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高一数学培优拔高讲义第三讲


高一数学培优拔高讲义

第三讲

函数单调性与函数最值(值域)

函数单调性与函数最值(值域) 高一数学培优拔高讲义第三讲 函数单调性与函数最值(值域) 【知识方法导航】 知识方法导航】 1.函数的单调性与最值(值域) :增函数;减函数;单调区间;最大值与最小值。 2.判断函数单调性的的方法:定义法;等价转化法;性质法;图象法;复合函数法;导数法。 3.求函数最值或值域的方法:观察法;配方法;判别式法;换元法;不等式法;图象法;单调性法;分离常数法; 有界性法;导数法。 【题型策略导航】 题型策略导航】 1.若函数 上是递增的, 1.若函数 y = 8 x + ax + 5 在 [1, +∞ ) 上是递增的,则 a 的取值范围是
2



2 单调递增, 的取值范围是( 变式:1.若函数 变式:1.若函数 y = f ( x) 在 R 单调递增,且 f ( m ) > f ( ?m) ,则实数 m 的取值范围是(



A. ( ?∞, ?1)

B. ( 0, +∞ )

C. ( ?1, 0 )

D. ( ?∞, ?1) U ( 0, +∞ )


2 上是减函数, 的取值范围是( 2. 若函数 f ( x ) = x + 2( a ? 1) x + 2 在区间 ( ?∞, 4] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是(

C. ( ?∞,3] D. [3, +∞ ) ( ?∞, ?3] 3. 函数 f ( x ) 在递增区间是 ( ?4,7 ) ,则 y = f ( x ? 3) 的递增区间是 A. ( ?2,3) B. ( ?1,10 ) C. ( ?1, 7 ) D. ( ?4,10 ) 上为增函数, 4. 若函数 f ( x) = a x ? b + 2 在 [ 0, +∞ ] 上为增函数,则实数 a 、 b 的范围是 A. B.
求下列函数的值域: 2. 求下列函数的值域:
2 ( 1) y = 3 x ? x + 2 ;

[ ?3, +∞ )



( 2) y =

? x 2 ? 6 x ? 5 ; (3) y = 2 x ? 3 + 4 x ? 13 ;

(4) y =| x ? 1| + | x + 4 | ; (5) y =

1 ? 3x ; 1 + 3x

( 6) y =

2x2 ? x + 2 。 x2 + x + 1

变式: 变式:1. 已知函数 y =

ax + b 的值。 的值域为 [ ?1, 4] ,求常数 a 、 b 的值。 x2 + 1 x + 2 ? 1 ? x 的值域。 的值域。

2. 已知 x ∈ [ 0,1] ,求函数 y =

3. 函数 f ( x ) = x 2 ? 2mx + 3 在区间 [ 0, 2] 上的值域为 [ ?2,3] ,则 m 的值为( 的值为(



A. ? 5 或 5
4. 函数 f ( x ) =

B.

5或

9 4

C.

5

D.

9 4

1 2 x ? x + a 的定义域和值域均为 [1,b ] ( b > 1) ,求 a 、 b 的值。 的值。 2

的值域。 5. 求函数 y = 2 x + 4 1 ? x 的值域。
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函数单调性与函数最值(值域)

x
3. 判断函数 y=

x +1
2

在(0,+∞)内的增减性

变式:1.判断并证明函数 变式:1.判断并证明函数 f ( x ) = x +

a (a > 0) 的单调区间。 的单调区间。 x ax + b 2.判断并证明函数 (b ≠ ac) 的单调区间。 的单调区间。 2.判断并证明函数 f ( x ) = x+c

2 2 (1 的解析式。 3.已知 f ( x) = x + c ,且 f [ f ( x)] = f ( x + 1) , 1)设 g ( x ) = f [ f ( x )] ,求 g (x ) 的解析式。 (

试问: 上是减函数, (2)设 h( x ) = g ( x ) ? af ( x ) ,试问:是否存在实数 a 使 h(x ) 在 ( ?∞,?1) 上是减函数,并且在 (?1,0) 上是增函 数。 4.函数 f ( x ) 对任意的 a, b ∈ R ,都有 f ( a + b) = f ( a ) + f (b) ? 1 ,并且当 x > 0 时 f ( x ) > 1 . 求证: 上的增函数; (1) 求证: f ( x) 是 R 上的增函数; ( 2 ) 若 f (4) = 5 ,解不等式 f (3m2 ? m ? 2) < 3 。

变式:1.已知函数 的一切实数, 变式:1.已知函数 f ( x ) 的定义域是 x ≠ 0 的一切实数,对定义域内的任意 x1 , x2 都有 f ( x1 ? x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) , 求证: 且当 x > 1 时 f ( x ) > 0, f (2) = 1 , (1) 求证 : f ( ? x ) = f ( x ) ; ( 2 )

f ( x) 在 (0, +∞ ) 上是增函数 ; ( 3) 解不等式 上是增函数;

f (2 x 2 ? 1) < 2 .

2.已知 上的函数, 2. 已知 f ( x ) 是定义在 [ ?1,1] 上的函数,且 f ( ? x ) = ? f ( x ) , f (1) = 1 。 若 m、n ∈ [?1,1] , m + n ≠ 0 时,

f ( m ) + f ( n) 1 1 > 0 , 1 ) 用定义证明 f ( x) 在 [?1,1] 上是增函数 ; 2 ) 解不等式 : f ( x + ) < f ( (1 上是增函数; (2 解不等式: ) ; 3 )若 (3 ( ( ( m+n 2 x ?1 f ( x) ≤ t 2 ? 2at + 1 对 x ∈ [?1,1] , a ∈ [?1,1] 恒成立,求实数 t 的取值范围。 恒成立, 的取值范围。

m 3.已知定义在 满足: 3.已知定义在 (0,+∞) 上的函数 f ( x ) 满足:对任意的 m ∈ R , f ( x ) = mf ( x ) , f ( 2) = 1 ,

都成立; (2 证明: 上单调递增; (1)求证: f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) 对任意的正数 x, y 都成立; 2)证明: f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增; 求证: ( 的取值范围。 (3)若 f ( x ) + f ( x ? 3) ≤ 2 ,求 x 的取值范围。

2 4.已知 (1 的值域; (2 4.已知 f ( x ) = 1 + x + 1 ? x , 1)求 f (x ) 的值域; 2)设 g ( x ) = m 1 ? x + f ( x ) ,记 g (x ) 的最大值为 ( (

h(m) ,求 h(m) 的表达式。 的表达式。

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