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创新设计高中数学必修一1.2.1


1.2.1
[学习目标]

函数的概念

1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求

一些简单函数的定义域、函数值.

知识点一 函数的概念 (1)函数的定义: 设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数,记作 y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域与值域: 函数 y=f(x)中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,与 x 的值相对应的 y 值 叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. 知识点二 函数的三要素 函数的三个要素:定义域,对应关系,值域. (1)定义域 定义域是自变量 x 的取值集合.有时函数的定义域可以省略,如果未加特殊说明,函数的定 义域就是指能使这个式子有意义的所有实数 x 的集合. (2)对应关系 对应关系 f 是核心,它是对自变量 x 进行“操作”的“程序”或者“方法”,是连接 x 与 y 的纽带,按照这一“程序”,从定义域集合 A 中任取一个 x,可得到值域{y|y=f(x)且 x∈A} 中唯一确定的 y 与之对应. (3)值域 函数的值域是函数值的集合, 通常一个函数的定义域和对应关系确定了, 那么它的值域也会 随之确定. 思考 (1)符号“y=f(x)”中“f”的意义是什么?

(2)有人认为“y=f(x)”表示的是“y 等于 f 与 x 的乘积”,这种看法对吗? (3)f(x)与 f(a)有何区别与联系? 答 (1)符号“y=f(x)”中“f”表示对应关系,在不同的具体函数中,“f”的含义不一样 .

例如 y=f(x)=x2 中,“f”表示的对应关系为因变量 y 等于自变量 x 的平方,从而 f(a)=a2, f(x+1)=(x+1)2,而函数 y=f(x)=2x 中,“f”表示的对应关系为因变量 y 等于自变量 x 的 二倍,从而 f(a)=2a,f(x+1)=2(x+1). (2)这种看法不对. 符号 y=f(x)是“y 是 x 的函数”的数学表示, 应理解为 x 是自变量, 它是关系所施加的对象; f 是对应关系,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述;y 是 自变量的函数, 当 x 允许取某一具体值时, 相应的 y 值为与该自变量值对应的函数值.y=f(x) 仅仅是函数符号,不表示“y 等于 f 与 x 的乘积”.在研究函数时,除用符号 f(x)外,还常用 g(x),F(x),G(x)等来表示函数. (3)f(x)与 f(a)的区别与联系:f(a)表示当 x=a 时,函数 f(x)的值,是一个常量,而 f(x)是自变 量 x 的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是 f(x)的一个特殊值,如一次函数 f(x)=3x+ 4,当 x=8 时,f(8)=3×8+4=28 是一个常数. 知识点三 函数相等 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等. 思考 函数 y=x2+x 与函数 y=t2+t 相等吗? 答 相等,这两个函数定义域相同,都是实数集 R,而且这两个函数的对应关系也相同,因 此这两个函数相等.函数相等与否与自变量用什么字母没有关系,只是习惯上自变量用 x 表 示. 知识点四 区间概念 区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表: 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} {x|x≥a} {x|x>a} 名称 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 符号 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b] [a,+∞) (a,+∞) 数轴表示

{x|x≤a} {x|x<a} R

(-∞,a] (-∞,a) (-∞,+∞) 取遍数轴上所有的值

思考 (1)对于区间[a,b]而言,区间端点 a,b 应满足什么关系? (2)区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗? (3)“∞”是数吗?如何正确使用“∞”? 答 (1)若 a,b 为区间的左右端点,则 a<b. (2)不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示. (3)“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数.以“-∞”或“+∞”作为区间一端时, 这一端必须是小括号.

题型一 函数概念的应用 例 1 设 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集 合 N 的函数关系的有( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案 B 解析 ①错,x=2 时,在 N 中无元素与之对应,不满足任意性.②对,同时满足任意性与唯 一性.③错,x=2 时,对应元素 y=3?N,不满足任意性.④错,x=1 时,在 N 中有两个元素 与之对应,不满足唯一性. 反思与感悟 1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法: (1)A, B 必须都是非空数集; (2)A 中任意一个数在 B 中必须有并且是唯一的实数和它对应. 注意:A 中元素无剩余,B 中元素允许有剩余. 2.函数的定义中“任意一个 x”与“有唯一确定的 y”说明函数中两变量 x,y 的对应关系是 “一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”. 跟踪训练 1 下列对应关系式中是 A 到 B 的函数的是( A.A?R,B?R,x2+y2=1 B.A={-1,0,1},B={1,2},f:x→y=|x|+1 )

C.A=R,B=R,f:x→y=

1 x-2

D.A=Z,B=Z,f:x→y= 2x-1 答案 B 解析 对于 A,x2+y2=1 可化为 y=± 1-x2,显然对任意 x∈A,y 值不唯一,故不符合. 对于 B,符合函数的定义.对于 C,2∈A,但在集合 B 中找不到与之相对应的数,故不符合. 对于 D,-1∈A,但在集合 B 中找不到与之相对应的数,故不符合. 题型二 判断是否为同一函数 例 2 判断下列函数是否为同一函数:
? ?1,x≥0, |x| (1)f(x)= 与 g(x)=? x ?-1,x<0; ?

