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2014届高考数学理科试题大冲关


2014 届高考数学理科试题大冲关:正弦定理和余弦定理
一、选择题 1.在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则 c=( A.5 2 C. 10 6 3 B.10 2 D.5 6 )

2.已知△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶ 3,则此三角形的最大内角的度数是 ( A.60° C.120° B.90° D.135

° )

3.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 acos A=bsin B,则 sin Acos

A+cos2B=(
1 A.- 2 C.-1

) B. 1 2

D.1
2 2

4.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b) -c =4,且 C=60°,则 ab 的值为( A. 4 3 ) B.8-4 3 D. 2 3
2 2

C.1

5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a -b = 3bc,sin C=2 3sin

B,则 A=(
A.30° C.120°

) B.60° D.150°

6.在△ABC 中,D 为边 BC 的中点,AB=2,AC=1,∠BAD=30°,则 AD 的长度为 ( A. 3 C. 5 二、填空题 π 1 7.在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sin A= ,则 a=________. 4 3 8.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,S 是△ABC 的面积, B. 3 2 )

D.2

且 4S=a +b -c ,则角 C=________. 9.已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的 面积为__________. 三、解答题 10.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,asin A+csin C- 2asin C=bsin

2

2

2

B.
(1)求 B; (2)若 A=75°,b=2,求 a,c.

11.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. cos A-2cos C 2c-a 已知 = . cos B b sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B= , b=2,求△ABC 的面积 S. 4

1 12.已知向量 m=(sin A, )与 n=(3,sin A+ 3cos A)共线,其中 A 是△ABC 的内角. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求△ABC 的面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状.

详解答案:

1.解析:由于 A+B+C=180°,所以 C=180°-60°-75°=45°. 2 2 10 6 sin C 由正弦定理,得 c=a =10× = . sin A 3 3 2 答案:C 2.解析:∵在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c, ∴a∶b∶c=1∶1∶ 3,设 a=b=k,c= 3k(k>0),最大边为 c,其所对的角 C 为最 大角,则 cos C= 答案:C 3.解析:∵acos A=bsin B,∴sin Acos A=sin B, ∴sin Acos A+cos B=sin B+cos B=1. 答案:D 4.解析:由(a+b) -c =4,得 a +b -c +2ab=4. ① 由余弦定理得 a +b -c =2abcos C=2abcos 60°=ab, ② 4 将②代入①得 ab+2ab=4,即 ab= . 3 答案:A 5.解析:由 sin C=2 3sin B 可得 c=2 3b,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

k2+k2- 3k2 1 =- ,∴C=120°. 2×k×k 2

b2+c2-a2 - 3bc+c2 3 由余弦定理得 cos A= = = ,于是 A=30°. 2bc 2bc 2
答案: A 6.解析:延长 AD 到 M,使得 DM=AD,连接 BM、MC,则四边形 ABMC 是平行四边形.在 △ABM 中,由余弦定理得 BM =AB +AM -2AB·AM·cos∠BAM,即 1 =2 +AM -2·2·AM·cos 30°,解得 AM= 3,所以 AD= 答案:B 1 5× 3 5 2 a b 7.解析:根据正弦定理 = ,得 a= = . sin A sin B 3 2 2 5 2 答案: 3 8.解析:由 4S=a +b -c ,得 2S=
2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 . 2

a2+b2-c2
2

.

所以 absin C=

a2+b2-c2
2

,sin C=cos C,所以 tan C=1.

C= .
π 答案: 4 9 .解析:不妨设角 A = 120 °, c<b ,则 a = b + 4 , c = b - 4 ,于是 cos 120 °=

π 4

b2+b-42-b+42 1 1 =- ,解得 b=10,所以 S= bcsin 120°=15 3. 2bb-4 2 2
答案:15 3 10.解:(1)由正弦定理得 a +c - 2ac=b . 由余弦定理得 b =a +c -2accos B. 故 cos B= 2 ,因此 B=45°. 2 2+ 6 . 4
2 2 2 2 2 2

(2)sin A=sin(30°+45°)=sin 30°cos45°+cos 30°sin 45°= sin A 2+ 6 故 a=b× = =1+ 3. sin B 2

c=b×

sin C sin60° =2× = 6. sin B sin45°

11.解:(1)由正弦定理得,设 = = =k, sin A sin B sin C 则 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A = = , b ksin B sin B

a

b

c

cos A-2cos C 2sin C-sin A = . cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π , 所以 sin C=2sin A. sin C 因此 =2. sin A sin C (2)由 =2 得 c=2a. sin A 1 2 2 2 由余弦定理 b =a +c -2accos B 及 cos B= ,b=2, 4 1 2 2 2 得 4=a +4a -4a × . 4

解得 a=1, 从而 c=2. 1 又因为 cos B= ,且 0<B<π , 4 所以 sin B= 15 , 4

1 1 15 15 因此 S= acsin B= ×1×2× = . 2 2 4 4 12.解:(1)因为 m∥n, 3 所以 sin A·(sin A+ 3cos A)- =0, 2 1-cos 2A 3 3 所以 + sin 2A- =0, 2 2 2 即 3 1 π sin 2A- cos 2A=1,即 sin(2A- )=1. 2 2 6

π π 11π 因为 A∈(0,π ),以 2A- ∈(- , ). 6 6 6 π π π 故 2A- = ,即 A= . 6 2 3 (2)由余弦定理,得 4=b +c -bc, 1 3 又 S△ABC= bcsin A= bc, 2 4 而 b +c ≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4(当且仅当 b=c 时等号成立), 1 3 3 所以 S△ABC= bcsin A= bc≤ ×4= 3, 2 4 4 当△ABC 的面积最大时,b=c, π 又 A= ,故此时△ABC 为等边三角形. 3
2 2 2 2


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