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河北省唐山市2017届高三年级摸底考试(数学理科)试卷(含答案)


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河北省唐山市 2017 届高三年级摸底考试 理科数学
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ?1, 2,3, 4,5? ,且 A ? ?1,2,3? ? ?1,2? ,则满足条件的集合 A 的个数是( A.2 B.4 C.8 D.16 )

2.已知复数满足 1 ? 3i z ? 3i ,则 z ? (

?

?



A.

3 3 ? i 2 2

B.

3 3 ? i 2 2

C.

3 3 ? i 4 4

D.

3 3 ? i 4 4

3.某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示,数据分组依次为

?70,90? , ?90,110? , ?110,130? , ?130,150?,若成绩大于等于 90 分的人数为 36,则成绩在 ?110,130?
的人数为( )

A.12

B.9

C.15

D.18

4.设函数 y ? f ? x ? , x ? R , “ y ?f x ? A.充分不必要条件 5.设 F1 , F2 是双曲线 为( )

? 是偶函数”是“ y ? f ? x ? 的图象关于原点对称”的(



B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

x2 ? y 2 ? 1的两个焦点, P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 900 ,则 ?F1PF2 的面积 4

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A.1

B.2

C.

5 2

D. 5

6.要得到函数 f ? x ? ? 2sinxcosx, x ? R 的图像,只需将函数 g ? x ? ? 2cos2 x ?1, x ? R 的图像 ( )

? 个单位 2 ? C.向左平移 个单位 4
A.向左平移

? 个单位 2 ? D.向右平移 个单位 4
B.向右平移 )

7.执行如图所示的程序框图,若输入 a ? 1, b ? 2 ,则输出的 x ? (

A.1.25

B.1.375
x

C.1.4375

D.1.40625 )

?1? 8.设 x0 是方程 ? ? ? x 的解,则 x0 所在的范围是( ? 3?
A. ? 0, ?

? ?

1? 3?

B. ? ,

?1 1? ? ?3 2?

C. ?

?1 2? , ? ?2 3?

D. ? ,1? )

?2 ? ?3 ?

9.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为(

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A. 6 ? 2 2 ? 6

B. 6 ? 2 2

C.3

D.

8 3


10.把长为 80cm 的铁丝随机截成三段,则每段铁丝长度都不小于 20cm 的概率是( A.

1 16

B.

1 8

C.

1 4

D.

3 16

11.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ? 底面 ABCD , PA ? AB ? 4, E, F , H 分 别是棱 PB, BC , PD 的中点,则过 E , F, H 的平面截四棱锥 P ? ABCD 所得截面面积为( A. 2 6 B. 4 6 C. 5 6 D. 2 3 ? 4 6 )

12.设函数 f ? x ? ? 取值范围是( A. ?

1 3 x ? 3x 2 ? ? 8 ? a ? x ? 5 ? a ,若存在唯一的正整数 x0 ,使得 f ? x0 ? ? 0 ,则 a 的 3


? 1 1? , ? ? 15 6 ?

B. ?

? 1 1? , ? ? 15 4 ?

C. ?

? 1 1? , ? 6 4? ?

D. ? , 第Ⅱ卷

?1 5 ? ? ? 4 18 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上 13.已知复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 4i ,则 z ? ___________. 14.若 tan ? ?

1 ,则 cos 2? ? __________. 2
2 2

2 2 15.已知抛物线 x ? 4 y 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? r ? r ? 0 ? 有公共点 P , 若抛物线在 P 点处的切

线与圆 C 也相切,则 r ? _________. 16.如图,在平面四边形 ABCD 中, AB ? 8, AD ? 5, CD ? 3 3 , ?A ? 60 , ?D ? 150 ,则
0 0

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BC ? _________.

三、解答题 :本大题共 6 小题,共 70 分.其中(17)--(21)题必考题, (22) , (23) , (24)题为 选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S10 ? 110, S15 ? 240 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ?

an?1 an ? ? 2 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an?1

18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD, BC ? PB, PC 与平面 ABCD 所成角的正切值为

2 , ?BCD 为等边三角形, PA ? 2 2, AB ? AD, E 为 PC 的中点. 2

(1)求 AB ; (2)求点 E 到平面 PBD 的距离. 19.(本小题满分 12 分) 某班一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示,数据分组依次为

?70,90? , ?90,110? , ?110,130? , ?130,150?,已知成绩大于等于 90 分的人数为 36 人,现采用分层抽
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样的方式抽取一个容量为 10 的样本.