(2)f(x)= x x+1与 g(x)= x?x+1?; (3)f(x)=x2-2x-1 与 g(t)=t2-2t-1; (4)f(x)=1 与 g(x)=x0(x≠0). 解 (1)f(x)的定义域中不含有元素 0,而 g(x)的定义域为 R,定义域不相同,所以二者不是 同一函数. (2)f(x)的定义域为[0,+∞),而 g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[0,+∞),定义域不相同,所 以二者不是同一函数. (3)尽管两个函数的自变量一个用 x 表示,另一个用 t 表示,但它们的定义域相同,对应关系 相同,对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者为同一函数. (4)f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为{x|x≠0},因此二者不是同一函数. 反思与感悟 判断两个函数是否相同,只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同. (1)定义域和对应关系都相同,则两个函数相同; (2)定义域不同,则两个函数不同; (3)对应关系不同,则两个函数不同; (4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数, 也不一定相同, 例如 y=x 和 y=2x-1 的定义 域和值域都是 R,但不是同一函数; (5)两个函数是否相同,与自变量用什么字母表示无关. 跟踪训练 2 下列各组函数中,表示同一函数的是( x2-1 A.y=x+1 与 y= x-1 B.y=x2 与 y=(x+1)2 3 C.y=( x)3 与 y=x D.f(x)=( x)2 与 g(x)= x2 )

答案 C 题型三 求函数的定义域 例 3 求下列函数的定义域: ?x+1?2 x+1 (1)y= - 1-x;(2)y= . x+1 |x|-x 解 (1)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足
?x+1≠0, ?x≠-1, ? ? ? 即? ?1-x≥0, ? ? ?x≤1.

所以函数的定义域为{x|x≤1,且 x≠-1}. (2)要使函数有意义,必须满足|x|-x≠0,即|x|≠x, ∴x<0. ∴函数的定义域为{x|x<0}. 反思与感悟 1.当函数是由解析式给出时, 求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量 的取值集合,必须考虑下列各种情形:(1)负数不能开偶次方,所以偶次根号下的式子大于 或等于零;(2)分式中分母不能为 0;(3)零次幂的底数不为 0;(4)如果 f(x)由几部分构成,那 么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合;(5)如果函数有实际背景,那么除符合 上述要求外,还要符合实际情况. 2.求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,注意定义域是一个集合,其 结果必须用集合或区间来表示. 跟踪训练 3 求下列函数的定义域: ?x+1?0 (1)y= ; x+2 (2)y= 2x+3- 1 1 + . 2-x x

解 (1)由于 00 无意义,故 x+1≠0,即 x≠-1. 又 x+2>0,x>-2,所以 x>-2 且 x≠-1. ?x+1?0 所以函数 y= 的定义域为{x|x>-2,且 x≠-1}. x+2 2x+3≥0, ? ? (2)要使函数有意义,需?2-x>0, ? ?x≠0, 3 解得- ≤x<2,且 x≠0, 2 所以函数 y= 2x+3- 题型四 求函数值
? ? 3 1 1 - ≤x<2,且x≠0 ?. + 的定义域为?x? ? ? 2 ? 2-x x

1 例 4 已知 f(x)= (x∈R,且 x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R). 1+x (1)求 f(2),g(2)的值; (2)求 f[g(3)]的值. 1 1 1 解 (1)∵f(x)= ,∴f(2)= = . 1+x 1+2 3 又∵g(x)=x2+2, ∴g(2)=22+2=6. (2)∵g(3)=32+2=11, ∴f[g(3)]=f(11)= 1 1 = . 1+11 12

反思与感悟 求函数值时,首先要确定出函数的对应关系 f 的具体含义,然后将变量代入解 析式计算,对于 f[g(x)]型的求值,按“由内到外”的顺序进行,要注意 f[g(x)]与 g[f(x)]的区别. 跟踪训练 4 已知函数 f(x)= (1)求 f(2);(2)求 f[f(1)]. x+1 2+1 3 解 (1)∵f(x)= ,∴f(2)= = . x+2 2+2 4 2 +1 1+1 2 2 ?=3 =5. (2)f(1)= = ,f[f(1)]=f? ?3? 2 8 1+2 3 +2 3 x+1 . x+2

抽象函数定义域理解错误致误

例 5 已知函数 f(3x+1)的定义域为[1,7],求函数 f(x)的定义域. 错解 因为 f(3x+1)的定义域为[1,7], 即 1≤3x+1≤7,解得 0≤x≤2, 所以 f(x)的定义域为[0,2]. 正解 令 3x+1=t,则 4≤t≤22, 即 f(t)中,t∈[4,22], 故 f(x)的定义域为[4,22]. 易错警示 错误原因 对定义域是自 变 量 x 的取值范围 纠错心得 (1)已知 f(x)的定义域为 A,求 f[φ(x)]的定义域,其实质是已知 φ(x)的取值 范围为 A, 求 x 的取值范围.(2)已知 f[φ(x)]的定义域为 B, 求 f(x)的定义域,

理解错误.

