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函数周期性分类解析


函数周期性分类解析

一.定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ?
则 f (x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期。

f ( x) 恒成立

二.重要结论
1、 f ? x ? ? f ? x ? a ? ,则 y ? f ? x ? 是以 T ? a

为周期的周期函数;
2、 若函数 y=f(x) 满足 f(x+a)=-f(x)(a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。 3、 若函数 f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数 4、 y=f(x) 满足 f(x+a)=

1 (a>0), 则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。 f ?x ?
1 (a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。 f ?x ?

5、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)= ?

6、 f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 4 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) (x∈R, a>0), 则 f(x)为周期函数且 4a 是它的一个周期。 1 ? f ( x)

7、 f ( x ? a ) ? ?

8、 若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=

9、 若函数 y=f(x) 的图像关于直线 x=a,x=b(b>a) 都对称, 则 f(x)为周期函数且 2(b-a)是它的 一个周期。 10、函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于两点 A ? a, y0 ? 、 B ? b, y0 ? ? a ? b ? 都对称,则函数

f ( x) 是以 2 ? b ? a ? 为周期的周期函数;
11、 函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于 A ? a, y0 ? 和直线 x ? b ? a ? b ? 都对称, 则函数 f ( x ) 是以 4 ? b ? a ? 为周期的周期函数; 12、若偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称,则 f(x)为周期函数且 2 a 是它的一个周期。 13、若奇函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称,则 f(x)为周期函数且 4 a 是它的一个周期。 14、若函数 y=f(x) 满足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)( a>0), 则 f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。 15、若奇函数 y=f(x)满足 f(x+T)=f(x)(x∈R,T≠0),则 f(

T )=0. 2

1

三、典例讲解 例 1(05. 福建 12) f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f (2) ? 0 在区间(0,6) 内解的个数的最小值是 A.6 B.7 ( C.4 D.5 )

例 2. 设函数 f ( x ) 的定义域为 R, 且对任意的 x, y 有 f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? 2 f ( x) ? f ( y ) , 并存在正实数 c ,使 f ( ) ? 0 。试问 f ( x ) 是否为周期函数?若是,求出它的一个周期;若 不是,请说明理由。

c 2

例 3. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且满足: f ( x ? 2)[1 ? f ( x)] ? 1 ? f ( x) ,

f (1) ? 1997 ,求 f (2001) 的值。
例 4. ( 2009 江西卷文)已知函数 f ( x ) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 的值 x? ) 1 ,则 f (? 2008)? f (2009) f ( x ? 2) ? f ( x),且当 x ? [0, 2)时, f ( x) ? log 2 ( 为 A. ?2 ( B. ?1 C.1 D. 2 )

例 5. (天津卷 05)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f (x)的图象关于直线 x ? 1 对称, 2 则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _____ 例 6(07 安徽)定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期. 若将方程 f ( x) ? 0 在闭区间 ?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为 A.0 四、巩固练习 B.1 C.3 D.5 ( )

1. 已知偶函数 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数,且当 x ? ? 0,1? 时, f ( x) ? 2x ?1 ,则 3 8 3 5 A. B. C. ? D. f (log2 10) 的值为 5 5 8 3 1 ? f ( x) 2 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,对于任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? , 1 ? f ( x) 当 0 ? x ≤ 1 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (11.5) ? 3 知 f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 满 足 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ) , 且 x ?[ 0 , 2 ] 时,
2 . ?1? 求 x ? [?2, 0] 时, f ( x ) 的表达式; ? 2 ? 证明 f ( x ) 是 R 上的奇函数. f ( x) ? 2 x? x

3 3 ? 4.( 05 朝阳模拟)已知函数 f ( x) 的图象关于点 ? ? ? , 0 ? 对称,且满足 f ( x) ? ? f ( x ? 2 ) , ? 4 ? 又 f (?1) ? 1 , f (0) ? ?2 ,求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f (2006) 的值
2


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