(1)求每个分组所抽取的学生人数; (2)从数学成绩在 ?110,150? 的样本中任取 2 人,求恰有 1 人成绩在 ?110,130? 的概率. 20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 如图,过椭圆 E : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足为左焦点 F , A, B 分别为 E a b
的右顶点,上顶点,且 AB / /OP, AF ?

2 ? 1.

(1)求椭圆 E 的方程; (2) C , D 为 E 上的两点,若四边形 ACBD ( A,C, B, D 逆时针排列)的对角线 CD 所在直线的斜 率为 1,求四边形 ACBD 面积 S 的最大值. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 . x

(1)求 f ? x ? 的最小值;
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(2)若方程 f ? x ? ? a 有两个根 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,证明: x1 ? x2 ? 2 . 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 与 ?ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形, O 为线段 AB 上一点, BD 平分 ?ABC , 且 OD / / BC .

(1)证明: A, B, C , D 四点共圆,且 O 为圆心; (2) AC 与 BD 相交于点 F ,若 BC ? 2CF ? 6, AF ? 5 ,求 C , D 之间的距离. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C1 的极坐标方程是 ? ? 2 . 矩形 ABCD 内接于曲线 C1 , A, B 两点的极坐标分别为 ? 2, 纵坐标缩短为原来的一半,得到曲线 C2 . (1)写出 C , D 的直角坐标及曲线 C2 的参数方程; (2)设 M 为 C2 上任意一点,求 MA ? MB ? MC ? MD 的取值范围. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? mx ?1 . (1)若 m ? 1 ,求 f ? x ? 的最小值,并指出此时 x 的取值范围; (2)若 f ? x ? ? 2x ,求 m 的取值范围.
2 2 2 2

? ?

??

? 5? ? 和 ? 2, 6? ? 6

? ? .将曲线 C1 上所有点的横坐标不变, ?

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唐山市 2016—2017 学年度高三年级摸底考试 理科数学参考答案 一、选择题: A 卷: BCABA DCBDA B 卷: CCBBA DCBDD 二、填空题: (13) 3; 三、解答题: (17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设公差为 d,依题意有 (14)14; (15) 2; (16)70. CA CA

?10a +102?9d=110, ? 15?14 15a + d=240. ? 2
1 1

解得,a1=d=2. 所以,an=2n. ?6 分
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2n+2 2n n+1 n 1 1 (Ⅱ)bn= + = + = - +2, 2n 2n+2 n n+1 n n+1

Tn=1-

1 1 1 1 1 1 1 n + - + - +?+ - +2n= +2n. 2 2 3 3 4 n n+1 n+1

?12 分

(18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)连 AC,

因为△BCD 为等边三角形,所以∠ABD=30°. 又已知 AB=AD,BD= 3,可得 AB=1. (Ⅱ)分别以 BC,BA 所在直线为 x,y 轴, 过 B 且平行 PA 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系.P(0,1, 3),C( 3,0,0), ?5 分

E(

3 1 3 3 3 , , ),D( , ,0). 2 2 2 2 2

由题意可知平面 PAB 的法向量为 m=(1,0,0). 设平面 BDE 的法向量为 n=(x,y,z),

? x+ 2 y+ 2 z=0, ?→ BE ·n=0, ? 2 则? 即? 3 3 BD ·n=0, ?→ ? ? x+ y=0,
3 1 3 2 2 则 n=(3,- 3,-2). cos?m,n?= 3?1- 3?0-2?0 3 +(- 3) +(-2)
2 2 2



3 . 4 7 . 4 ?12 分

所以平面 BDE 与平面 ABP 所成二面角的正弦值

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(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知可得: 9 mn= , ? , ?m= 3 ? 100 5 1 ?(1-m) (1-n) = ,解得:? 1 25 ? ?n= 2 . ?m>n,
2 2 2 2

(Ⅱ)X 可取 0,1,2,3,4.

?5 分

P(X=0)= , P(X=1)=C1 2× P(X = 2) = C 1 2×
37 , 100 3 3 1 2 3 2 1 1 1 1 ×(1- )×(1- ) +(1- ) ×C2× ×(1- )= , 5 5 2 5 2 2 5 3 3 1 1 3 2 1 2 3 2 1 2 1 × (1 - )×C 2× × (1 - )+( ) × (1 - ) + (1 - ) × (1 - )= 5 5 2 2 5 2 5 2

