)

3.了解垂直与垂直,垂直与平行间的相互联系.

课堂探究1 如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1,BB1, CC1,DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何?它

们彼此之间具有什么位置关系?
D1 B1 C1

垂直 平行

a b

A1

?
D C A B

课堂探究2

如图,已知直线a,b和平面α,如果 a⊥α,b⊥α,
那么,直线a,b一定平行吗?
b’
a
b

?

.O

反证法

反证法的步骤
1.否定结论

证明:假设a与b不平行. 记直线b和α的交点为O, 则可过O作 b′∥a. 直线b 与b′确定平面β, 设α∩β=c, 因为a⊥α , b⊥α 所以a⊥c,b⊥c,又因为b′∥a,所以b′⊥c. 这样在平面β内过点O有两条直线b 和b′都垂直于直线c , 这不可能! 所以a∥b.
3.导出矛盾 肯定结论 2.正确推理

线面垂直的性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言:

a b

a ? ?,b ? ? ? a / /b
作用:判断线线平行 线面垂直

?

线线平行

空间中的平行

平行于同一条直线的 两条直线平行

垂直于同一个平面的

两条直线平行
a b

?

课堂探究3 a ⊥α, b ⊥ α a∥b

交换“平行”与“垂直”

a⊥α, b ⊥α b
l

a ∥b
a

α

想一想
如图, 有一个正三棱锥体的零件, P 是侧面 ABD 上一点. 在 面 ABD 内过点 P 画一条与棱 AC 垂直的线段,应怎样画?说 明你的理由.

【解析】取BD中点E,连接AE,CE, 因为几何体为正三棱锥, 所以AE⊥BD,CE⊥BD,
所以BD⊥平面ACE,所以BD⊥AC.

故在平面ABD内,欲过P点作与棱AC垂直的线段,

只需过P作MN∥BD分别交AB,AD于M,N,
则线段MN⊥AC,MN即为所求.

课堂探究4 设直线a,b分别在正方体中两个不同的平面内,欲 使a//b,a,b应满足什么条件? a,b满足下面条件中的任何 一个,都能使a∥b. (1)a,b同垂直于正方体一个面; (2)a,b分别在正方体两个相对的
A A1 B1 D1 C1

D
B

C

面内且共面;
(3)a,b平行于同一条棱.

例 如图,已知α∩β=l,CA⊥α于点A,CB⊥β于 点B,a ? ? , a ? AB. 求证:a∥l. C 分析: β B l ⊥平面ABC,a⊥平面ABC. α A l a

证明:
因为CA⊥α,l ?α. 所以CA⊥ l. 同理可得CB⊥ l. 因为CA∩CB = C. 所以l ⊥ 平面ABC. 因为CA⊥α,a ?α. 所以CA⊥ a. 又因为a⊥AB,AB∩AC = A, 所以a⊥ 平面ABC. 又因为l ⊥ 平面ABC, a ?α,l ?α, 所以a ? l.

C
β B α l A a

1.给出以下命题,其中错误的是 ( A )
A.如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线, 则这条直线垂直于这个平面 B.垂直于同一平面的两条直线互相平行 C.垂直于同一直线的两个平面互相平行 D.两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一 条也垂直于这个平面

2.直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD,直线m垂直于

AD和BC,则l与m的位置关系是( D )
A.相交 B.平行

C.异面

D.不确定

【解析】因为 AD∥BC,所以梯形 ABCD 确定一个平面α. 因为 l⊥AB,l⊥CD,AB 和 CD 相交. 所以 l⊥α.由于 AD∥BC,m⊥AD,m⊥BC, 则 m⊥α或 m∥α或 m ? α或 m 与α相交, 则 l∥m 或 l 与 m 异面或 l 与 m 相交.

3.下面给出三个命题: ①直线l与平面α内两直线都垂直,则l⊥α; ②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b;

③直线l同时垂直于平面α,β,则α∥β.
其中正确的命题个数为( C )

A .3

B .2

C .1

D .0

【解析】①中,平面α内两直线不一定相交,所以

①不正确;②中,当a∥b时,不存在平面,所以
②不正确;③是直线与平面垂直的性质,所以③正确.

AB ? 4. (2012· 广东高考改编) 如图所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中,

平面 PAD , AB // CD , PD ? AD ,E 是 PB 的中点,F 是 CD 上的 点且 DF ?
1 AB ,PH 为△ PAD 中 AD 边上的高. 2

(1)证明: PH ? 平面 ABCD . (2)证明: EF ? 平面 PAB .

【解析】 (1)因为 AB ? 平面 PAD, 所以 PH ? AB . 因为 PH 为△ PAD 中 AD 边上的高, 所以 PH ? AD ,因为 AB ? AD ? A , 所以 PH ? 平面 ABCD.

(2) 取 PA 的中点 M,连接 MD,ME.
1 // AB . 因为 E 是 PB 的中点,所以 ME ? 2

// 因为 DF ?

1 AB ,所以 ME // DF , ? 2

所以四边形 MEFD 是平行四边形,所以 EF // MD . 因为 PD=AD,所以 MD ? PA . 因为 AB ? 平面 PAD,所以 MD ? AB . 因为 PA ? AB ? A ,所以 MD ? 平面 PAB, 所以 EF ? 平面 PAB.

6.(2012·陕西高考)直三棱柱ABC—A1B1C1中, AB=AA1,∠CAB=
? . 2

(1)证明:CB1⊥BA1.

(2)已知AB=2,BC=

5

,求三棱锥C1—ABA1的体积.

,

1.直线和平面垂直的性质定理. 证明直线和直线平行的方法.

2.转化思想: 垂直关系

平行关系

不实心不成事,不虚心不知事,不自 是者博闻,不自满者受益。


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