其实质是已知 f[φ(x)]中 x 的取值范围为 B,求 φ(x)的取值范围(值域),此 范围就是 f(x)的定义域.若不能正确理解 φ(x)与 x 的关系将导致错误.

跟踪训练 5 若 f(x)的定义域为[-3,5],求 φ(x)=f(-x)+f(x)的定义域.
? ? ?-3≤-x≤5 ?-5≤x≤3, 解 由 f(x)的定义域为[-3,5],得 φ(x)的定义域需满足? 即? ?-3≤x≤5, ? ? ?-3≤x≤5.

解得-3≤x≤3. 所以函数 φ(x)的定义域为[-3,3].

1.下列图象中能表示函数 y=f(x)图象的是(

)

答案 B 解析 由函数的概念知答案为 B. 2.下列各组函数中表示同一函数的是( A.f(x)=x 与 g(x)=( x)2 B.f(x)=|x|与 g(x)=x(x>0) C.f(x)=2x-1 与 g(x)=2x+1(x∈N*) x2-1 D.f(x)= 与 g(x)=x+1(x≠1) x-1 答案 D 解析 选项 A,B,C 中两个函数的定义域均不相同, 故选 D. 3.函数 f(x)= x+1+ 1 的定义域为________. 2-x )

答案 {x|x≥-1 且 x≠2}
? ?x+1≥0 解析 由? ,得 x≥-1 且 x≠2. ?2-x≠0 ?

4.函数 f(x)对任意自然数 x 满足 f(x+1)=f(x)+1,f(0)=1,则 f(5)=________. 答案 6 解析 f(1)=f(0)+1=1+1=2,f(2)=f(1)+1=3, f(3)=f(2)+1=4,f(4)=f(3)+1=5,f(5)=f(4)+1=6.

5.已知函数 f(x)=x2+x-1. 1 (1)求 f(2),f( ); x (2)若 f(x)=5,求 x 的值. 解 (1)f(2)=22+2-1=5, 1+x-x2 1 1 1 f( )= 2+ -1= . x x x x2 (2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0, ∴x=2,或 x=-3.

1.对函数相等的概念的理解: (1)函数有三个要素:定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值 域, 因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时, 这两个函数才是同一个函数. (2)定义域和值域都分别相同的两个函数,它们不一定是同一函数,因为函数对应关系不一 定相同.如 y=x 与 y=3x 的定义域和值域都是 R,但它们的对应关系不同,所以是两个不同 的函数. 2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合,即用端点所对 应的数、“+∞”(正无穷大)、“-∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含 端点)等来表示的部分实数组成的集合.如{x|a<x≤b}=(a,b],{x|x≤b}=(-∞,b]是数集描 述法的变式.

一、选择题 1.下列四个图象中,是函数图象的是( )

A.① C.①②③ 答案 B

B.①③④ D.③④

解析 由每一个自变量 x 对应唯一一个 f(x)可知②不是函数图象,①③④是函数图象.

2.设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数 f(x)的定义域为 M,值域为 N,则 f(x)的图象 可以是( )

答案 B 解析 A 项中,当 0<x≤2 时,每一个 x 都没有 y 与它对应,故不可能是函数的图象;B 项 中, -2≤x≤2 时, 每一个 x 都有唯一的 y 值与它对应, 故它是函数的图象且是 f(x)的图象; C 项中,-2≤x<2 时,每一个 x 都有两个不同的 y 值与它对应,故它不是函数的图象;D 项 中,-2≤x≤2 时,每一个 x 都有唯一的 y 值与它对应,故它是某个函数的图象,但函数的 值域不是 N={y|0≤y≤2},故它是某个函数的图象但不是 f(x)的图象. 3.已知函数 y=f(x)的定义域为[-1,5],则在同一坐标系中,函数 f(x)的图象与直线 x=1 的交 点个数为( )

A.0B.1C.2D.0 或 1 答案 B 解析 因为 1 在定义域[-1,5]上, 所以 f(1)存在且唯一. 4.函数 f(x)= A.(1,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞) 答案 D 解析 因为 f(x)= x ,所以 x≥0 且 x≠1,故可知定义域为[0,1)∪(1,+∞),故选 D. x-1 ) x 的定义域为( x-1 )