1 25

P(X=3)=C1 2× P(X=4)=

3 3 1 2 3 2 1 1 1 3 ×(1- )×( ) +( ) ×C2× ×(1- )= , 5 5 2 5 2 2 10

9 . 100

X 的分布列为 X P E(X)=0× +1×
1 25 0 1 25 1 1 5 2 37 100 3 3 10 4 9 100 ?12 分

1 37 3 9 +2× +3× +4× =2.2 5 100 10 100

(20) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设焦距为 2c,则 P(-c, 由 AB∥OP 得 =

b2 ). a

b2 ac

b ,则 b=c,a= 2c, a

则|AF|=a+c=( 2+1)c,又|AF|= 2+1, 则 c=1,b=1,a= 2,椭圆 E 的方程为 +y =1. 2 (Ⅱ)CD:y=kx,设 C(x1,y1),D(x2,y2),到 AB 的距离分别为 d1,d2,

x2

2

?4 分

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x 2 2 2 2 2 将 y=kx 代入 +y =1 得 x = ,x2=- . 2,则 x1= 2 2 2 1+2k 1+2k 1+2k
由 A( 2,0),B(0,1)得|AB|= 3,且 AB:x+ 2y- 2=0,

2

x1+ 2y1- 2 x2+ 2y2- 2 d1= ,d2=- ,
3 3

S=


1 1 |AB|(d1+d2)= 2 2

1 2+2k (1+ 2k)(x1-x2)= , 2 2 1+2k 2 2k 2 2 2k,当且仅当 2k =1 时取等号, 2),因为 1+2k ≥2 1+2k 2 时,四边形 ACBD 的面积 S 取得最大值 2. 2 ?12 分

S2=2(1+

所以当 k=

(21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)f ?(x)= 1

x



a x-a = 2, (x>0) x2 x

所以当 a≤0 时,f ?(x)>0,f (x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a>0 时,f (x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. ?5 分

(Ⅱ)若函数 y=f (x)的两个零点为 x1,x2(x1<x2) ,由(Ⅰ)可得 0<x1<a<x2. 令 g (x)=f (x)-f (2a-x), (0<x<a) 1 则 g ?(x)=f ?(x)+f ?(2a-x)=(x-a)[ 2-

x

1 2]<0, (2a-x)

所以 g (x)在(0,a)上单调递减,g (x)>g (a)=0, 即 f (x)>f (2a-x). 令 x=x1<a,则 f (x1)>f (2a-x1),所以 f (x2)=f (x1)>f (2a-x1), 由(Ⅰ)可得 f (x)在(a,+∞)上单调递增,所以 x2>2a-x1, 故 x1+x2>2a. (22) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)因为△ABC 与△ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形, 所以 A,B,C,D 四点都在以 AB 为直径的圆上.
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?12 分

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因为 BD 平分∠ABC,且 OD∥BC, 所以∠OBD=∠CBD=∠ODB,OB=OD. 又∠OAD+∠OBD=90°,∠ODA+∠ODB=90°, 所以∠OAD=∠ODA,OA=OD. 所以 OA=OB,O 是 AB 的中点,O 为圆心. (Ⅱ)由 BC=2CF=6,得 BF=3 5, 由 Rt△ADF∽Rt△BCF 得 = =2. 设 AD=2DF=2x,则 AF= 5x,由 BD 平分∠ABC 得 = 3 5+x 所以 =2,解得 x= 5,即 AD=2 5. 2x 连 CD,由(Ⅰ) ,CD=AD=2 5. (23) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由 A( 3,1)、B(- 3,1)得 C(- 3,-1)、D( 3,-1); 曲线 C2 的参数方程为?
?x=2cos θ , ?y=sin θ

?5 分

AD BC DF CF

BD BC =2, DA CF

?10 分

(θ 为参数) .

?4 分

(Ⅱ)设 M(2cos θ ,sin θ ),则 |MA| +|MB| +|MC| +|MD|
2 2 2 2 2

=(2cos θ - 3) +(sin θ -1) +(2cos θ + 3) +(sin θ -1)
2 2 2

2

2

2

+(2cos θ + 3) +(sin θ +1) +(2cos θ - 3) +(sin θ +1) =16cos θ +4sin θ +16=12cos θ +20, 则所求的取值范围是. (24) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)f (x)=|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2, 当且仅当(x+1)(x-1)≤0 时取等号. 故 f (x)的最小值为 2,此时 x 的取值范围是. (Ⅱ)x≤0 时,f (x)≥2x 显然成立,所以此时 m∈R;
2 2 2

2

?10 分

?5 分

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x>0 时,由 f (x)=x+1+|mx-1|≥2x 得|mx-1|≥x-1.
由 y=|mx-1|及 y=x-1 的图象可得|m|≥1 且 解得 m≥1,或 m≤-1. 综上所述,m 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). ?10 分 1

m

≤1,

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