5.若函数 y=x2-3x 的定义域为{-1,0,2,3},则其值域为( A.{-2,0,4} 9 C.{y|y≤- } 4 答案 A 解析 依题意,当 x=-1 时,y=4;当 x=0 时,y=0; 当 x=2 时,y=-2;当 x=3 时,y=0. 所以函数 y=x2-3x 的值域为{-2,0,4}. B.{-2,0,2,4} D.{y|0≤y≤3}

x-4 6.若函数 f(x)= 2 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是( mx +4x+3 A.(-∞,+∞) 4 C.( ,+∞) 3 答案 C 解析 (1)当 m=0 时,分母为 4x+3,此时定义域不为 R, 故 m=0 不符合题意. (2)当 m≠0 时,由题意,得
?m≠0, ? 4 ? 解得 m> . 3 ?Δ=16-4×3m<0, ?

)

4 B.(0, ) 3 4 D.[0, ) 3

4 由(1)(2),知实数 m 的取值范围是( ,+∞). 3 二、填空题 7.用区间表示下列集合: 1 (1){x|- ≤x<5}=________; 2 (2){x|x<1 或 2<x≤3}=________. 1 答案 (1)[- ,5);(2)(-∞,1)∪(2,3] 2 解析 5). (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”,则{x|x<1 或 2<x≤3}=(-∞,1)∪(2,3]. x? 8.已知函数 f(x)的定义域为(-1,1),则函数 g(x)=f? ?2?+f(x-1)的定义域是________. 答案 (0,2) x ? ?-1<2<1, 解析 由题意知? ? ?-1<x-1<1,
? ?-2<x<2, 即? ?0<x<2. ?

1 1 (1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应,则 {x|- ≤x<5}=[- , 2 2

∴0<x<2. 1 9.设 f(x)=2x2+2,g(x)= ,则 g[f(2)]=________. x+2 答案 1 12

解析 ∵f(2)=2×22+2=10,

1 1 ∴g[f(2)]=g(10)= = . 10+2 12 10.已知 f(x)=x2+2x+4(x∈[-2,2]),则 f(x)的值域为________. 答案 [3,12] 解析 函数 f(x)的图象对称轴为 x=-1,开口向上,而-1 在区间[-2,2]上,所以 f(x)的最小 值为 f(-1)=3,最大值为 f(2)=12,所以 f(x)在[-2,2]上的值域为[3,12]. 三、解答题 11.已知函数 f(x)= x+3+ (1)求函数的定义域; 2 (2)求 f(-3),f( )的值; 3 (3)当 a>0 时,求 f(a),f(a-1)的值.
?x+3≥0, ? 解 (1)由? 得函数的定义域为[-3,-2)∪(-2,+∞). ? ?x+2≠0,

1 . x+2

2 3 33 (2)f(-3)=-1,f( )= + . 3 8 3 (3)当 a>0 时,f(a)= a+3+ 1 , a+2 1 . a+1

a-1∈(-1,+∞),f(a-1)= a+2+ 12.求下列函数的值域. (1)y= x-1(x≥4); (2)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}; (3)y=x+ 2x-1; (4)y=x2-2x-3(x∈[-1,2]).

解 (1)∵x≥4,∴ x≥2,∴ x-1≥1,∴y∈[1,+∞). (2)y={3,5,7,9,11}. 1 (3)方法一 函数 y=x+ 2x-1的定义域为[ , +∞), 易知在定义域内 y 随 x 的增大而增大, 2 1 1 故函数在 x= 时取最小值,无最大值,故值域为[ ,+∞). 2 2 1+u2 方法二 设 u= 2x-1,则 u≥0,且 x= , 2 1+u2 1 1 于是,y= +u= (u+1)2≥ , 2 2 2 1 ∴y=x+ 2x-1的值域为[ ,+∞). 2

(4)y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 作出其图象可得值域为[-4,0]. x2 13.已知函数 f(x)= . 1+x2 1? ?1?的值; (1)求 f(2)+f? , f (3) + f ?2? ?3? 1? (2)求证 f(x)+f? ?x?是定值. x2 (1)解 ∵f(x)= , 1+x2

?1?2 2 ?2? 1 2 ? ∴f(2)+f? ?2?=1+22+ ?1?2=1. 1+?2? ?1?2 2 ?3? 1 3 ?= f(3)+f? =1. 2+ 3 ? ? 1+3 1?2 ? 1+?3? ?1?2 2 ? x? 1 x ? (2)证明 f(x)+f? ?x?=1+x2+ ?1?2 1+?x ?
x2+1 x2 1 = + = =1. 1+x2 x2+1 x2+1


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